1、？8.6.2直线与平面垂直第1课时直线与平面垂直的判定定理？课标定位素养阐释1.理解直线与平面互相垂直的定义.2.探索并掌握直线与平面垂直的判定定理,能运用判定定理进行合理逻辑推理.3.理解点到平面的距离、直线与平面所成角的概念,会求直线与平面所成的角.4.在直观感知直线与平面互相垂直、直线与平面所成角过程中,应学会归纳与总结.自主预习新知导学合作探究释疑解惑易 错 辨 析随 堂 练 习？自主预习新知导学？一、直线与平面互相垂直的定义【问题思考】1.过平面上一点,是否有无数条直线垂直于平面呢?提示:不是,有且只有一条.？2.直线与平面垂直的定义？3.做一做:已知直线l平面,直线m,则l与m不可
2、能()A.平行B.相交C.异面D.垂直答案:A？二、直线与平面垂直的判定定理【问题思考】1.鲁班是我国古代一位出色的发明家,他在做木匠活时,常常遇到有关直角的问题.虽然他手头有画直角的矩,但用起来很费事.于是,鲁班对矩进行改进,做成一把叫做曲尺的“L”形木尺.现在木工要检查一根木棒是否和板面垂直,只需用曲尺在不同的方向(但不是相反的方向)检查两次,如上图.如果两次检查时,曲尺的两边都分别与木棒和板面密合,便可以判定木棒与板面垂直.用“L”形木尺检查一次能判定木棒与板面垂直吗?提示:不能.？2.直线与平面垂直的判定定理？3.做一做:(多选题)一条直线垂直于一个平面内的下列各种情况,能保证该直线与
3、平面垂直的是()A.平行四边形的两条对角线B.梯形的两条边C.圆的两条直径D.正六边形的两条边答案:AC？三、直线与平面所成的角【问题思考】1.类比用异面直线所成角刻画异面直线不同的倾斜程度,能用角来表示直线与平面相交时不同的倾斜程度吗?提示:能.？2.(1)一条直线l与一个平面相交,但不与这个平面垂直,这条直线叫做这个平面的斜线,斜线和平面的交点A叫做斜足.过斜线上斜足以外的一点P向平面引垂线PO,过垂足O和斜足A的直线AO叫做斜线在这个平面上的射影.平面的一条斜线和它在平面上的射影所成的角,叫做这条直线和这个平面所成的角.如图,PA O就是斜线AP与平面所成的角.？(2)一条直线垂直于平面
4、,我们说它们所成的角是90.(3)一条直线和平面平行,或在平面内,我们说它们所成的角是0.(4)直线与平面所成的角的取值范围是090.？3.做一做:(1)若AB是平面的斜线段,其长为a,它在平面内的射影AB的长为b,则垂线段AA的长度为.(2)如图所示,在三棱锥P-ABC中,PA平面ABC,PA=AB,则直线PB与平面ABC所成的角为.？【思考辨析】判断下列说法是否正确,正确的在后面的括号内画“”,错误的画“”.(1)若直线垂直于平面内的无数条直线,则直线与平面垂直.()(2)如果一条直线与一个平面内的某一条直线不垂直,那么这条直线一定不与这个平面垂直.()(3)若直线与平面所成的角为0,则直
5、线与平面平行.()(4)如果一条直线与一个平面不垂直,那么这条直线一定不与这个平面内任何一条直线垂直.()？合作探究释疑解惑探究一探究二探究三？探究一 直线与平面垂直的定义【例1】(多选题)下列命题中的真命题是()A.若直线l与平面内的两条直线垂直,则lB.若直线l不垂直于,则内没有与l垂直的直线C.若直线l不垂直于,则内也可以有无数条直线与l垂直D.过一点和已知平面垂直的直线有且只有一条解析:当l与内的两条直线垂直时,不能保证l与垂直,故A错误;当l与不垂直时,l也可以与内的无数条直线垂直,故B错误,C正确;D正确.答案:CD？直线与平面垂直的定义的理解(1)直线与平面垂直的定义具有两重性,
6、既是判定又是性质;(2)判定定理中要注意必须是平面内两相交直线;(3)直线与平面内任意直线都垂直,不是有限条,也不是无数条;(4)直线与平面不垂直,也可以与平面内无数条直线垂直.？【变式训练1】若直线a平面,直线b,则a与b的关系为()A.ab,且a与b相交 B.ab,且a与b不相交C.abD.a与b不一定垂直解析:空间想象,a,b有相交垂直和异面垂直两种情况.答案:C？探究二 直线与平面垂直的判定定理【例2】如图,直角三角形ABC所在平面外有一点S,且SA=SB=SC,D为斜边AC的中点.求证:SD平面ABC.证明:因为SA=SC,D为AC的中点,所以SDAC.在RtABC中,有AD=DC=
