1、？8.6.3平面与平面垂直第2课时平面与平面垂直的性质定理？课标定位素养阐释1.探索并理解平面与平面垂直的性质定理,并能运用定理分析解决有关问题.2.在应用平面与平面垂直的性质定理的过程中,提升直观想象及逻辑推理素养.3.理解直线、平面之间的位置关系的相互转化.自主预习新知导学合作探究释疑解惑思 想 方 法随 堂 练 习？自主预习新知导学？一、平面与平面垂直的性质定理【问题思考】1.教室内的墙面所在的平面与地面所在的平面垂直.要在墙面上画一条直线与地面垂直,如何画?提示:只需在墙面上画出地面与墙面的交线的垂线即可.？2.平面与平面垂直的性质定理？3.做一做:设l是直线,是两个不同的平面,则下列
2、说法正确的是()A.若l,l,则B.若l,l,则C.若,l,则lD.若,l,则l解析:对于选项A,两平面可能平行也可能相交;对于选项C,直线l可能在内也可能平行于;对于选项D,直线l在内或平行于或与相交.答案:B？二、直线、平面之间的位置关系的相互转化【问题思考】1.如何证明两个平面垂直?一般先证明什么?提示:要证明两个平面垂直,先证明线线垂直,再证明线面垂直,最后证明面面垂直.2.？3.做一做:如图,已知平面平面=l,EA,垂足为A,EB,垂足为B,直线a,aAB,则直线a与直线l的位置关系是.解析:EA,平面平面=l,即l,lEA.同理lEB.EAEB=E,l平面EAB.EB,a平面,EB
3、a.又aAB,EBAB=B,a平面EAB,al.答案:平行？【思考辨析】判断下列说法是否正确,正确的在后面的括号内画“”,错误的画“”.(1)两个平面垂直,则经过第一个平面内的点作第二个平面的垂线必在第一个平面内.()(2)垂直于同一个平面的两平面平行.()(3)两个相交平面同时垂直于第三个平面,则它们的交线垂直于第三个平面.()(4)若直线a平面,直线a直线b,则直线b平面.()？合作探究释疑解惑探究一探究二探究三？探究一 平面与平面垂直的性质定理【例1】如图所示,P是四边形ABCD所在平面外的一点,四边形ABCD是DAB=60的菱形.侧面PAD为正三角形,其所在平面垂直于底面ABCD.若G
4、为AD边的中点,求证:(1)BG平面PAD;(2)ADPB.？证明:(1)如图,连接BD.四边形ABCD是菱形,且DAB=60,ABD是正三角形.G为AD中点,BGAD.又平面PAD平面ABCD,且平面PAD平面ABCD=AD,BG平面ABCD,BG平面PAD.(2)由(1)知BGAD.连接PG.PAD为正三角形,G为AD的中点,PGAD.又PGBG=G,AD平面PBG.PB平面PBG,ADPB.？1.利用面面垂直的性质定理证明线面垂直的问题时,要注意以下三点:(1)两个平面垂直;(2)直线必须在其中一个平面内;(3)直线必须垂直于它们的交线.2.在运用面面垂直的性质定理时,若没有与交线垂直的
5、直线,一般需作辅助线.基本作法是过其中一个平面内一点作交线的垂线,这样便把面面垂直问题转化为线面垂直问题,进而转化为线线垂直问题.？探究二 平面与平面垂直的性质定理的应用【例2】如图,边长为2的正方形ACDE所在的平面与平面ABC垂直,AD与CE的交点为M,ACBC,且AC=BC.(1)求证:AM平面EBC.(2)求直线EC与平面ABE所成角的正切值.？(1)证明:平面ACDE平面ABC,平面ACDE平面ABC=AC,BC平面ABC,BCAC,BC平面ACDE.又AM平面ACDE,BCAM.四边形ACDE是正方形,AMCE.又BCCE=C,BC,CE平面EBC,AM平面EBC.？(2)解:如图
6、,取AB的中点F,连接CF,EF.EAAC,平面ACDE平面ABC,平面ACDE平面ABC=AC,EA平面ABC.CF平面ABC,EACF.又AC=BC,CFAB.EAAB=A,CF平面AEB,CEF即为直线EC与平面ABE所成的角.？面面垂直的性质定理的实质是由面面垂直得到线面垂直,故可用来证明线面垂直,最后可得线线垂直.？【变式训练1】如图,在三棱锥P-ABC中,E,F分别为AC,BC的中点.(1)求证:EF平面PAB;(2)若平面PAC平面ABC,且PA=PC,ABC=90.求证:平面PEF平面PBC.？证明:(1)E,F分别为AC,BC的中点,EFAB.又EF平面PAB,AB平面PAB
