1、？8.6.3平面与平面垂直第1课时平面与平面垂直的判定定理？课标定位素养阐释1.了解二面角的定义,能够找出二面角的平面角,并能通过数学运算求简单空间图形中二面角的大小.2.理解及掌握平面与平面垂直的判定定理,并能运用定理进行分析解决有关问题.3.在探索和应用平面与平面垂直的判定定理的过程中,提升空间想象能力及逻辑推理能力.自主预习新知导学合作探究释疑解惑思 想 方 法随 堂 练 习？自主预习新知导学？一、二面角的定义【问题思考】1.修水坝时,为了使水坝坚固耐用,必须使水坝面与水平面成适当的角度,那么两平面形成角的大小如何确定?提示:可用二面角的平面角.？2.(1)定义:如图,从一条直线出发的两
2、个半平面所组成的图形叫做二面角.这条直线叫做二面角的棱,这两个半平面叫做二面角的面.(2)记法:棱为AB,面分别为,的二面角记作二面角-AB-.也可在,内(棱以外的半平面部分)分别取点P,Q,将这个二面角记作二面角P-AB-Q.如果棱记作l,那么这个二面角记作二面角-l-或二面角P-l-Q.？(3)二面角的平面角:定义:如图,在二面角-l-的棱l上任取一点O,以点O为垂足,在半平面和内分别作垂直于棱l的射线OA和OB,则射线OA和OB构成的AOB叫做二面角的平面角.直二面角:平面角是直角的二面角.二面角的平面角的取值范围是0180.？3.做一做:若AOB是二面角-l-的平面角,则l与平面AOB
3、的位置关系是.答案:l平面AOB？二、两平面垂直【问题思考】1.当两个平面互相垂直时,一个平面内一条直线垂直另一平面内任意一条直线吗?提示:不一定.？2.(1)一般地,两个平面相交,如果它们所成的二面角是直二面角,就说这两个平面互相垂直.(2)平面与垂直,记作 .(3)如图,画两个互相垂直的平面时,通常把表示平面的两个平行四边形的一组边画成垂直.？3.做一做:过一点可以作个平面与已知平面垂直.答案:无数？三、平面与平面垂直的判定定理【问题思考】1.我们知道直三棱柱的侧棱垂直于底面,侧棱所在平面与底面垂直.当直线与已知平面垂直时,过此直线可作无数个平面,那么这些平面与已知平面有何关系?提示:垂直
4、.？2.平面与平面垂直的判定定理？3.做一做:如图,在空间四边形ABCD中,若ADBC,BDAD,则图中互相垂直的平面有.答案:平面ABD平面BCD,平面ACD平面BCD？【思考辨析】判断下列说法是否正确,正确的在后面的括号内画“”,错误的画“”.(1)二面角可以看成是一个半平面以其棱为轴旋转而成的.()(2)二面角的平面角的大小与其顶点在二面角棱上的位置有关.()(3)若m,n,mn,则.()(4)如果平面内有一条直线垂直于平面内的两条直线,那么.()？合作探究释疑解惑探究一探究二探究三？探究一 求二面角的大小【例1】已知四边形ABCD是正方形,PA平面ABCD,且PA=AB.求:(1)二面
5、角A-PD-C的平面角的度数;(2)二面角B-PA-D的平面角的度数;(3)二面角B-PA-C的平面角的度数.？解:(1)PA平面ABCD,PACD.又四边形ABCD为正方形,CDAD.PAAD=A,CD平面PAD,又CD平面PCD,平面PAD平面PCD.二面角A-PD-C的平面角为90.(2)PA平面ABCD,ABPA,ADPA.BAD为二面角B-PA-D的平面角.由题意可得BAD=90,二面角B-PA-D的平面角为90.？(3)PA平面ABCD,ABPA,ACPA.BAC为二面角B-PA-C的平面角.四边形ABCD为正方形,BAC=45.即二面角B-PA-C的平面角为45.？在本例中,二面
6、角P-BC-D的平面角的度数又该如何求解?解:PA平面ABCD,BC平面ABCD,PABC.又BCAB,且ABAP=A,BC平面PAB.BCPB.PBA为二面角P-BC-D的平面角.在RtPAB中,AP=AB,PBA=45.二面角P-BC-D的平面角为45.？解决二面角问题的策略(1)清楚二面角的平面角的大小与顶点在棱上的位置无关,通常可根据需要选择特殊点作平面角的顶点.(2)求二面角的大小的方法:一作,即先作出二面角的平面角;二证,即说明所作角是二面角的平面角;三求,即利用二面角的平面角所在的三角形算出角的三角函数值.其中,关键是“作”.？探究二 定义法证明平面与平面的垂直【例2】如图,四边
7、形ABCD为菱形,ABC=120,E,F是平面ABCD同一侧的两点,BE平面ABCD,DF平面ABCD,BE=2DF,AEEC.证明:平面AEC平面AFC.？由题意知BEDF,则在直角梯形BDFE中,从而EG2+FG2=EF2,所以EGFG.即二面角E-AC-F的平面角为90,所以平面AEC平面AFC.？用定义证明两个平面垂直的步骤利用两个平面互相垂直的定义可以直接判定两个平面垂直,判定的方法是:(1)找出两个相交平面的平面角;(2)证明这个平面角是直角;(3)根据定义,这两个平面互相垂直.？【变式训练1】如图所示,在四面体A-BCD中,AB=AD=CB=CD=AC=a.求证:平面ABD平面B
