1、第二节二次函数选题明细表知识点、方法题号二次函数的解析式1,10二次函数的图象3,6,8二次函数的性质2,5,7,12二次函数的应用4,9,11,13,14,15一、选择题1.已知二次函数的图象如图所示,那么此函数的解析式可能是(C)(A)y=-x2+2x+1(B)y=-x2-2x-1(C)y=-x2-2x+1(D)y=x2+2x+1解析:由图象可知,开口向下,所以二次项系数为负数;又对称轴在y轴左侧,所以一次项系数为负数;且图象与y轴交点在y轴正半轴,故常数项为正数,综上可知,选C.2.若函数y=x2-(1-2k)x+3在(1,+)上是增函数,则实数k的取值范围是(A)(A)-,+)(B)(
2、-,-(C),+)(D)(-,解析:因为函数y=x2-(1-2k)x+3的图象是开口向上的抛物线,其对称轴方程为x=,所以函数y=x2-(1-2k)x+3的增区间是,+),又因为函数y=x2-(1-2k)x+3在(1,+)上是增函数,所以(1,+),+),可得1,解得k-,实数k的取值范围是-,+),故选A.3.函数y=ax2+bx与y=x(ab0,|a|b|)在同一直角坐标系中的图象可能是(D)解析:选项A,B中|1,此时对数函数y=x递增,所以C也不正确;选项D中,|1,此时对数函数y=x递减,所以D符合题意.故选D.4.已知函数f(x)=x2+mx-1,若对于任意xm,m+1,都有f(x
3、)0成立,则实数m的取值范围是(D)(A)(0,1) (B)(0,)(C)(-1,0)(D)(-,0)解析:任意xm,m+1,都有f(x)0成立等价于f(x)max0,二次函数f(x)=x2+mx-1为开口向上的凹函数,所以f(x)max=maxf(m),f(m+1),f(x)max=max2m2-1,(m+1)2+m(m+1)-10,即解得-m0),f2(x)=-x2+(2-b)x(x0),要使f(x)在R上为增函数,须有f1(x)递增,f2(x)递增,且f2(0)f1(0),即解得1b2.故选A.6.已知二次函数f(x)的二次项系数为正数,且对任意xR,都有f(x)=f(4-x)成立,若f
4、(1-2x2)f(1+2x-x2),则实数x的取值范围是(C)(A)(2,+)(B)(-,-2)(0,2)(C)(-2,0)(D)(-,-2)(0,+)解析:由f(x)=f(4-x)知,二次函数f(x)的对称轴为x=2;因为二次项系数为正数,所以二次函数图象的点与对称轴x=2的距离越大时,对应的函数值越大,所以由f(1-2x2)f(1+2x-x2)得|1-2x2-2|1+2x-x2-2|,即2x2+1(x-1)2,解得-2x1或-f(1),此时M-m=|f(0)-f(-)|=,故M-m与a有关,与b无关;当0-时,函数f(x)在区间0,-上递减,在-,1上递增,且f(0)0,即a.二、填空题9
5、.已知二次函数f(x)=-3x2+a(6-a)x+b.当不等式f(x)0的解集为(-1,3)时,则实数a=,b=. 解析:因为不等式-3x2+a(6-a)x+b0的解集为(-1,3),所以3x2-a(6-a)x-b0的解集为(-1,3),所以x1=-1,x2=3是方程3x2-a(6-a)x-b=0的两根.所以解得答案:3910.已知f(x+1)=x2-5x+4.(1)f(x)的解析式为;(2)当x0,5时,f(x)的最大值和最小值分别是.解析:令x+1=t,x=t-1,f(t)=(t-1)2-5(t-1)+4=t2-7t+10,所以f(x)=x2-7x+10,当x0,5,f(x)max=10,
6、f(x)min=-.答案:(1)f(x)=x2-7x+10(2)10和-11.(2019北京模拟)已知函数f(x)=当a=0时,f(x)的最小值等于;若对于定义域内的任意x,f(x)|x|恒成立,则实数a的取值范围是.解析:当a=0时,f(x)=-3x0时,f(x)=(x+1)2-2,得当x=-1时,f(x)有最小值为-2,0x3时,f(x)=-(x-1)2+1,得当x=3时,f(x)有最小值为-3,所以,当a=0时,f(x)的最小值等于-3,对定义域内的任意x,f(x)|x|恒成立,-3x0时,有x2+2x+a-1-x,即a-x2-3x+1恒成立,令g(x)=-x2-3x+1=-(x+)2+
7、,在-3x0时,g(x)有最小值g(0)=g(-3)=1,所以,a1.0x3时,有-x2+2x-ax,即a-x2+x恒成立,令h(x)=-x2+x=-(x-)2+,在0x3时,h(x)有最大值h()=,所以,a,故实数a的取值范围是,1.答案:-3,112.如果函数y=b与函数y=x2-3|x-1|-4x-3的图象恰好有三个交点,则b=.解析:当x1时,函数y=x2-3|x-1|-4x-3=x2-7x,图象的一个端点为(1,-6),顶点坐标为(,-),当x0,c0,所以+2=2=3(当且仅当9a=c时等号成立).答案:3三、解答题14.已知函数f(x)=x2+ax+b,g(x)=2x+a(a,
8、bR),且函数f(x)与g(x)的图象至多有一个公共点.(1)证明:当x0时,f(x)(x+b)2;(2)若不等式f(a)-f(b)L(a2-b2)对题设条件中的a,b总成立,求L的最小值.(1)证明:由题意得f(x)-g(x)=x2+ax+b-2x-a=x2+(a-2)x+b-a0恒成立,所以=(a-2)2-4(b-a)=a2+4-4b0,所以a24b-4,所以04b-4,1b,又f(x)-(x+b)2=(a-2b)x+b(1-b),a24b-4b2,所以a|a|b2b,所以k=a-2b0,f(0)-b2=b(1-b)0,所以x0时,f(x)(x+b)2.(2)解:由(1)得,b|a|.当b
9、|a|时,L=.令t=,则-1t1,=2-.而函数h(t)=2-(-1t|a|时,L的取值范围为,+).当b=|a|时,由(1)知,a=2,b=2.此时f(a)-f(b)=0或8,a2-b2=0,从而f(a)-f(b)L(a2-b2)恒成立.综上所述,L的最小值为.15.已知函数f(x)=x2+bx+c(b,cR),且f(x)0的解集为1,2.(1)求函数f(x)的解析式;(2)解关于x的不等式f(x)(m-1)(x-2)(mR);(3)设g(x)=,若对于任意的x1,x2R都有|g(x1)-g(x2)|M,求M的最小值.解:(1)由f(x)0的解集为1,2可得1,2是方程x2+bx+c=0的
10、两根,则b=-3,c=2f(x)=x2-3x+2.(2)f(x)(m-1)(x-2)x2-(2+m)x+2m0(x-m)(x-2)0.m2时,x(-,2)(m,+),m=2时,x(-,2)(2,+),m0时,g(x)=,则函数g(x)在(0,1上单调递增,在1,+)上单调递减,且x+时,g(x)0,在x=1时,g(x)取得最大值,即g(x)max=g(1)=;当x0时,g(x)=,则函数g(x)在(-,-1上单调递减,在-1,0)上单调递增,且x-时,g(x)0,在x=-1时,g(x)取得最小值,即g(x)min=g(-1)=-;对于任意的x1,x2R都有|g(x1)-g(x2)|M则等价于|g(x)max-g(x)min|M或(|g(x)min-g(x)max|M),则M的最小值为1.
