1、温馨提示： 此套题为Word版，请按住Ctrl,滑动鼠标滚轴，调节合适的观看比例，答案解析附后。关闭Word文档返回原板块。单元评估检测(三)(第八章)(120分钟150分)一、选择题(本大题共12小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)1.已知等差数列an的前n项和为Sn,若a1=12,S5=90,则等差数列an的公差d=()A.2B.C.3D.4【解析】选C.因为a1=12,S5=90,所以512+d=90,解得d=3.2.在等差数列an中,a5+a13=40,则a8+a9+a10=()A.72B.60C.48D.36【解析】选B.根据等差数列的性质
2、可知:a5+a13=402a9=40a9=20,a8+a9+a10=2a9+a9=3a9=60.3.已知等比数列an中,a3a13=20,a6=4,则a10的值是()A.16B.14C.6D.5【解析】选D.由等比数列性质可知a3a13=20,由a6=4,得q4=,所以a10=a6q4=5.4.中国古代数学名著张邱建算经中记载:“今有马行转迟,次日减半,疾七日,行七百里”.其大意:现有一匹马行走的速度逐渐变慢,每天走的里程数是前一天的一半,连续走了7天,共走了700里,则这匹马第7天所走的路程等于()A.里B.里C.里D.里【解析】选A.设马每天所走的路程是a1,a2,a7,是公比为的等比数列
3、,这些项的和为700,S7=700a1=,a7=a1q6=.5.已知等差数列an的公差不为零,Sn为其前n项和,S3=9,且a2-1,a3-1,a5-1构成等比数列,则S5=()A.15B.-15C.30D.25【解析】选D.设等差数列an的公差为d(d0),由题意解得所以S5=51+=25.6.数列an的前n项和Sn=n2+1是an=2n-1成立的()A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分又不必要条件【解题指南】先根据关系式an=求出数列an的通项公式,注意验证n=1时是否成立,再看求出的通项公式与an=2n-1谁能推出谁即可.【解析】选D.由题意可得,当n=1时,a1
4、=S1=1+1=2.当n2时, an=Sn-Sn-1=(n2+1)-(n-1)2+1=2n-1,经过验证后当n=1时不符合上式,所以前n项和Sn=n2+1不能推出an=2n-1,反之,an=2n-1也不能推出Sn=n2+1.故数列an的前n项和Sn=n2+1是an=2n-1成立的既不充分又不必要条件.7.将石子摆成如图的梯形形状,称数列5,9,14,20,为“梯形数”.根据图形的构成,此数列的第2 021项=()A.1 0102 021B.1 0112 021C.1 0112 025D.1 0102 025【解析】选C.由已知的图形我们可以得出图形的编号与图中石子的个数之间的关系为:n=1时,
5、a1=2+3=(2+3)2;n=2时,a2=2+3+4=(2+4)3;,由此我们可以推断:an=2+3+(n+2)=2+(n+2)(n+1),所以a2 021=2+(2 021+2)(2 021+1)=1 0112 025.8.已知两个等差数列an和bn的前n项和分别为An和Bn,且=,则=()A.B.C.D.15【解析】选B.因为=.9.已知数列an的前n项和为Sn,满足2Sn=3an-1,则通项公式an等于()A.an=2n-1B.an=2nC.an=3n-1D.an=3n【解析】选C.当n=1时,2S1=3a1-1,所以a1=1,当n2且nN*时,2Sn-1=3an-1-1,则2Sn-2
6、Sn-1=2an=3an-1-3an-1+1=3an-3an-1,即an=3an-1,所以数列an是以1为首项,3为公比的等比数列,所以an=3n-1.10.已知数列an满足递推关系:an+1=,a1=,则a2 020=()A.B.C.D.【解析】选D.因为an+1=,a1=,所以-=1.所以数列是等差数列,首项为2,公差为1.所以=2+2 019=2 021,则a2 020=.11.已知函数f(x)=(xR),若等比数列an满足a1a2 019=1,则f(a1)+f(a2)+ f(a3)+f(a2 019)=世纪金榜导学号()A.2 019B.C.2D.【解析】选A.因为a1a2 019=1
