1、2015-2016学年河北省保定市徐水一中高三（上）第二次月考数学试卷（理科）一、选择题（本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1已知集合P=x|x2x20，Q=x|log2（x1）1，则（RP）Q等于( )A2，3B（，13，+）C（2，3D（，1（3，+）2已知命题p：xR，x2lgx，命题q：xR，x20，则( )A命题pq是假命题B命题pq是真命题C命题p（q）是真命题D命题p（q）是假命题3设a=log36，b=log510，c=log714，则( )AcbaBbcaCacbDabc4定义在R上的函数f（x）满足f（1）=1，且
2、对任意xR都有f（x），则不等式f（x2）的解集为( )A（1，2）B（0，1）C（1，+）D（1，1）5函数y=f（2x1）的定义域为0，1，则y=f（x）的定义域为( )A1，1B，1C0，1D1，06已知命题p：x2+2x30；命题q：xa，且q的一个充分不必要条件是p，则a的取值范围是( )Aa1Ba1Ca1Da37已知x，y为正实数，则( )A2lgx+lgy=2lgx+2lgyB2lg（x+y）=2lgx2lgyC2lgxlgy=2lgx+2lgyD2lg（xy）=2lgx2lgy8函数f（x）=ln（x2+1）的图象大致是( )ABCD9若x0，+），则下列不等式恒成立的是( )
3、Aex1+x+x2BCD10定义两种运算：，则函数的解析式为( )Af（x）=，x2，0）（0，2Bf（x）=，x（，2）（2，+）Cf（x）=，x（，2）（2，+）Df（x）=，x2，0）（0，211定义在R上的函数f（x）满足f（x）=f（x），f（x2）=f（x+2）且x（1，0）时，f（x）=2x+，则f（log220）=( )A1BC1D12已知sin=，则sin4cos4的值为( )ABCD二、填空题：每小题5分，共20分，把答案填在答题卷的横线上.13f（x）=，则不等式x2f（x）+x20解集是_14已知函数f（x）=，则ff=_15曲线y=在点（1，1）处的切线方程为_16已
4、知函数f（x）=，若函数g（x）=f（x）xb有三个零点，则实数b的取值范围是_三、解答题：写出必要的过程17已知函数f（x）=ax22ax+2+b，（a0），若f（x）在区间2，3上有最大值5，最小值2（1）求a，b的值；（2）若b1，g（x）=f（x）mx在2，4上为单调函数，求实数m的取值范围18设命题p：函数f（x）=lg（ax2x+a）的定义域为R；命题q：不等式1+ax对一切正实数均成立如果命题p或q为真命题，命题p且q为假命题，求实数a的取值范围19汽车从刹车开始到完全静止所用的时间叫做刹车时间；所经过的距离叫做刹车距离某型汽车的刹车距离s（单位米）与时间t（单位秒）的关系为s=
5、5t3kt2+t+10，其中k是一个与汽车的速度以及路面状况等情况有关的量（1）当k=8时，且刹车时间少于1秒，求汽车刹车距离；（2）要使汽车的刹车时间不小于1秒钟，且不超过2秒钟，求k的取值范围20已知（1）若tan=2，求f（）的值；（2）已知sin，cos是方程x2ax+a=0的两根，求f（）的值21已知函数（1）若f1（x）=3x+1，f2（x）为偶函数，求a，b，c的值；（2）若对任意实数x，不等式恒成立，求f2（1）的取值范围22已知函数f（x）=x3x2+axa（aR）（1）当a=3时，求函数f（x）的极值；（2）若函数f（x）的图象与x轴有且只有一个交点，求a的取值范围2015
6、-2016学年河北省保定市徐水一中高三（上）第二次月考数学试卷（理科）一、选择题（本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1已知集合P=x|x2x20，Q=x|log2（x1）1，则（RP）Q等于( )A2，3B（，13，+）C（2，3D（，1（3，+）【考点】交、并、补集的混合运算 【专题】函数的性质及应用；集合【分析】由一元二次不等式的解法求出集合P，由对数函数的性质求出集合Q，再由补集、交集的运算分别求出RP和（RP）Q【解答】解：由x2x20得，1x2，则集合P=x|1x2，由log2（x1）1=得0x12，解得1x3，则Q=x|1