8、CD.？证明:AB=AD=CB=CD=a,ABD与BCD是等腰三角形.如图,取BD的中点E,连接AE,CE,则AEBD,BDCE.AEC为二面角A-BD-C的平面角.AC2=AE2+CE2,AECE,即AEC=90,即二面角A-BD-C的平面角为90.平面ABD平面BCD.？探究三 平面与平面垂直的判定定理【例3】如图所示,已知BSC=90,BSA=CSA=60,又SA=SB=SC.求证:平面ABC平面SBC.？证明:SA=SB=SC,且BSA=CSA=60,SA=AB=AC,点A在平面SBC上的射影为SBC的外心.已知SBC为直角三角形,点A在平面SBC上的射影D为SBC斜边BC的中点.如图
9、,连接AD,则AD平面SBC.又AD平面ABC,平面ABC平面SBC.？证明面面垂直的方法(1)定义法:即说明两个半平面所成的二面角是直二面角.(2)判定定理法:在其中一个平面内寻找一条直线与另一个平面垂直,即把问题转化为“线面垂直”.(3)性质法:若两个平行平面中的一个垂直于第三个平面,则另一个也垂直于此平面.？【变式训练2】如图,在三棱柱ABC-A1B1C1中,侧棱垂直于底面,ACB=90,D是棱AA1的中点.(1)证明:平面BDC1平面BDC;(2)平面BDC1分此棱柱为两部分,求这两部分体积的比.？(1)证明:由题设知BCCC1,BCAC,CC1AC=C,所以BC平面ACC1A1.因为
10、DC1平面ACC1A1,所以DC1BC.由题设知A1DC1=ADC=45,所以CDC1=90,即DC1DC.又因为DCBC=C,所以DC1平面BDC.因为DC1平面BDC1,所以平面BDC1平面BDC.？思 想 方 法？化归与转化思想在面面垂直综合题中的运用【典例】如图,在四棱锥P-ABCD中,底面是边长为a的正方形,侧棱PD=a,PA=PC=,求证:(1)PD平面ABCD;(2)平面PAC平面PBD;(3)二面角P-BC-D的平面角的大小为45.？审题视角:(1)转化为证明线线垂直;(2)转化为证明线面垂直;(3)根据二面角的定义,利用线线垂直找二面角的平面角,求解即可.？PC2=PD2+D
11、C2.则PDDC.同理可证PDAD.又ADDC=D,且AD,DC平面ABCD,PD平面ABCD.(2)由(1)知PD平面ABCD,又AC平面ABCD,PDAC.四边形ABCD是正方形,ACBD.又BDPD=D,且PD,BD平面PBD,AC平面PBD.AC平面PAC,平面PAC平面PBD.？(3)由(1)知PDBC,BCDC,且PD,DC为平面PDC内两条相交直线,BC平面PDC.PC平面PDC,BCPC.则PCD为二面角P-BC-D的平面角.在RtPDC中,PD=DC=a,PCD=45,即二面角P-BC-D的平面角的大小为45.？证明两个平面垂直,通常是通过证明线线垂直线面垂直面面垂直来实现的
12、.因此,在关于垂直问题的论证中要注意线线垂直、线面垂直、面面垂直的相互转化.每一垂直的判定都是从某一垂直开始转向另一垂直,最终达到目的.？【变式训练】如图所示,四边形ABCD是正方形,MA平面ABCD,PDMA,点E在MB上,G,F分别为PB,PC的中点.求证:平面EFG平面PDC.？证明:已知MA平面ABCD,PDMA,所以PD平面ABCD.又BC平面ABCD,所以PDBC.因为四边形ABCD为正方形,所以BCDC.又PDDC=D,所以BC平面PDC.在PBC中,因为G,F分别为PB,PC的中点,所以GFBC,因此GF平面PDC.又GF平面EFG,所以平面EFG平面PDC.？随 堂 练 习？
13、1.在二面角-l-的棱l上任取一点O,若AOB是二面角-l-的平面角,则必须具有的条件是()A.AOBO,AO,BOB.AOl,BOlC.ABl,AO,BOD.AOl,BOl,且AO,BO答案:D？2.(多选题)在四棱锥P-ABCD中,已知PA底面ABCD,且底面ABCD为矩形,则下列结论中正确的是()A.平面PAB平面PADB.平面PAB平面PBCC.平面PBC平面PCDD.平面PCD平面PAD答案:ABD？3.对于直线m,n和平面,能得出的一组条件是()A.mn,m,nB.mn,=m,nC.mn,n,mD.mn,m,n解析:A中,可能与相交,也可能与平行;B中,不一定;C中,mn,n,m,又m,;D中,.故选C.答案:C？4.已知正四棱锥V-ABCD的底面边长为2,侧棱长为,则二面角V-AB-C的大小为.解析:如图,连接AC,BD,AC与BD交于点O,连接VO,则VO平面ABCD.取AB的中点E,连接VE,OE,则VEAB,OEAB,所以VEO是二面角V-AB-C的平面角.由题意得OE=1,VE=2,所以VEO=60.答案:60？5.如图,四棱锥P-ABCD的底面是正方形,PD底面ABCD,点E在棱PB上.求证:平面AEC平面PDB.证明:由题意得ACBD,ACPD,PD,BD为平面PDB内两条相交直线,AC平面PDB.又AC平面AEC,平面AEC平面PDB.