7、,所以f(a1)+f(a2 019)=+=+=+=2.因为an为等比数列,则a1a2 019=a2a2 018=a1 009a1 011=1,所以f(a2)+f(a2 018)=2,f(a1 009)+f(a1 011)=2,f(a1 010)=1.即f(a1)+f(a2)+f(a3)+f(a2 019)=21 009+1=2 019.12.若正项递增等比数列an满足1+(a2-a4)+(a3-a5)=0(R),则a6+a7的最小值为世纪金榜导学号()A.-2B.-4C.2D.4【解析】选D.因为an是正项递增的等比数列,所以a10,q1,由1+(a2-a4)+(a3-a5)=0,得1+(a2
8、-a4)+q(a2-a4)=0,所以1+q=,所以a6+a7=a6(1+q)=(q2-1)+2+2+2=4(q2-10),当且仅当q=时取等号,所以a6+a7的最小值为4.二、填空题(本大题共4小题,每小题5分,共20分.请把正确答案填在题中横线上)13.(2020泰安模拟)已知数列an为等差数列且a7=,则sin(a2+a12) =_.【解析】在等差数列an中,由a7=,得a2+a12=2a7=.所以sin(a2+a12)=sin=.答案:14.若三数成等比数列,其积为8,首末两数之和为4,则公比q的值为_.【解析】三数成等比数列,设公比为q,可设三数为,a,aq,可得求出公比q的值为1.答
9、案:115.(2020邯郸模拟)已知数列an,bn的前n项和分别为Sn,Tn,bn-an=2n+1,且Sn+Tn=2n+1+n2-2,则2Tn=_.世纪金榜导学号【解析】由题意知Tn-Sn=b1-a1+b2-a2+bn-an=n+2n+1-2,又Sn+Tn=2n+1+n2-2,所以2Tn=Tn-Sn+Sn+Tn=2n+2+n(n+1)-4.答案:2n+2+n(n+1)-416.(2020沈阳模拟)各项均为正偶数的数列a1,a2,a3,a4中,前三项依次成公差为d(d0)的等差数列,后三项依次成公比为q的等比数列.若a4-a1=88,则q的所有可能的值构成的集合为_.世纪金榜导学号【解析】因为前
10、三项依次成公差为d(d0)的等差数列,a4-a1=88,所以这四项可以设为a1,a1+d,a1+2d,a1+88,其中a1,d为正偶数,后三项依次成公比为q的等比数列,所以有=,整理得a1=0,得(d-22)(3d-88)0,22d0恒成立,所以f(x)在1,+)上是增函数,故当x=1时,f(x)min=f(1)=3,即当n=1时,=, 要使对任意的正整数n, 不等式bnk恒成立,则需使k=, 所以实数k的最小值为.21.(12分)已知数列an满足:a1=-,an+1=(nN*).世纪金榜导学号(1)证明数列为等差数列,并求数列an的通项公式.(2)若数列bn满足:bn=(nN*),求bn的前
11、n项和Sn.【解析】(1)因为an+1+1=+1=,所以=3+,所以是首项为3,公差为3的等差数列,所以=3n,所以an=-1.(2)由(1)可知:an=-1,所以由bn=(nN*)bn=n3n+1,Sn=132+233+(n-1)3n+n3n+1;3Sn=133+234+(n-1)3n+1+n3n+2,-得-2Sn=32+33+3n+1-n3n+2=-n3n+2Sn=3n+2+.22.(12分)(12分)(2020昆明模拟)设数列an的前n项和为Sn,a1=1,当n2时,an=2anSn-2.世纪金榜导学号(1)求数列an的通项公式.(2)是否存在正数k,使(1+S1)(1+S2)(1+Sn
12、)k对一切正整数n都成立?若存在,求k的取值范围;若不存在,请说明理由.【解析】(1)因为当n2时,an=Sn-Sn-1,an=2anSn-2,所以Sn-Sn-1=2(Sn-Sn-1)Sn-2.所以Sn-1-Sn=2SnSn-1.所以-=2.所以数列是首项为=1,公差为2的等差数列,即=1+(n-1)2=2n-1.所以Sn=.当n2时,an=Sn-Sn-1=-=.因为当n=1时,a1=1不适合上式,所以数列an的通项公式为an=(2)设bn=.则bn+1=由(1)知Sn=,Sn+1=,所以=1.又bn0,所以数列bn是单调递增数列.由(1+S1)(1+S2)(1+Sn)k,得bnk.所以kb1=.所以存在正数k,使(1+S1)(1+S2)(1+Sn)k对一切正整数n都成立,且k的取值范围为.关闭Word文档返回原板块