7、x3所以RP=x|x1或x2，且（RP）Q=x|2x3=（2，3，故选：C【点评】本题考查交、并、补集的混合运算，以及对数不等式的解法，属于基础题2已知命题p：xR，x2lgx，命题q：xR，x20，则( )A命题pq是假命题B命题pq是真命题C命题p（q）是真命题D命题p（q）是假命题【考点】全称命题；复合命题的真假 【专题】常规题型【分析】先判断出命题p与q的真假，再由复合命题真假性的判断法则，即可得到正确结论【解答】解：由于x=10时，x2=8，lgx=lg10=1，故命题p为真命题，令x=0，则x2=0，故命题q为假命题，依据复合命题真假性的判断法则，得到命题pq是真命题，命题pq是假
8、命题，q是真命题，进而得到命题p（q）是真命题，命题p（q）是真命题故答案为C【点评】本题考查复合命题的真假，属于基础题3设a=log36，b=log510，c=log714，则( )AcbaBbcaCacbDabc【考点】对数值大小的比较；不等关系与不等式 【专题】计算题【分析】利用loga（xy）=logax+logay（x、y0），化简a，b，c然后比较log32，log52，log72大小即可【解答】解：因为a=log36=1+log32，b=log510=1+log52，c=log714=1+log72，因为y=log2x是增函数，所以log27log25log23，所以log32l
9、og52log72，所以abc，故选D【点评】本题主要考查不等式与不等关系，对数函数的单调性的应用，不等式的基本性质的应用，属于基础题4定义在R上的函数f（x）满足f（1）=1，且对任意xR都有f（x），则不等式f（x2）的解集为( )A（1，2）B（0，1）C（1，+）D（1，1）【考点】导数的运算；其他不等式的解法 【专题】计算题【分析】所求解的不等式是抽象不等式，是与函数有关的不等式，函数的单调性和不等关系最密切由f（x），构造单调递减函数h（x）=f（x），利用其单减性求解【解答】解：f（x），f（x）0，设h（x）=f（x），则h（x）=f（x）0，h（x）是R上的减函数，且h（1）
10、=f（1）=1=不等式f（x2），即为f（x2）x2，即h（x2）h（1），得x21，解得1x1，原不等式的解集为（1，1）故选：D【点评】本题考查抽象不等式求解，关键是利用函数的单调性，根据已知条件和所要解的不等式，找到合适的函数作载体是关键5函数y=f（2x1）的定义域为0，1，则y=f（x）的定义域为( )A1，1B，1C0，1D1，0【考点】函数的定义域及其求法 【专题】函数的性质及应用【分析】根据复合函数的定义域之间的关系即可求出函数的定义域【解答】解：函数y=f（2x1）的定义域为0，1，0x1，则02x2，即12x11，即函数y=f（x）的定义域为1，1故选：A【点评】本题主要考
11、查函数定义域的求法，利用复合函数之间的关系即可求出函数的定义域6已知命题p：x2+2x30；命题q：xa，且q的一个充分不必要条件是p，则a的取值范围是( )Aa1Ba1Ca1Da3【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断 【专题】规律型【分析】先求出p的等价条件，利用q的一个充分不必要条件是p，即可求a的取值范围【解答】解：由x2+2x30得x1或x3，即p：x1或x3，p：3x1，q：xa，q：xa，若q的一个充分不必要条件是p，则pq成立，但qp不成立，a1，故选：A【点评】本题主要考查充分条件和必要条件的判断，结合不等式的解法是解决本题的关键熟练掌握命题的否定的形式7已知x，y为正实
12、数，则( )A2lgx+lgy=2lgx+2lgyB2lg（x+y）=2lgx2lgyC2lgxlgy=2lgx+2lgyD2lg（xy）=2lgx2lgy【考点】有理数指数幂的化简求值；对数的运算性质 【专题】函数的性质及应用【分析】直接利用指数与对数的运算性质，判断选项即可【解答】解：因为as+t=asat，lg（xy）=lgx+lgy（x，y为正实数），所以2lg（xy）=2lgx+lgy=2lgx2lgy，满足上述两个公式，故选D【点评】本题考查指数与对数的运算性质，基本知识的考查8函数f（x）=ln（x2+1）的图象大致是( )ABCD【考点】函数的图象 【专题】函数的性质及应用【分