7、,EF平面PAB.(2)PA=PC,E为AC的中点,PEAC.又平面PAC平面ABC,平面PAC平面ABC=AC,PE平面ABC,PEBC.ABC=90,且EFAB,BCEF.EFPE=E,BC平面PEF.又BC平面PBC,平面PEF平面PBC.？探究三 直线与平面垂直、平面与平面垂直的综合应用【例3】如图,平面PAB平面ABC,平面PAC平面ABC,AE平面PBC,E为垂足.(1)求证:PA平面ABC;(2)当E为PBC的垂心时,求证:ABC是直角三角形.？证明:(1)如图,在平面ABC内任取一点D,过点D作DFAC,垂足为F;过点D作DGAB,垂足为G.平面PAC平面ABC,且交线为AC,
8、DF平面PAC.PA平面PAC,DFPA.同理可证DGPA.DGDF=D,PA平面ABC.？(2)如图,连接BE并延长交PC于点H.E是PBC的垂心,PCBH.又AE是平面PBC的垂线,PCAE.BHAE=E,且BH,AE平面ABE,PC平面ABE,PCAB.又PA平面ABC,PAAB.PAPC=P,AB平面PAC.ABAC,即ABC是直角三角形.？将空间问题转化成平面问题是解决立体几何问题的一个基本原则,解题时,要抓住几何图形自身的特点,如等腰(边)三角形的三线合一、中位线定理、菱形的对角线互相垂直等.还可以通过解三角形,产生一些题目所需要的条件,对于一些较复杂的问题,要善于运用转化思想解决
9、.？【变式训练2】如图,A,B,C,D为空间四点,在ABC中,AB=2,等边三角形ADB以AB为轴转动.(1)当平面ADB平面ABC时,求CD;(2)当ADB转动时,是否总有ABCD?证明你的结论.？解:(1)如图,取AB的中点E,连接DE,CE,因为ADB是等边三角形,所以DEAB.当平面ADB平面ABC时,因为平面ADB平面ABC=AB,所以DE平面ABC,从而DECE.？(2)当ADB以AB为轴转动时,总有ABCD.证明:当点D在平面ABC内时,因为AC=BC,AD=BD,所以点C,D都在线段AB的垂直平分线上,即ABCD.当点D不在平面ABC内时,由(1)知DEAB.因为AC=BC,所
10、以ABCE.又因为在平面CDE内,DE,CE为两条相交直线,所以AB平面CDE.由CD平面CDE,得ABCD.综上所述,总有ABCD.？思 想 方 法？转化思想在线线、线面、面面垂直中的应用【典例】已知,是三个不同的平面,l为直线,=l.求证:l.审题视角:根据直线和平面垂直的判定定理,可在内构造两相交直线分别与平面,垂直;或者由面面垂直的性质易在,内作出平面的垂线,再设法证明l与其平行即可.？证法一:在平面内任取一点P,作PA垂直与的交线于点A,PB垂直与的交线于点B.,PA,PB.=l,lPA,lPB.又PAPB=P,且PA,PB,l.证法二:在平面内作直线m垂直于与的交线,在内作直线n垂
11、直于与的交线.,m,n.mn.又n,m,m.又m,=l,ml.l.？1.线线、线面、面面垂直关系的综合应用主要体现了转化思想,其转化关系如下:2.平行与垂直的转化:直线与平面垂直的性质定理揭示了“平行”与“垂直”之间的内在联系,如证法二.？【变式训练】如图,在四棱锥P-ABCD中,平面ABCD平面PAB,四边形ABCD为矩形,PA=AB,E,F分别为PC,PB的中点.证明:平面DEF平面PBC.？证明:因为平面ABCD平面PAB,平面ABCD平面PAB=AB,CB平面ABCD,且CBAB,所以CB平面ABP.因为E,F分别为PC,PB的中点,所以EFCB,所以EF平面ABP.因为PB平面ABP
12、,所以EFPB.连接AF.因为EFCBAD,所以A,D,E,F四点共面.因为PA=AB,F为PB的中点,所以PBAF.又因为AFEF=F,所以PB平面DEF.因为PB平面PBC,所以平面DEF平面PBC.？随 堂 练 习？1.已知平面平面,直线a,则()A.aB.aC.aD.a或a答案:D？2.已知平面,则下列命题中是真命题的为()A.若,则B.若,则C.若=a,=b,则abD.若,=a,ab,则b解析:A中,还可能相交;C中,a与b不一定垂直;D中b仅垂直于内的一条直线a,不能判定b.答案:B？3.在四面体A-BCD中,ABAD,AB=AD=BC=CD=1,且平面ABD平面BCD,M为AB的中点,则线段CM的长为.？解析:如图所示,取BD的中点O,连接OA,OC.因为AB=AD=BC=CD=1,所以OABD,OCBD.又平面ABD平面BCD,且交线为BD,所以OA平面BCD.取OB的中点N,连接MN,CN,则MNOA,所以MN平面BCD,从而MNCN.？4.如图,在四棱锥S-ABCD中,底面ABCD是矩形,侧面SCD底面ABCD,求证:平面SCD平面SBC.证明:因为底面ABCD是矩形,所以BCCD.又因为平面SCD平面ABCD,平面SCD平面ABCD=CD,BC平面ABCD,所以BC平面SCD.又因为BC平面SBC,所以平面SCD平面SBC.
