1、第三节平面向量的数量积及应用 选题明细表知识点、方法题号平面向量数量积1,3,4平面向量的垂直与夹角2,7,9,10,15平面向量的模6,12平面向量的应用5,11数量积的综合问题8,13,14,16一、选择题1.已知正方形ABCD的边长为2,E为CD的中点,则等于(B)(A)1(B)2(C)4(D)解析:法一=(+)(-)=-=22-22=2.故选B.法二以A为原点建立平面直角坐标系(如图),则A(0,0),B(2,0),D(0,2),E(1,2).所以=(1,2),=(-2,2).从而=(1,2)(-2,2)=1(-2)+22=2.故选B.2.已知a=(1,sin2x),b=(2,sin
2、2x),其中x(0,).若|ab|=|a|b|,则tan x的值等于(A)(A)1(B)-1(C)(D)解析:由于|ab|=|a|b|,所以ab.所以sin 2x=2sin2x,即cos x=sin x,所以tan x=1.故选A.3.(2018嘉兴高三基础测试)已知ABC中,BC=3,AC=4,AB=5,点P是三边上的任意一点,m=,则m的最小值是(B)(A)-25(B)-(C)-(D)0解析:由已知得ABC是以C为直角顶点的直角三角形,以C为原点,CA所在直线为x轴,建立直角坐标系,则A(4,0),B(0,3),设P(x,y),则=(4-x,-y),=(-x,3-y),所以m=(4-x,-
3、y)(-x,3-y)=x2+y2-4x-3y.当点P在线段CA上移动时,y=0, 0x4,所以此时m=x2-4x,当x=2时m有最小值-4;当点P在线段CB上移动时, x=0,0y3,所以此时m=y2-3y,当y=时,m有最小值-;当点P在线段AB上移动时, 0x4,0y3,且+=1,所以此时m=x2-x(0x4),当x=2时m有最小值-.总之,m的最小值是-,故选B.4.已知菱形ABCD的边长为a,ABC=60,则等于(D)(A)-a2(B)-a2(C)a2(D)a2解析:=(+)=+=a2+a2=a2.故选D.5.已知菱形ABCD的边长为2,BAD=120,点E,F分别在边BC,DC上,B
4、E=BC(R),DF=DC(R).若=1,=-,则+等于(C)(A)(B)(C)(D)解析:法一由题意知=,=,=,=,=-2,=(+)(+)=(+)(+)=-2+=4+4-2-2=1.即2+2-=,=(-1)(-1)=(-1)(-1)(-2)=-,即(-1)(-1)=,由得+=.故选C.法二如图所示,以菱形ABCD的两条对角线所在直线为坐标轴,建立平面直角坐标系xOy,不妨设A(0,-1),B(-,0),C(0,1),D(,0),由题意得=(1-)=(-,-1),=(1-)=(-,-1).因为=-,所以3(-1)(1-)+(-1)(-1)=-,即(-1)(-1)=.因为=+=(-,+1),=
5、+=(-,+1),又=1,所以(+1)(+1)=2.由整理得+=.故选C.6.(2019浙江三校第二次联考)已知平面内的非零向量a,b满足|b|=1,且=165,则|a|的最大值是(D)(A)-1(B)1+(C)-(D)+解析:如图,设=b,=a,则=b-a,AB=1,C=15,根据正弦定理得=AC=+.即|a|+,故选D.7.(2019稽阳联谊4月模拟)平面向量a,b满足|a-b|=3,|a|=2|b|,则a-b与a夹角的最大值为(D)(A)(B)(C)(D)解析:因为令|b|=x,|a|=2x,|a-b|=3(a-b)2=9a2-2ab+b2=9ab=,cos=+,所以a-b与a夹角的最大
6、值为.故选D.二、填空题8.(2019绍兴3月模拟)如图,圆O是边长为2的正方形ABCD的内切圆,若P,Q是圆O上的两个动点,则的取值范围是(A)(A)-3-2,0(B)-3-2,-1(C)-5,0 (D)-5,-1解析:建立如图所示的直角坐标系,A(-1,-1),C(1,1),设P(cos ,sin ),Q(cos ,sin ),=(cos +1,sin +1),=(cos -1,sin -1),=(cos +1)(cos -1)+(sin +1)(sin -1)=cos cos +cos -cos -1+sin sin +sin -sin -1=(cos cos +sin sin )+(s
