1、3.3函数的应用(一)1.一次函数模型形如y=kx+b的函数为一次函数模型，其中k0.2.二次函数模型(1)一般式：y=ax2+bx+c(a0).(2)顶点式：_.(3)两点式：y=a(x-x1)(x-x2)(a0).【思考】一次、二次函数模型的定义域都是全体实数，在实际应用问题中，定义域一定是全体实数吗？提示：不一定，要根据应用问题中的自变量的实际意义确定.3.基本不等式如果a，b是正数，那么(当且仅当a=b时取“=”号)【思考】基本不等式适用的条件.提示：(1)代数式中各项必须都是正数.(2)代数式中含变数的各项的和或积必须是常数；(3)等号成立的条件必须存在.【素养小测】1.思维辨析(对
2、的打“”，错的打“”)(1)在选择实际问题的函数模型时，必须使所有采集的数据都适合函数模型的解析式.()(2)实际应用问题中自变量的取值范围由函数模型的解析式唯一确定.()(3)利用函数模型得到数据后，要用该数据解释需要解决的实际问题.()提示：(1).只要大部分数据适合就可以.(2).由解析式、自变量的实际意义共同确定.(3).建立数学模型是为解决实际问题服务的，得出的数据要能解释实际问题.2.小明的父亲饭后出去散步，从家中走20分钟到一个离家900米的报亭看20分钟报纸后，用20分钟返回家里，下面图形中能表示小明的父亲离开家的时间x与距离y之间的关系的是()【解析】选A.小明父亲行走的路程
3、前20分钟增加到900米，20分钟至40分钟路程不增加，40分钟至60分钟路程减少至0，因此A中图像符合题意.3.某商品进货单价为30元，按40元一个销售，能卖40个；若销售价格每涨1元，销量减少1个，要获得最大利润，此商品的销售单价应是()A.55元B.50元C.56元D.48元【解析】选A.设销售单价为x元，总利润为W元，则W=(x-30)40-1(x-40)=-x2+110 x-2400=-(x-55)2+625，所以x=55时获得最大利润为625元.4.某种细胞分裂时，由1个分裂成2个，2个分裂成4个现有2个这样的细胞，分裂x次后得到细胞的个数y与x的函数关系是()A.y=2xB.y=
4、2x-1C.y=2xD.y=2x+1【解析】选D.分裂一次后由2个变成22=22个，分裂两次后变成42=23个分裂x次后变为y=2x+1个.类型一 一次函数模型 【典例】李庄村某社区电费收取有以下两种方案供农户选择：方案一：每户每月收管理费2元，月用电不超过30度，每度0.4元，超过30度时，超过部分按每度0.5元.方案二：不收管理费，每度0.48元.(1)求方案一收费L(x)元与用电量x(度)间的函数关系.(2)小李家九月份按方案一交费34元，问小李家该月用电多少度？(3)小李家月用电量在什么范围时，选择方案一比选择方案二更好？【思维引】利用两种方案的解析式解决相应的问题.【解析】(1)当0
5、 x30时，L(x)=2+0.4x；当x30时，L(x)=2+300.4+(x-30)0.5=0.5x-1，所以L(x)=(2)当0 x30时，L(x)L(30)=14，故小李家九月份用电超过30度，由0.5x-1=34得x=70，故小李家该月用电70度.(3)方案二收费E(x)=0.48x，x0，令L(x)E(x)，当0 x30时，2+0.4x0.48x，解得，2530时，0.5x-10.48x，解得，30 x50，综上可得小李家月用电量在(25，50)时，选择方案一比选择方案二更好.【内化悟】怎样求一次函数的解析式？提示：设f(x)=kx+b(k0)，利用条件求出系数k，b.即待定系数法.