13、析】x2+11，又y=lnx在（0，+）单调递增，y=ln（x2+1）ln1=0，函数的图象应在x轴的上方，在令x取特殊值，选出答案【解答】解：x2+11，又y=lnx在（0，+）单调递增，y=ln（x2+1）ln1=0，函数的图象应在x轴的上方，又f（0）=ln（0+1）=ln1=0，图象过原点，综上只有A符合故选：A【点评】对于函数的选择题，从特殊值、函数的性质入手，往往事半功倍，本题属于低档题9若x0，+），则下列不等式恒成立的是( )Aex1+x+x2BCD【考点】函数恒成立问题 【专题】综合题；函数思想；构造法；导数的综合应用【分析】A，B，D，可利用利用特殊值的方法，举出反例；对于
14、C，构造函数h（x）=cosx1+x2，求出导数，得出函数的单调递增且h（x）0；【解答】解：对于A，取x=3，e31+3+32，所以不等式不恒成立；对于B，x=时，左边=，右边=，左边大于右边，所以x0，+），不等式不恒成立；对于C，令h（x）=cosx1+x2，h（x）=sinx+x，h（x）=cosx+10，h（x）在0，+）上单调增，h（x）h（0）=0，函数h（x）在0，+）上单调增，h（x）0，cosx1x2，故正确；对于D，当x=100时，左式大于零，右式小于零，所以不等式不恒成立；故选C【点评】选择题中特殊值代入法的应用，利用构造函数，根据单调性求最值10定义两种运算：，则函数
15、的解析式为( )Af（x）=，x2，0）（0，2Bf（x）=，x（，2）（2，+）Cf（x）=，x（，2）（2，+）Df（x）=，x2，0）（0，2【考点】函数解析式的求解及常用方法 【专题】计算题；新定义；函数的性质及应用【分析】根据中的新定义，化简得f（x）=，由此解出函数定义域为x|2x2且x0，再将函数解析式去绝对值化简，可得本题答案【解答】解：根据题意，可得，=|x2|，因此，函数=，函数的定义域为x|2x2且x0由此可得函数的解析式为：f（x）=，（x2，0）（0，2）故选：A【点评】本题给出新定义域，求函数的解析式着重考查了函数的定义域求法、不等式组的解法和求函数解析式的一般方法
16、等知识，属于中档题11定义在R上的函数f（x）满足f（x）=f（x），f（x2）=f（x+2）且x（1，0）时，f（x）=2x+，则f（log220）=( )A1BC1D【考点】函数的周期性；奇偶函数图象的对称性 【专题】计算题【分析】根据对数函数的单调性，我们易判断出log220（4，5），结合已知中f（x）=f（x），f（x2）=f（x+2）且x（1，0）时，利用函数的周期性与奇偶性，即可得到f（log220）的值【解答】解：定义在R上的函数f（x）满足f（x）=f（x），函数f（x）为奇函数又f（x2）=f（x+2）函数f（x）为周期为4是周期函数又log232log220log2164
17、log2205f（log220）=f（log2204）=f（log2）=f（log2）=f（log2）又x（1，0）时，f（x）=2x+，f（log2）=1故f（log220）=1故选C【点评】本题考查的知识点是函数的周期性和奇偶函数图象的对称性，其中根据已知中f（x）=f（x），f（x2）=f（x+2）判断函数的奇偶性，并求出函数的周期是解答的关键12已知sin=，则sin4cos4的值为( )ABCD【考点】三角函数中的恒等变换应用 【分析】用平方差公式分解要求的算式，两个因式中一部分用同角的三角函数关系整理，另一部分把余弦变为正弦，代入题目的条件，得到结论【解答】解：sin4cos4=（
18、sin2cos2）（sin2+cos2）=sin2cos2=2sin21=，故选B【点评】已知一个角的某一个三角函数值，便可运用基本关系式求出其它三角函数值在求值中，确定角的终边位置是关键和必要的二、填空题：每小题5分，共20分，把答案填在答题卷的横线上.13f（x）=，则不等式x2f（x）+x20解集是x|x2【考点】其他不等式的解法 【专题】不等式的解法及应用【分析】当x2时，原不等式可化为x2+x20，当x2时，原不等式可化为x2+x20，解不等式即可求解【解答】解：当x2时，原不等式可化为x2+x20解可得，2x1此时x不存在当x2时，原不等式可化为x2+x20即x2x+20解不等式可
19、得xR此时x2综上可得，原不等式的解集为x|x2故答案为：x|x2【点评】本题主要考查了二次不等式的求解，解题中要注意分类 讨论的应用14已知函数f（x）=，则ff=1【考点】分段函数的应用 【专题】函数的性质及应用【分析】直接利用分段函数，由里及外求解所求表达式的值【解答】解：函数f（x）=，则ff=f=f（1913）=2cos=2cos（638）=2cos=1故答案为：1【点评】本题考查分段函数的应用，函数值的求法，诱导公式的应用，考查计算能力15曲线y=在点（1，1）处的切线方程为x+y2=0【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程 【专题】计算题；导数的概念及应用【分析】根据导数的几何意
