1、？8.6.2直线与平面垂直第2课时直线与平面垂直的性质定理？课标定位素养阐释1.借助长方体,通过直观感知,归纳并证明直线与平面垂直的性质定理.2.在具体问题中,能利用直线与平面垂直的性质定理分析解决有关问题.3.理解及掌握直线与平面、两个平行平面间的距离的定义,并能根据定义通过数学运算求两个平行平面间的距离.自主预习新知导学合作探究释疑解惑思 想 方 法随 堂 练 习？自主预习新知导学？一、直线与平面垂直的性质定理【问题思考】1.大家都读过茅盾先生的白杨礼赞,在广阔的西北平原上,矗立着一排排白杨树,它们像哨兵一样守卫着祖国疆土.一排排的白杨树,它们都垂直于地面,那么它们之间的位置关系如何呢?提
2、示:平行.2.在同一平面内,垂直于同一条直线的两条直线平行,那么在空间中,垂直于同一个平面的两条直线有怎样的位置关系?提示:平行.？3.(1)直线与平面垂直的性质定理(2)直线与平面垂直的性质定理给出了判定两条直线平行的一种方法.(3)直线与平面垂直的性质定理揭示了“平行”与“垂直”之间的内在联系.？4.做一做:已知ABC所在的平面为,直线lAB,lAC,直线mBC,mAC,则不重合的直线l,m的位置关系是()A.相交B.异面C.平行D.不确定解析:直线lAB,lAC,且ABAC=A,l平面,同理m平面.由线面垂直的性质定理可得lm.答案:C？二、直线与平面、两个平行平面间的距离的定义【问题思
3、考】1.柱体的体积公式V=Sh(S为底面面积,h为高),柱体的高就是底面间的距离吗?提示:是的.2.(1)一条直线与一个平面平行时,这条直线上任意一点到这个平面的距离,叫做这条直线到这个平面的距离.(2)如果两个平面平行,那么其中一个平面内的任意一点到另一个平面的距离都相等,我们把它叫做这两个平行平面间的距离.？3.做一做:若直线AB平面,且点A到平面的距离为2,则点B到平面的距离为.答案:2？【思考辨析】判断下列说法是否正确,正确的在后面的括号内画“”,错误的画“”.(1)若l,且,则l.()(2)垂直于同一条直线的两平面平行.()(3)如果一条直线上有两点到一平面的距离相等,那么直线不一定
4、与平面平行.()(4)如果一个平面内任意一点到另一个平面的距离相等,那么这两个平面平行.()？合作探究释疑解惑探究一探究二探究三？探究一 直线与平面垂直的性质定理【例1】如图,在四棱锥P-ABCD中,PA平面ABCD,且四边形ABCD是矩形,AEPD交PD于点E,l平面PCD,求证:lAE.证明:PA平面ABCD,CD平面ABCD,PACD.四边形ABCD为矩形,CDAD.又PAAD=A,CD平面PAD.AE平面PAD,AECD.又AEPD,PDCD=D,AE平面PCD.l平面PCD,lAE.？1.本例应用线面垂直的性质达到证明线线平行的目的,即线面垂直的性质提供了线线平行的依据.2.在空间证
5、明线线平行的方法有:定义法、基本事实4、线面平行的性质定理、面面平行的性质定理、线面垂直的性质定理等.？【变式训练1】如图,在正方体A1B1C1D1-ABCD中,EF与异面直线AC,A1D都垂直相交.求证:EFBD1.？证明:如图所示,连接AB1,B1C,BD,DD1平面ABCD,AC平面ABCD,DD1AC.又ACBD,DD1BD=D,AC平面BDD1,BD1平面BDD1,ACBD1.同理可证BD1B1C,又ACB1C=C,BD1平面AB1C.EFA1D,且A1DB1C,EFB1C.又EFAC,ACB1C=C,EF平面AB1C,EFBD1.？探究二 直线与平面垂直的性质定理的运用【例2】如图
6、,已知矩形ABCD,过点A作SA平面AC,再过点A作AESB交SB于点E,过点E作EFSC交SC于点F.求证:AFSC.？证明:SA平面AC,BC平面AC,SABC.四边形ABCD为矩形,ABBC.又SAAB=A,BC平面SAB.AE平面SAB,BCAE.又SBAE,且SBBC=B,AE平面SBC,AESC.又EFSC,且AEEF=E,SC平面AEF,AFSC.？若本例中已知条件添加:平面AEF交SD于点G,此时AGSD又如何证明?证明:SA平面AC,DC平面AC,SADC.四边形ABCD为矩形,ADDC.SAAD=A,DC平面SAD.AG平面SAD,DCAG.又SC平面AEF,AG平面AEF