7、BD,已知SA=SB,SD=SD,所以ADSBDS.所以BDS=ADS=90,即SDBD.又ACBD=D,AC,BD平面ABC,所以SD平面ABC.？若本例中添加条件“AB=BC”,此时BD平面SAC又如何证明?证明:因为AB=BC,D为AC的中点,所以BDAC.又由上题可知SDBD,于是BD垂直于平面SAC内的两条相交直线,所以BD平面SAC.？应用线面垂直的判定定理时,应注意事项(1)要判定一条直线和一个平面是否垂直,取决于在这个平面内能否找到两条相交直线和已知直线垂直,至于这两条相交直线是否和已知直线有公共点,这是无关紧要的.(2)判定定理在应用时,切实要抓住“相交”二字,它把线面垂直转
8、化为线线垂直.即“la,lb,a,b,ab=Al”.？探究三 直线与平面所成的角【例3】如图所示,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,E是棱DD1的中点.求直线BE与平面ABB1A1所成的角的正弦值.？解:取AA1的中点M,连接EM,BM,因为E是DD1的中点,四边形ADD1A1为正方形,所以EMAD.又在正方体ABCD-A1B1C1D1中,AD平面ABB1A1,所以EM平面ABB1A1,从而BM为直线BE在平面ABB1A1上的射影,故EBM即为直线BE与平面ABB1A1所成的角.？求斜线与平面所成角的步骤(1)作图:作(或找)出斜线在平面内的射影,作射影要过斜线上斜足以外的一点作平面的垂线
9、,再过垂足和斜足作直线,注意斜线上点的选取以及垂足的位置要与问题中已知量有关,才能便于计算;(2)证明:证明某平面角就是斜线与平面所成的角;(3)计算:通常在由垂线段、斜线和射影所组成的直角三角形中计算.？【变式训练2】在正方体ABCD-A1B1C1D1中,(1)求直线A1C与平面ABCD所成角的正切值;(2)求直线A1B与平面BDD1B1所成的角.解:(1)连接AC,如图.直线A1A平面ABCD,A1CA为直线A1C与平面ABCD所成的角,？(2)连接A1C1交B1D1于点O,连接BO.在正方形A1B1C1D1中,A1C1B1D1.BB1平面A1B1C1D1,A1C1平面A1B1C1D1,B
10、B1A1C1.又BB1B1D1=B1,A1C1平面BDD1B1,垂足为O.A1BO为直线A1B与平面BDD1B1所成的角.A1BO=30.即A1B与平面BDD1B1所成的角为30.？易 错 辨 析？运用直线与平面垂直的判定定理时表达不严密【典例】如图,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,E是BB1的中点,O是底面正方形ABCD的中心,求证:OE平面ACD1.？错解:证明:如图,连接AE,CE,D1O,D1E,D1B1.设正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为a,易证AE=CE.因为AO=OC,所以OEAC.在正方体中易求出:？以上解答过程中都有哪些错误?出错的原因是什么?你如何改正?你如何
11、防范?提示:易漏掉D1OAC=O,D1O平面ACD1和AC平面ACD1的条件,而直接证明出线面垂直,定理运用不严密,易失分.正解:在“所以OE平面ACD1.”前面增加“因为D1OAC=O,D1O平面ACD1,AC平面ACD1”,其余不变.？判定定理的条件中,“平面内两条相交直线”是关键性词语,此处强调相交,若两条直线不相交(即平行),即使直线垂直于平面内无数条直线也不能判定直线与平面垂直.？【变式训练】如图,已知PABC,AB是O的直径,C是O上不同于点A,B的任意一点,过点A作AEPC于点E.求证:AE平面PBC.证明:因为AB是O的直径,所以BCAC.因为PABC,PAAC=A,所以BC平
12、面PAC.因为AE平面PAC,所以BCAE.因为PCAE,且PCBC=C,所以AE平面PBC.？随 堂 练 习？1.(多选题)已知两条直线m,n,两个平面,则下列说法正确的是()A.mn,mnB.,m,nmnC.mn,mnD.,mn,mn解析:AD可由直线与平面垂直的定义和判定推证.根据B中条件可知,m与n平行或异面,所以B错误.C中由mn,m,可知n或n或n与相交,故C错误,所以AD正确,故选AD.答案:AD？答案:30？3.在RtABC中,D是斜边AB的中点,AC=6,BC=8,EC平面ABC,且EC=12,则ED=.解析:CD=AB=5,ED即RtECD的斜边长,利用勾股定理即得.答案:13？4.如图,四棱锥P-ABCD的底面是边长为1的正方形,PACD,PA=1,(1)求证:PA平面ABCD;(2)求四棱锥P-ABCD的体积.？