20、义求出函数在x=1处的导数，从而得到切线的斜率，再利用点斜式方程写出切线方程即可【解答】解：y=的导数y=，y|x=1=1，而切点的坐标为（1，1），曲线y=在在x=1处的切线方程为x+y2=0故答案为：x+y2=0【点评】本题主要考查了利用导数研究曲线上某点切线方程，考查运算求解能力，属于基础题16已知函数f（x）=，若函数g（x）=f（x）xb有三个零点，则实数b的取值范围是（0，）【考点】函数零点的判定定理 【专题】函数的性质及应用【分析】由题意可转化为函数f（x）=与函数y=x+b的图象有且仅有两个交点，从而作图求解即可【解答】解：函数g（x）=f（x）xb有且仅有两个零点，函数f（x
21、）=与函数y=x+b的图象有且仅有两个交点，作函数f（x）=与函数y=x+b的图象如下，当b=0时，有一个交点，是一个临界值，当直线y=x+b与f（x）=相切时，f（x）=；故切点为（1，1）；故b=1=；结合图象可得，b（0，）；故答案为：（0，）【点评】本题考查了导数的应用，函数图象的作法及函数的零点与函数的图象的交点的关系应用等，同时考查了数形结合的思想应用，属于中档题三、解答题：写出必要的过程17已知函数f（x）=ax22ax+2+b，（a0），若f（x）在区间2，3上有最大值5，最小值2（1）求a，b的值；（2）若b1，g（x）=f（x）mx在2，4上为单调函数，求实数m的取值范围【
22、考点】二次函数在闭区间上的最值；函数单调性的性质 【专题】函数的性质及应用【分析】（1）由于函数f（x）=a（x1）2+2+ba，（a0），对称轴为x=1，分当a0时、当a0时两种情况，分别依据条件利用函数的单调性求得a、b的值（2）由题意可得可得，g（x）=x2（m+2）x+2，根据条件可得 2，或 4，由此求得m的范围【解答】解：（1）由于函数f（x）=ax22ax+2+b=a（x1）2+2+ba，（a0），对称轴为x=1，当a0时，函数f（x）在区间2，3上单调递增，由题意可得 ，解得 当a0时，函数f（x）在区间2，3上单调递减，由题意可得，解得 综上可得，或 （2）若b1，则由（1）
23、可得，g（x）=f（x）mx=x2（m+2）x+2，再由函数g（x）在2，4上为单调函数，可得 2，或 4，解得 m2，或m6，故m的范围为（，26，+）【点评】本题主要考查求二次函数在闭区间上的最值，二次函数的性质应用，体现了分类讨论的数学思想，属于中档题18设命题p：函数f（x）=lg（ax2x+a）的定义域为R；命题q：不等式1+ax对一切正实数均成立如果命题p或q为真命题，命题p且q为假命题，求实数a的取值范围【考点】复合命题的真假 【专题】简易逻辑【分析】分别求出命题P，Q为真命题时的等价条件，利用命题P或Q为真命题，P且Q为假命题，求a的范围即可【解答】解：当命题p为真命题即f（x
24、）=lg（ax2x+a）的定义域为R，即ax2x+a0对任意实数x均成立，解得a2，当命题q为真命题即1ax对一切正实数均成立即a=对一切正实数x均成立，x0，1，+12，1，命题q为真命题时a1命题p或q为真命题，命题p且q为假命题，p与q有且只有一个是真命题当p真q假时，a不存在；当p假q真时，a1，2综上知a1，2【点评】本题考查复合命题与简单命题真假的关系，利用条件先求出命题p，q为真命题的等价条件是解决这类题的关键，属于一道中档题19汽车从刹车开始到完全静止所用的时间叫做刹车时间；所经过的距离叫做刹车距离某型汽车的刹车距离s（单位米）与时间t（单位秒）的关系为s=5t3kt2+t+1
25、0，其中k是一个与汽车的速度以及路面状况等情况有关的量（1）当k=8时，且刹车时间少于1秒，求汽车刹车距离；（2）要使汽车的刹车时间不小于1秒钟，且不超过2秒钟，求k的取值范围【考点】导数在最大值、最小值问题中的应用 【专题】应用题；导数的综合应用【分析】（1）当k=8时，s=5t38t2+t+10，令瞬时速度即s=0，可求t，再代入s可求；（2）汽车静止时v=0，故问题转化为15t22kt+1=0在1，2内有解，令，利用导数可求得f（t）的范围，从而可得k的范围；【解答】解：（1）当k=8时，s=5t38t2+t+10，这时汽车的瞬时速度为V=s=15t216t+1，令s=0，解得t=1（舍