7、,SCAG.SCDC=C,AG平面SDC,AGSD.？1.直线与平面垂直的性质定理是线线、线面垂直以及线面、面面平行相互转化的桥梁,因此必须熟练掌握这些定理,并能灵活地运用它们.？2.直线与平面垂直的性质除性质定理外,还有如下性质:(1)若一条直线垂直于一个平面,则它就垂直于这个平面内的任意一条直线;(2)若两条平行线中的一条垂直于一个平面,则另一条也垂直于这个平面;(3)若一条直线垂直于两个平行平面中的一个,则它必垂直于另一个平面;(4)垂直于同一条直线的两个平面平行.？探究三 空间中的距离问题【例3】若构成教室墙角的三个墙面记为,交线记为BA,BC,BD,教室内一点P到三墙面,的距离分别为
8、3 m,4 m,1 m,则P与墙角B的距离为m.？平面到平面的距离可转化为直线到平面的距离,也可转化为点到平面的距离.注意点到平面的距离、直线到平面的距离、两平行平面间的距离互相转化的条件,直接求解可能困难,通过数学化归与转化思想解决变得容易.？【变式训练2】如果平面外的点A到平面内各点的线段中,以OA最短,那么OA所在直线与平面的关系是()A.平行B.垂直C.在内D.不确定答案:B？思 想 方 法？转化思想在线面垂直与距离中的应用【典例】如图,在四棱锥P-ABCD中,CD平面PAD,AD=2PD=4,AB=6,PA=,BAD=60,点Q在棱AB上.(1)证明:PD平面ABCD;(2)若三棱锥
9、P-ADQ的体积为,求点B到平面PDQ的距离.？规范展示:(1)证明:因为AD=2PD=4,PA=,所以PA2=PD2+AD2,即PDAD.因为CD平面PAD,PD平面PAD,所以CDPD.又ADCD=D,AD,CD平面ABCD,所以PD平面ABCD.？1.线线垂直与线面垂直体现了转化思想,转化关系如下:线线垂直线面垂直2.空间中距离的转化:(1)利用线面、面面平行转化:利用线面距离、面面距离的定义,转化为直线或平面上的另一点到平面的距离.(2)利用中点转化:如果条件中具有中点条件,将一个点到平面的距离,借助中点(等分点),转化为另一点到平面的距离.(3)通过换底转化:一是直接换底,以方便求几
10、何体的高;二是将底面扩展(分割),以方便求底面积和高.？【变式训练】如图,在几何体中,ABC-A1B1C1为三棱柱,且AA1平面ABC,AA1=AC,四边形ABCD为平行四边形,AD=2CD,ADC=60.(1)求证:AC1平面A1B1CD;(2)若CD=2,求点C1到平面A1B1CD的距离.？(1)证明:连接A1C.因为ABC-A1B1C1为三棱柱,且AA1平面ABC,AA1=AC,所以四边形AA1C1C是正方形.所以AC1A1C.设CD=a,则AD=2a,所以CD2+AC2=AD2,所以ACDC,所以ACAB.？由题意得AA1AB,又因为ACAA1=A,所以AB平面ACC1A1,所以ABA
11、C1,从而A1B1AC1.因为A1B1A1C=A1,且A1B1,A1C平面A1B1CD,所以AC1平面A1B1CD.？随 堂 练 习？1.已知直线a,b,c和平面,则ab的充分条件是()A.a,bB.a,bC.ac,bcD.a与c,b与c所成角相等答案:B？2.(多选题)若a,b是两条异面直线,则下列说法正确的是()A.过直线a可以作一个平面并且只可以作一个平面与直线b平行B.过直线a至多可以作一个平面与直线b垂直C.存在唯一一个平面与直线a,b等距D.可能存在平面与直线a,b都垂直？解析:a,b是两条异面直线,把直线b平移,与直线a相交,确定一个平面,因此经过直线a只能作出一个平面平行于直线
12、b,故A正确;只有a,b垂直时才能作出一个平面与直线b垂直,否则过直线a不可能作出一个平面与直线b垂直,故B正确;C显然正确;若存在平面与直线a,b都垂直,则可得出ab,与a,b异面矛盾,故D错误.答案:ABC？3.在圆柱的一个底面上任取一点(该点不在底面圆周上),过该点作另一个底面的垂线,则这条垂线与圆柱的母线所在直线的位置关系是.答案:平行4.在直四棱柱ABCD-A1B1C1D1中,当底面四边形ABCD满足条件时,有A1CB1D1.(注:填上你认为正确的一种条件即可,不必考虑所有可能的情况)答案:ACBD？5.正三棱锥的底面边长为2,侧面均为直角三角形,则此三棱锥的体积是.解析:如图,由题意知正三棱锥P-ABC的侧棱长为,三条侧棱两两垂直.PBPC=P,PA平面PBC.？6.如图,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,M是AB上一点,N是A1C的中点,MN平面A1DC.求证:MNAD1.证明:因为四边形ADD1A1为正方形,所以AD1A1D.因为CD平面ADD1A1,所以CDAD1.因为A1DCD=D,所以AD1平面A1DC.因为MN平面A1DC,所以MNAD1.
