1、山东省聊城市2021届高三数学上学期期末考试试题本试卷共6页，22题，全卷满分150分。考试用时120分钟。注意事项：1.答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡和试卷指定位置上。2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡，上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。参考公式：锥体的体积公式：VSh(其中S为锥体的底面积，h为锥体的高)一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1.设集合Ax|
2、x2x60，Bx|x10，则ABA.x|x3 B.x|3x1 C.x|2x1 D.x|2x0，b0)的左、右顶点分别为A，B，其中一条渐近线与以线段AB为直径的圆在第一象限内的交点为P，另一条渐近线与直线PA垂直，则C的离心率为A.3 B.2 C. D.8.已知函数f(x)a(x1)exx，若存在唯一的正整数x0，使得f(x0)0，则实数a的取值范围是A.，) B.，) C.，) D.，)二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分。9.为落实山东省学生体质健康促进条例的要求，促进学生增强体
3、质，健全人格，锤炼意志，某学校随机抽取了甲、乙两个班级，对两个班级某一周内每天的人均体育锻炼时间(单位：分钟)进行了调研。根据统计数据制成折线图如下：下列说法正确的是A.班级乙该周每天的人均体育锻炼时间的众数为30B.班级甲该周每天的人均体育锻炼时间的中位数为72C.班级甲该周每天的人均体育锻炼时间的极差比班级乙的小D.班级甲该周每天的人均体育锻炼时间的平均值比班级乙的大10.已知函数f(x)asin(2x1)bcos(2x2)(其中a，b不全为0)，若f()0，则下列说法一定正确的是A.f(x)为奇函数 B.f(x)的最小正周期为C.f(x)在区间，上单调递增 D.f(x)在区间0，2021
4、上有4042个零点11.如图，在正四棱柱ABCDA1B1C1D1中，AA12AB2，点P为线段AD1上一动点，则下列说法正确的是A.直线PB1/平面BC1DB.三棱锥PBC1D的体积为C.三棱锥D1BC1D外接球的表面积为D.直线PB1与平面BCC1B1所成角的正弦值的最大值为12.已知红箱内有5个红球、3个白球，白箱内有3个红球、5个白球，所有小球大小、形状完全相同。第一次从红箱内取出一球后再放回去，第二次从与第一次取出的球颜色相同的箱子内取出一球，然后再放回去，依次类推，第k1次从与第k次取出的球颜色相同的箱子内取出一球，然后再放回去。记第n次取出的球是红球的概率为Pn，则下列说法正确的是
5、A.P2B.Pn1PnC.P2n1Pn1PnPn2(PnPn2)D.对任意的i，jN且1i0的解集为 。16.已知直线l与抛物线C：y28x相切于点P，且与C的准线相交于点T，F为C的焦点，连接PF交C于另一点Q，则PTQ面积的最小值为 ；若|TF|5，则|PQ|的值为 。(本小题第一空2分，第二空3分)四、解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17.(10分)在平面四边形ABCD中，AB2，BC5，ABC120，AD，ADC2ACD，求ACD的面积。18.(12分)已知数列an的前n项和Snn2。(1)求数列an的通项公式；(2)在bn，bnan2n，bn(