7、in +cos )-(sin +cos )-2=cos(-)+sin(+)-sin(+)-2.当cos(-)=-1,sin(+)=-1,sin(+)=1时,即-=(2k+1),=+2k,=+2k(kZ),有最小值为-3-2,有最大值为0.故选A.9.(2019浙江十校4月模拟)|a|=2|b|=2,ab=-1,b(ta+b)(tR),则|a+2b|=,t=.解析:(a+2b)2=a2+4ab+4b2=4|a+2b|=2,b(ta+b)b(ta+b)=0tab+b2=0t=1.答案:2110.(2019嘉兴9月基础测试)已知向量a,b的夹角为60,|a|=1,|b|=2,若(a+b)(2a+b)
8、,则=;若(a+b)(2a+b),则=.解析:(a+b)(2a+b)=,(a+b)(2a+b)(a+b)(2a+b)=02a2+(2+1)ab+b2=0,a2=1,ab=1,b2=4,代入得=-.答案:-11.(2019浙江百校联考)已知非零向量a,b,c,若a,b的夹角为,c-a,c-b的夹角为,且|a-b|=4,|c-b|=,则bc的最大值是.解析:设=a,=b,=c,因为a,b的夹角为,c-a,c-b的夹角为,所以O,A,B,C四点共圆,因为AB=4,CB=,ACB=,所以在ABC中,根据正弦定理=,可求得sinBAC=,cosBAC=,cosBOC=,在OBC中,由余弦定理得BC2=b
9、2+c2-2|b|c|cosBOC,即14|b|c|,所以bc=|b|c|cosBOC21,当且仅当|b|=|c|时,取等号.答案:2112.(2018新昌中学检测)在平面直角坐标系中,O是坐标原点,A(-1,0),B(0,),C(3,0).动点D满足|=1.则|+|的取值范围是.解析:设D(x,y),因为|=1,所以有(x-3)2+y2=1,即点D在以(3,0)为圆心,半径为1的圆上.因为+=(x-1,y+),所以|+|=表示圆上的点到定点(1,-)的距离,因为(1,-)到圆心(3,0)的距离为=,所以其取值范围是-1,+1.答案:-1,+113.(2018宁波模拟)已知点O为ABC的外心,
10、|=16,|=10,若=x+y,且32x+25y=25,则= ,= ,|= .解析:因为点O为ABC的外心,由向量数量积的几何意义可知=|2=128,=|2=100,又因为=x+y,则=x+y=128x+100y=4(32x+25y)=100,所以|=10.答案:12810010三、解答题14.在ABC中,=a,=b,若|a|=4,|b|=3,且(2a-3b)(2a+b)=61.(1)求B;(2)求AC的长度;(3)求ABC的面积.解:(1)(2a-3b)(2a+b)=61,4a2-4ab-3b2=61,64-4|a|b|cos(-B)-27=61,64+48cos B-27=61.48cos
11、 B=24,cos B=,因为0B180,所以B=60.(2)因为=+,所以=+-2|cos B=16+9-243=13,所以AC=.(3)SABC=|a|b|sin B=43=3.15.已知A,B,C的坐标分别为A(4,0),B(0,4),C(3cos ,3sin ).(1)若(-,0),且|=|,求角的大小;(2)若,求的值.解:(1)由已知得=(3cos -4,3sin ),=(3cos ,3sin -4),因为|=|,所以=,则sin =cos ,因为(-,0),所以=-.(2)因为,所以(3cos -4)3cos +3sin (3sin -4)=0,所以sin +cos =,平方得sin 2=-,所以=2sin cos =sin 2=-.16.在ABC中,设内角A,B,C的对边分别为a,b,c,向量m=(cos A,sin A),向量n=(-sin A,cos A),若|m+n|=2.(1)求角A的大小;(2)若b=4,且c=a,求ABC的面积.解:(1)|m+n|=,所以4+4cos(+A)=4,所以cos(+A)=0.又因为A(0,),故+A=,所以A=.(2)由余弦定理得a2=b2+c2-2bccos A,即a2=(4)2+(a)2-24acos ,解得a=4,所以c=8,所以SABC=48=16.