26、）或，当时，所以汽车的刹车距离是米（2）汽车的瞬时速度为v=s，v=15t22kt+1，汽车静止时v=0，故问题转化为15t22kt+1=0在1，2内有解，又，当且仅当时取等号，记，t1，2，f（t）单调递增，即，故k的取值范围为【点评】该题考查导数的几何意义、利用导数求函数的最值，在实际问题中构建恰当函数是解决问题的关键20已知（1）若tan=2，求f（）的值；（2）已知sin，cos是方程x2ax+a=0的两根，求f（）的值【考点】三角函数中的恒等变换应用；三角函数的化简求值 【专题】计算题；函数思想；方程思想；三角函数的求值【分析】（1）利用同角三角函数的基本关系式以及诱导公式两角和与差
27、的三角函数化简函数的表达式，通过tan=2求出结果即可（2）利用已知条件求出a，然后求解f（）的值【解答】解：（1）=，tanx=2，=，cos2x=f（）=（2）sin，cos是方程x2ax+a=0的两根，sin+cos=a，sincos=a，a22a=1，解得，又，a=，f（）=1【点评】本题考查三角函数的恒等变换，同角三角函数的基本关系式以及诱导公式，两角和与差的三角函数，考查计算能力21已知函数（1）若f1（x）=3x+1，f2（x）为偶函数，求a，b，c的值；（2）若对任意实数x，不等式恒成立，求f2（1）的取值范围【考点】函数与方程的综合运用 【专题】转化思想；判别式法；函数的性质
28、及应用；不等式的解法及应用【分析】（1）由f1（x）=3x+1，f2（x）=ax2+bx+c为偶函数，运用偶函数的定义和恒等式的知识即可得到a，b，c；（2）先令x=1，可得f2（1）=2，即a+b+c=2，再由不等式恒成立，结合二次函数的判别式小于等于0，及配方思想，可得a的范围，进而得到f2（1）=4a2，可得范围【解答】解：（1）f1（x）=3x+1，f2（x）=ax2+bx+c为偶函数，可得a+b=3，b=0，c=1，解得a=3，b=0，c=1；（2）可令x=1，即有2f2（1）2，则f2（1）=2，即a+b+c=2，由2xf2（x）恒成立，即为ax2+（b2）x+c0，可得a0，且（
29、b2）24ac0，即有（a+c）24ac0，即有（ac）20，则a=c成立，即有b=22a，又f2（x）（x+1）2=ax2+（22a）x+a（x+1）2=（a）（x1）2，对任意的xR，都有f2（x）（x+1）2，即有0a，故f2（1）=ab+c=4a2的取值范围是（2，0【点评】本题考查函数的性质和应用，考查不等式恒成立问题的解法，注意运用判别式和配方思想，考查运算能力，属于中档题22已知函数f（x）=x3x2+axa（aR）（1）当a=3时，求函数f（x）的极值；（2）若函数f（x）的图象与x轴有且只有一个交点，求a的取值范围【考点】利用导数研究函数的极值；函数恒成立问题 【专题】压轴题
30、【分析】（1）由a=3得到f（x）的解析式，求出导函数等于0时x的值，讨论函数的增减性得到函数的极值；（2）求出导函数，利用导函数根的判别式讨论导函数=0方程的解的情况得到关于a的不等式，因为图象与x轴有且只有一个交点，根的判别式小于等于0，f（x）0在R上恒成立，f（x）在R上单调递增，f（0）=a0，f（3）=2a0；根的判别式大于0时由f（x1）f（x2）0得到求出a的解集可【解答】解：（1）当a=3时，f（x）=x22x3=（x3）（x+1）令f（x）=0，得x1=1，x2=3当x1时，f（x）0，则f（x）在（，1）上单调递增；当1x3时，f（x）0，则f（x）在（1，3）上单调递减
31、；当x3时，f（x）0，f（x）在（3，+）上单调递增当x=1时，f（x）取得极大值为f（1）=；当x=3时，f（x）取得极小值为=6（2）f（x）=x22x+a，=44a=4（1a）若a1，则0，f（x）0在R上恒成立，f（x）在R上单调递增f（0）=a0，f（3）=2a0，当a1时，函数f（x）的图象与x轴有且只有一个交点若a1，则0，f（x）=0有两个不相等的实数根，不妨设为x1，x2，（x1x2）x1+x2=2，x1x2=a当x变化时，f（x），f（x）的取值情况如下表：x122x1+a=0，a=x12+2x1=同理f（x2）=令f（x1）f（x2）0，解得a0而当0a1时，f（0）=a0，f（3）=2a0，故当0a1时，函数f（x）的图象与x轴有且只有一个交点综上所述，a的取值范围是（0，+）【点评】考查学生利用导数研究函数极值的能力，分类讨论的数学思想