6、1)nSn这三个条件中任选一个，补充在下面的问题中，并求解该问题。若 ，求数列bn的前n项和Tn。注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分。19.(12分)如图，在三棱柱ABCA1B1C1中，ABAC2，D为BC的中点，平面BB1C1C平面ABC，设直线l为平面AC1D与平面A1B1C1的交线。(1)证明：l平面BB1C1C；(2)已知四边形BB1C1C为边长为2的菱形，且B1BC60，求二面角DAC1C的余弦值。20.(12分)习近平同志在十九大报告中指出，要坚决打赢脱贫攻坚战。确保到2020年在我国现行标准下农村贫困人口实现脱贫，贫困县全部摘帽。某县在实施脱贫工作中因地制宜，着力发展
7、枣树种植项目。该县种植的枣树在2020年获得大丰收，依据扶贫政策，所有红枣由经销商统一收购。为了更好地实现效益，县扶贫办从今年收获的红枣中随机选取100千克，进行质量检测，根据检测结果制成如图所示的频率分布直方图。右表是红枣的分级标准，其中一级品、二级品统称为优质品。经销商与某农户签订了红枣收购协议，规定如下：从一箱红枣中任取4个进行检测，若4个均为优质品，则该箱红枣定为A类；若4个中仅有3个优质品，则再从该箱中任意取出1个，若这一个为优质品，则该箱红枣也定为A类；若4个中至多有一个优质品，则该箱红枣定为C类；其它情况均定为B类。已知每箱红枣重量为10千克，A类、B类、C类的红枣价格分别为每千
8、克20元、16元、12元。现有两种装箱方案；方案一：将红枣采用随机混装的方式装箱；方案二：将红枣按一、二、三、四等级分别装箱，每箱的分拣成本为1元。以频率代替概率解决下面的问题。(1)如果该农户采用方案一装箱，求一箱红枣被定为A类的概率；(2)根据所学知识判断，该农户采用哪种方案装箱更合适，并说明理由。21.(12分)已知椭圆C：的离心率为，过椭圆焦点的最短弦长为。(1)求椭圆C的标准方程；(2)若折线yk|x|(k0)与C相交于A，B两点(点A在直线x的右侧)，设直线OA，OB的斜率分别为k1，k2，且k2k12，求k的值。22.(12分)已知函数f(x)axln(x1)。(1)讨论f(x)
9、的单调性；(2)若f(x)ex对任意的x(0，)恒成立，求实数a的取值范围。2021年1月高三模拟考试数学评分细则三、填空题13； 144； 15； 16（本小题第一空2分，第二空3分） 注：15题也可用集合表示： ;不写成集合或区间形式的不给分.16题第二空也可写12.5或.17（10分）在平面四边形中，求的面积17【解析】【解法一】在中，由余弦定理可得：，所以 ；3分在中，由正弦定理可得：，即 ，所以 ，所以 ；因为 ，所以 ；6分所以 ，8分所以 10分注：6分点处，“ ”和“ ”两式只要有一个出现即得分.【解法二】在中，由余弦定理可得：，所以 ；3分由已知所以在中，由正弦定理可得所以因
10、为 ，所以 ；6分所以 ，8分所以 10分【解法三】在中，由余弦定理可得：，所以 ；3分在中，由正弦定理可得：，即 ，所以 ，所以 ；6分又即 所以或（舍）（不满足）8分所以 10分注：6分点处，“ ”和“ ”两式只要有一个出现即得分； 8分点处，若未舍掉“” ，的面积算出两个值，则得8分；若只写出“”，不扣分.18（12分）已知数列的前项和（1）求数列的通项公式；（2）在，这三个条件中任选一个，补充在下面的问题中，并求解该问题若，求数列的前项和18【解析】（1）因为 ，所以 ，1分所以 ，3分当时，适合上式，4分所以 5分说明：1.没有写出，直接得到正确结果的不扣分；2.最后结果写成，不扣分
