1、烟台芝罘区数学函数求参数范围问题解决方法及针对性练习 2016 年高三专题复习-函数专题（4）一、变换“主元”思想，适用于一次函数型 处理含参不等式恒成立的某些问题时，若能适时的把主元变量和参数变量进行“换位”思考，往往会使问题降次、简化。例 1.对于满足 04 p的一切实数 p，不等式 x2+px4x+p-3 恒成立，求 x 的取值范围 分析：习惯上把 x 当作自变量，记函数 y=x2+(p-4)x+3-p,于是问题转化为当 p 4,0时 y0 恒成立，求 x 的范围若把 x 与 p 两个量互换一下角色，即 p 视为变量，x 为常量，则上述问题可转化为在0,4内关于 p 的一次函数大于 0
2、恒成立的问题 解：设 f(p)=(x-1)p+x2-4x+3，当 x=1 显然不满足题意由题设知当 04 p时 f(p)0 恒成立，f(0)0,f(4)0 即 x2-4x+30 且 x2-10，解得 x3 或 x3 或 x g(k)g(k)f(x)min f(x)g(k)f(x)maxg(k)f(x)g(k)f(x)max g(k)三、数形结合 1）)()(xgxf函数)(xf图象恒在函数)(xg图象上方；2）)()(xgxf函数)(xf图象恒在函数)(xg图象下上方。例 1设04，x，若不等式axxx134)4(恒成立，求 a 的取值范围 分析与解：若设函数)4(1xxy，则)0(4)2(1
3、212yyx，其图象为上半圆设函数axy1342，其图象为直线在同一坐标系内作出函数图象如图，依 题 意 要 使 半 圆 恒 在 直 线 下 方，只 有 圆 心)0,2(到 直 线03334ayx的距离25|338|ad且01 a时成立，即 a 的取值范围为5a 例 2当 x(1,2)时，不等式(x-1)2logax 恒成立，求 a 的取值范围。分析：若将不等号两边分别设成两个函数，则左边为二次函数，右边为对数函数，故可以采用数形结合借助图象位置关系通过特指求解 a 的取值范围。解：设 T1:()f x=2(1)x,T2:()logag xx,则 T1的图象为右图所示的抛物线，要使对一切 x(
4、1,2),()f x 1,并且必须也只需(2)(2)gf 故 loga21,a1,10，显然成立。当 m0 时，则03m0。当 m2x+p 恒成立的 x 的取值范围。2、设函数是定义在(,)上的增函数，如果不等式2(1)(2)faxxfa对于任意0,1x恒成立，求实数 a 的取值范围。3、设 f(x)=x2-2ax+2,当 x-1,+)时，都有 f(x)a 恒成立，求 a 的取值范围。4、已知关于 x 的方程 lg(x2+20 x)-lg(8x-6a-3)=0 有唯一解，求实数 a 的取值范围。5、已知当 xR 时，不等式 a+cos2x0,令 f(p)=(x-1)p+x2-2x+1,则原问题
5、等价于 f(p)0 在 p-2,2上恒成立，故有：方法一：10(2)0 xf 或10(2)0 xf x3.方法二：(2)0(2)0ff即0103422xxx解得：1113xxxx或或 x3.2、解：()f x 是增函数2(1)(2)faxxfa对于任意0,1x恒成立 212axxa 对于任意0,1x恒成立 210 xaxa 对于任意0,1x恒成立，令2()1g xxaxa，0,1x，所以原问题min()0g x，又min(0),0()(),2022,2gaag xgaa 即2min1,0()1,2042,2aaag xaaa 易求得1a。3、解：设 F(x)=f(x)-a=x2-2ax+2-a
6、.)当=（-2a）2-4(2-a)=4（a-1)(a+2)0 时，即-2a1 时，对一切 x-1,+)，F(x)0 恒成立；）当=4（a-1)(a+2)0 时由图可得以下充要条件：,1220)1(0af即,1030)2)(1(aaaa 得-3 a-2;综上所述：a 的取值范围为-3，1。4、解：令 T1：y1=x2+20 x=（x+10）2-100,T2：y2=8x-6a-3,则如图所示，T1的图象为一抛物线，T2的图象是一条斜率为定值 8，而截距不定的直线，要使 T1和 T2在 x 轴上有唯一交点，则直线必须位于 l1和 l2之间。（包括 l1但不包括 l2)-1oxyxyl1l2l-20o
7、当直线为 l1时，直线过点（-20，0）此时纵截距为-6a-3=160,a=6163;当直线为 l2时，直线过点（0，0），纵截距为-6a-3=0，a=21a 的范围为6163，21）。5、方法一）分析：在不等式中含有两个变量 a 及 x，本题必须由 x 的范围（xR）来求另一变量 a 的范围，故可考虑将 a 及 x 分离构造函数利用函数定义域上的最值求解 a 的取值范围。解：原不等式4sinx+cos2x-a+5 当 xR 时，不等式 a+cos2x(4sinx+cos2x)设 f(x)=4sinx+cos2x 则22f(x)=4sinx+cos2x=-2sin x+4sinx+1=-2(s
8、inx-1)+3 3-a+53a2 方法二）题目中出现了 sinx 及 cos2x，而 cos2x=1-2sin2x,故若采用换元法把 sinx 换元成 t,则可把原不等式转化成关于 t 的二次不等式，从而可利用二次函数区间最值求解。解：不等式 a+cos2x5-4sinx 可化为 a+1-2sin2x5-4sinx,令 sinx=t,则 t-1,1,不等式 a+cos2x0,t-1,1恒成立。设 f(t)=2t2-4t+4-a，显然 f(x)在-1，1内单调递减，min)(tf=f(1)=2-a,2-a0a2 6、分析：如果(.1)x 时，()f x 恒有意义，则可转化为1 240 xxa恒成立，即参数分离后21 2(22)4xxxxa ，(.1)x 恒成立，接下来可转化为二次函数区间最值求解。解：如果(.1)x 时，()f x 恒有意义1240 xxa，对(,1)x 恒成立.21 2(22)4xxxxa (.1)x 恒成立。令2 xt，2()()g ttt 又(.1)x 则1(,)2t()ag t对1(,)2t 恒成立，又()g t 在1,)2t 上为减函数，max13()()24tg g，34a。
