1、8.7.1 利用空间向量求线线角与线面角考点一异面直线所成的角1.在直三棱柱ABC-A1B1C1中,BCA=90,M,N分别是A1B1,A1C1的中点,BC=CA=CC1,则BM与AN所成角的余弦值为()A.B.C.D.2.在直三棱柱ABC-A1B1C1中,AA1=AB=AC,ABAC,M是CC1的中点,Q是BC的中点,点P在A1B1上,则直线PQ与直线AM所成的角为_.3.如图所示,在棱长为2的正方体ABCD-A1B1C1D1中,E是棱CC1的中点,=,若异面直线D1E和A1F所成角的余弦值为,则的值为_.【解析】1.选C.建立如图所示空间直角坐标系.设BC=CA=CC1=2,则可得A(2,
2、0,0),B(0,2,0),M(1,1,2),N(1,0,2),所以=(1,-1,2),=(-1,0,2).所以cos=.2.建立如图所示的空间直角坐标系,设AA1=2,则A(0,0,0),M(0,2,1),P(t,0,2)(0t2),Q(1,1,0),故=(0,2,1),=(1-t,1,-2),而=0,故.所以PQ与AM所成的角为.答案:3.以D为原点,以DA,DC,DD1分别为x,y,z轴,建立空间直角坐标系,正方体的棱长为2,则A1,D1,E,A ,所以=,=+=+=+=,所以cos=,解得=(=-舍去).答案:求异面直线所成的角的两个关注点(1)用向量方法求两条异面直线所成的角,是通过
3、两条直线的方向向量的夹角来求解的.(2)由于两异面直线所成角的范围是0,两方向向量的夹角的范围是(0,),所以要注意二者的区别与联系,应有cos =|cos |.考点二直线与平面所成的角【典例】(2018全国卷)如图,在三棱锥P-ABC中,AB=BC=2, PA=PB=PC=AC=4,O为AC的中点.(1)证明:PO平面ABC.(2)若点M在棱BC上,且二面角M-PA-C为30,求PC与平面PAM所成角的正弦值.【解析】(1)因为AP=CP=AC=4,O为AC的中点,所以OPAC,且OP=2.连接OB.因为AB=BC=AC,所以ABC为等腰直角三角形,且OBAC,OB=AC=2.由OP2+OB
4、2=PB2知POOB.由OPOB,OPAC,OBAC=O,知PO平面ABC.(2)连接OM,如图,以O为坐标原点,的方向为x轴正方向,的方向为y轴正方向,的方向为z轴正方向,建立空间直角坐标系.由已知得O(0,0,0),B(2,0,0),A(0,-2,0),C(0,2,0),P(0,0,2), =(0,2,2),取平面PAC的法向量=(2,0,0).设M(a,2-a,0)(0a2),则=(a,4-a,0).设平面PAM的法向量为n=(x,y,z).由n=0,n=0得可取n=(a-4),a,-a),所以cos=.由已知得|cos|=.所以=.解得a=-4(舍去),a=.所以n=.又=(0,2,-
5、2),所以cos=.所以PC与平面PAM所成角的正弦值为.利用向量法求线面角的方法(1)分别求出斜线和它在平面内的射影直线的方向向量,转化为求两个方向向量的夹角(或其补角);(2)通过平面的法向量来求,即求出斜线的方向向量与平面的法向量所夹的锐角,取其余角就是斜线和平面所成的角.如图,四棱柱ABCD-A1B1C1D1的底面为菱形,BAD=120,AB=2,E,F分别为CD,AA1的中点.(1)求证:DF平面B1AE.(2)若AA1底面ABCD,且直线AD1与平面B1AE所成线面角的正弦值为,求AA1的长.【解析】(1)设G为AB1的中点,连接EG,GF,因为FGA1B1,又DEA1B1,所以F
6、GDE,所以四边形DEGF是平行四边形,所以DFEG,又DF平面B1AE,EG平面B1AE,所以DF平面B1AE.(2)因为ABCD是菱形,且ABC=60,所以ABC是等边三角形.取BC中点M,则AMAD,因为AA1平面ABCD,所以AA1AM,AA1AD,建立如图所示的空间直角坐标系A-xyz,令AA1=t(t0),则A(0,0,0),E,0,B1(,-1,t),D1(0,2,t),=,0, =(,-1,t),=(0,2,t),设平面B1AE的一个法向量为n=(x,y,z),则n=(x+y)=0且n=x-y+tz=0,取n=(-t,t,4),设直线AD1与平面B1AE所成角为,则sin =,解得t=2,故线段AA1的长为2.