11、；（2）若选：因为 6分，8分所以 10分12分说明：最后结果写成都可以；若选：方法一：因为 ，6分所以 ， 则 ，8分两式相减可得：10分，所以 12分说明：1.无错位相减过程，直接用公式得出结果的本问得3分；（其中 1分，最后结果占2分）2. 最后结果写成也可以；3. 考生若是错位相减时采用“”式减去“”按照上述各点对应得分即可.方法二：因为 ，6分，8分10分，12分说明：最后结果写成也可以；若选：，6分当为偶数时，；8分当为奇数时， 10分综上：12分说明：1.最后结果写成也可以；2. 10分点处，写作也可以.19（12分）如图，在三棱柱中，为的中点，平面平面，设直线为平面与平面的交线
12、（1）证明：平面；（2）已知四边形为边长为的菱形，且，求二面角的余弦值19【解析】（1）【解法一】证明：因为 是的中点， 所以 ，1分 又因为 平面平面，且平面平面，平面， 故 平面，2分 而 平面，且平面， 平面平面， 所以，4分 所以 平面；5分注：1、2分处，条件不全不扣分2、4分处，条件不全不扣分【解法二】证明：因为 是的中点， 所以 ，1分 又因为 平面平面，且平面平面，平面， 故 平面，2分 又平面平面， 所以平面平面，4分 而平面平面， 故平面.5分注：解法二应用 如果两个平面都垂直于第三个平面，则它们的交线也垂直于这个平面.（2）【解法一】因为 四边形为菱形，且，连接，则，又因
13、为 平面平面，平面平面，故 平面. 以为坐标原点，分别为轴，轴，轴建立空间直角坐标系.6分 则 . 所以 ，设平面的法向量，则，即， 令，则，所以 ；8分设平面的法向量，则，即， 令，则，所以 ；10分 所以 ，11分由图可知 所求二面角为锐角， 所以 二面角的余弦值为.12分 注：8分和10分处，分别给的两个法向量的分，点坐标不给分.（2）【解法二】因为 四边形为菱形，且，连接，则，又因为 平面平面，平面平面，故 平面. 以为坐标原点，分别为轴，轴，轴建立空间直角坐标系.6分 则 . 所以 ，设平面的法向量，则，即， 令，则，所以 ；8分设平面的法向量，则，即， 令，则，所以 ；10分 所以
14、 ，11分由图可知 所求二面角为锐角， 所以 二面角的余弦值为.12分（2）【解法三】因为 平面，平面， 所以 平面平面，在平面内，过作于点，则 平面6分过作于点，则为线段的中点；连接，则 即为二面角的平面角.8分在直角中，；在中，.9分在中，；.10分在直角中，所以 ， .11分所以 二面角的余弦值为.12分注：其它建系办法参考解法一给分，建系1分，两个法向量各2分，余弦值1分，结论1分.20（12分）习近平同志在十九大报告中指出，要坚决打赢脱贫攻坚战确保到2020年在我国现行标准下农村贫困人口实现脱贫，贫困县全部摘帽某县在实施脱贫工作中因地制宜，着力发展枣树种植项目该县种植的枣树在2020
15、年获得大丰收，依据扶贫政策，所有红枣由经销商统一收购为了更好的实现效益，县扶贫办从今年收获的红枣中随机选取100千克，进行质量检测，根据检测结果制成如图所示的频率分布直方图右表是红枣的分级标准，其中一级品、二级品统称为优质品等级四级品三级品二级品一级品红枣纵径/mm经销商与某农户签订了红枣收购协议，规定如下：从一箱红枣中任取4个进行检测，若4个均为优质品，则该箱红枣定为A类；若4个中仅有3个优质品，则再从该箱中任意取出1个，若这一个为优质品，则该箱红枣也定为A类；若4个中至多有一个优质品，则该箱红枣定为C类；其它情况均定为B类已知每箱红枣重量为10千克，A类、B类、C类的红枣价格分别为每千克2
16、0元、16元、12元现有两种装箱方案：方案一：将红枣采用随机混装的方式装箱；方案二：将红枣按一、二、三、四等级分别装箱，每箱的分拣成本为1元以频率代替概率解决下面的问题（1）如果该农户采用方案一装箱，求一箱红枣被定为A类的概率；（2）根据所学知识判断，该农户采用哪种方案装箱更合适，并说明理由20【解析】（1）从红枣中任意取出一个，则该红枣为优质品的概率是，记“如果该农户采用方案一装箱，一箱红枣被定为A类”为事件，则2分3分说明：若结果正确，但无计算式，不扣分.（2）记“如果该农户采用方案一装箱，一箱红枣被定为B类”为事件，“如果该农户采用方案一装箱，一箱红枣被定为C类”为事件，则，5分，7分所