6、【类题通】应用分段函数时的三个注意点(1)分段函数的“段”一定要分得合理，不重不漏.(2)分段函数的定义域为对应每一段自变量取值范围的并集.(3)分段函数的值域求法为：逐段求函数值的范围，最后比较再下结论.【习练破】已知A，B两地相距150千米，某人开汽车以60千米/时的速度从A到达B地，在B地停留1小时后再以50千米/时的速度返回A地，把汽车离开A地的距离x表示为时间t的函数，表达式为_.【解析】由题意得A，B两地相距150千米，某人开汽车以60千米/时的速度从A地到达B地，需要2.5小时，以50千米/时的速度返回A地，需要3小时；所以当0t2.5时，x=60t，当2.5t3.5时，x=15
7、0，当3.5t6.5时，x=150-50(t-3.5)，所以x=答案：x=类型二 二次函数的应用 【典例】山东省寿光市绿色富硒产品和特色农产品在国际市场上颇具竞争力，其中香菇远销日本和韩国等地.上市时，外商李经理按市场价格10元/千克在本市收购了2 000千克香菇存放入冷库中.据预测，香菇的市场价格每天每千克将上涨0.5元，但冷库存放这批香菇时每天需要支出各种费用合计340元，而且香菇在冷库中最多保存110天，同时，平均每天有6千克的香菇损坏不能出售.世纪金榜导学号(1)若存放x天后，将这批香菇一次性出售，设这批香菇的销售总金额为y元，试写出y与x之间的函数关系式.(2)李经理如果想获得利润2
8、2 500元，需将这批香菇存放多少天后出售？(3)李经理将这批香菇存放多少天后出售可获得最大利润？最大利润是多少？【思维引】(1)销售金额=售价销售量.(2)表示出利润=销售总金额-收购成本-各种费用，再求存放时间.(3)对利润的表达式配方求最值.【解析】(1)由题意y与x之间的函数关系式为y=(10+0.5x)(2 000-6x)=-3x2+940 x+20 000(1x110，且x为整数).(2)由题意令-3x2+940 x+20 000-102 000-340 x=22 500，解方程得：x1=50，x2=150(不合题意，舍去)，故需将这批香菇存放50天后出售.(3)设利润为w，由题意
9、得w=-3x2+940 x+20 000-102 000-340 x=-3(x-100)2+30 000.因为a=-30，所以抛物线开口方向向下，所以x=100时，w最大=30 000，所以李经理将这批香菇存放100天后出售可获得最大利润，最大利润是30 000元.【内化悟】求二次函数模型的最值需要关注哪些方面？提示：需要关注(1)函数的开口方向；(2)对称轴；(3)自变量的取值范围.【类题通】利用二次函数求最值的方法及注意点(1)方法：根据实际问题建立函数模型解析式后，可利用配方法、判别式法、换元法利用函数的单调性等方法求最值，从而解决实际问题中的利润最大、用料最省等最值问题.(2)注意：取
10、得最值时的自变量与实际意义是否相符.【习练破】某水厂的蓄水池中有400吨水，每天零点开始由池中放水向居民供水，同时以每小时60吨的速度向池中注水，若t小时内向居民供水总量为100 (0t24)，则当t为何值时蓄水池中的存水量最少？【解析】设t小时后，蓄水池中的存水量为y吨，则y=400+60t-100 (0t24).设u=，则u0，2 ，y=60u2-100 u+400=60 +150，所以当u=即t=时，蓄水池中的存水量最少.类型三 基本不等式的应用 【典例】某单位用2 160万元购得一块空地，计划在该地块上建造一栋至少10层，每层2 000平方米的楼房.经测算，如果将楼房建为x(x10)层
11、，则每平方米的平均建筑费用为560+48x(单位：元).为了使楼房每平方米的平均综合费用最少，该楼房应建为多少层？世纪金榜导学号【思维引】平均综合费用=平均建筑费用+平均购地费用，平均购地费用=，建设层数x必须为正整数.【解析】设楼房每平方米的平均综合费用为f(x)元，则f(x)=(560+48x)+=560+48x+(x10，xN*).所以f(x)=560+48x+560+2 =2 000，当且仅当48x=，即x=15时取等号.因此，当x=15时，f(x)取最小值f(15)=2 000，即为了使楼房每平方米的平均综合费用最少，该楼房应建为15层.【类题通】在应用基本不等式解决实际问题时，应注
12、意如下的思路和方法：先理解题意，设出变量，一般把要求最值的量定为函数；建立相应的函数关系，把实际问题抽象成函数的最大值或最小值问题；在定义域内，求出函数的最大值或最小值；根据实际背景写出答案.【习练破】某工厂要建造一个长方体无盖贮水池，其容积为4 800m3，深为3 m，如果池底每1 m2的造价为150元，池壁每1 m2的造价为120元，问怎样设计水池能使总造价最低，最低总造价是多少元？【解析】设水池底面一边的长度为x m，水池的总造价为l元，根据题意，得l=240 000+720 240 000+7202 =240 000+720240=297 600，当x=，即x=40时，有最小值297 600.因此，当水池的底面是边长为40 m的正方形时，水池的总造价最低，最低总造价是297 600元