17、以 如果该农户采用方案一装箱，每箱红枣收入的数学期望为：元；9分由题意可知，如果该农户采用方案二装箱，则一箱红枣被定为A类的概率为，被定为C类的概率也为，所以 如果该农户采用方案二装箱，每箱红枣收入的数学期望为：元；11分因为所以 该农户采用方案二装箱更合适12分说明：1.只写结论“方案二装箱更合适”得1分；2.无计算式只有结果的，不扣分；3.两个方案的数学期望，无计算式只有结果的，不扣分.21（12分）已知椭圆的离心率为，过椭圆焦点的最短弦长为（1）求椭圆的标准方程；（2）若折线与相交于两点(点在直线的右侧)，设直线的斜率分别为，且，求的值21【解析】（1）由题可知，1分，2分 又因为， 所
18、以，所以椭圆的标准方程为；4分注：1分点处，写作亦可；2分点处，学生直接用通径长公式不扣分；4分点处，标准方程正确即得分，否则不得分.（2）（解法一）由题意，设点关于轴的对称点为则直线与椭圆相交于两点设，则， 由得，6分 所以，所以， ，9分即，整理得，11分解得或12分注： 9分点处，只要出现即得分； 11分点处，若最后值解得的结果正确，则该点未出现亦不扣分； 12分点处，解出的两个值都正确才得分，否则不得分.（解法二）由题意， 设， 且易知， 由得，6分所以，所以，9分即，整理得，11分解得或12分注：9分点处，只要出现即得分； 11分点处，若最后值解得的结果正确，则该点未出现亦不扣分；
19、12分点处，解出的两个值都正确才得分，否则不得分22（12分）已知函数（1）讨论的单调性；（2）若对任意的恒成立，求实数的取值范围【解析】（1），其中， -1分（求出导数1分，两种形式都可以，定义域不占分）若，此时在上单调递减； -2分若，由，此时在上单调递减，在上单调递增；-4分（写对一个给1分）综上所述，在上单调递减；，在上单调递减，在上单调递增.（没综上不扣分）（2）【解法一】由题意在恒成立，-5分记，其中；则， -5分（构造转化1分） - 其中； ，记，因为 ，所以 在上单调递增，所以 ，所以 ，所以 在上单调递增；-6分（导数的单调性1分）若，因为 在上单调递增，所以 ，所以 在上单
20、调递增，所以 ，符合题意； -8分若，所以 在上单调递减，所以，不合题意； -9分（或者找特殊点如：，不合题意；） 若， 因为，所以 ，又因为，在上单调递增，所以 当时，所以 在上单调递减，所以 当时，不合题意； -11分综上 实数的取值范围是 -12分（结论1分）【解法二】记，所以 在上单调递增，所以 ，即 -6分所以 恒成立； -7分若，记， 记， ，所以 在上单调递增，所以 ，所以 ，符合题意； -9分若，不合题意； -10分若，由（1）知，在上单调递减，所以 ，不合题意； -11分综上 实数的取值范围是 -12分【解法三】由题意在恒成立，记，其中； -5分因为，且，所以，得 -8分下证充分性：若，则，-9分 记，则 ，所以 在上单调递增，所以 ，所以 ， -11分所以 实数的取值范围是 -12分【解法四】由题意在恒成立，记，其中； -5分因为，且，所以，得 -8分下证充分性：【格式一】当时，设，所以在上单调递增，上单调递减-9分易证得， -10分所以 ， 又时，所以 ，所以 ， 即，即 ， -11分所以 实数的取值范围是 -12分【格式二】当时，设，因为 ，所以在单调递增，-9分易证得， -10分所以 ， 则，所以，所以 ，-11分所以 实数的取值范围是 -12分
