1、8.1.2 向量数量积的运算律基础预习初探1.根据实数乘法的交换律,得到向量数量积的交换律:(1)实数a,b的乘法交换律:ab=_.(2)向量a,b的数量积的交换律:ab=_.2.根据实数乘法的结合律,得到数乘向量数量积的结合律:(1)实数a,b,c的乘法结合律:abc=_=_.(2)向量a,b的数量积的交换律:(a)b=_.baba(ab)ca(bc)(ab)3.根据实数乘法的分配律,得到向量数量积的分配律:(1)实数a,b,c的乘法分配律:(a+b)c=_.(2)向量a,b,c的数量积的分配律:(a+b)c=_.4.根据实数的乘法公式,得到向量数量积的公式:(1)实数的平方差公式:(a+b
2、)(a-b)=_,向量数量积公式:(a+b)(a-b)=_.(2)实数的完全平方公式:(ab)2=_,向量数量积公式:(ab)2=_.ac+bcac+bca2-b2a2-b2a22ab+b2a22ab+b2【概念生成】两个向量数量积的运算律1.交换律:ab=_.2.结合律:(a)b=_.(R)3.分配律:(a+b)c=_4.重要公式:ba(ab)ac+bc核心互动探究探究点一 利用向量数量积的运算律计算【典例1】(1)如图,在平行四边形ABCD中,APBD,垂足为P,且AP=3,则 =.(2)已知e1,e2是互相垂直的单位向量,a=e1-e2,b=e1+e2.若ab,求实数的值.若a与b的夹角
3、为60,求实数的值.【思维导引】(1)利用向量垂直的充要条件转化为向量的数量积计算.(2)利用平面向量的数量积公式以及运算律,解方程求参数的值.【解析】(1)在平行四边形ABCD中,得由APBD,垂足为P,且AP=3,得答案:18(2)由ab,得ab=0,则(e1-e2)(e1+e2)=0,得+e1e2-e1e2-=0,则-=0,所以=.因为e1-e2与e1+e2的夹角为60,所以cos=,且(e1-e2)(e1+e2)=【类题通法】利用向量数量积的运算律计算的注意事项(1)计算(a+b)(xa+yb),可以类比多项式乘法运算律,注意实数的乘法、数乘向量和向量的数量积在表示和意义的异同.(2)
4、三个实数的积满足结合律(ab)c=a(bc)=(ac)b,而三个向量的“数量积”不一定满足结合律,即下列等式不一定成立:(ab)c=a(bc)=(ac)b,这是因为上式的本质为c=a=kb,当三个向量不共线时,显然等式不成立.提醒:等式(ab)a=ba2也不一定成立.【定向训练】1.已知矩形ABCD的边长为AB=2,BC=3,E为BC边上靠近点B的三等分点,则 =.【解析】根据题意画出几何关系如图所示:答案:72.设非零向量a,b,c满足|a|=|b|=|c|,a+b=c,则=.【解析】方法一 如图,因为非零向量a,b,c满足|a|=|b|=|c|,a+b=c,所以三个向量围成等边三角形ABC
5、,则=.方法二 因为非零向量a,b,c满足|a|=|b|=|c|,a+b=c,所以|a|=|b|=|a+b|,得|a|2=|b|2=|a+b|2,即|a|2=(a+b)2=a2+b2+2|a|b|cos,得cos=-,又0,得=.答案:探究点二 利用平面向量的数量积证明几何问题【典例2】如图,已知ABC中,ACB是直角,CA=CB,D是CB的中点,E是AB上的一点,且AE=2EB.求证:ADCE.【思维导引】借助平面向量垂直的充要条件解题,即通过计算 =0完成证明.【证明】设此等腰直角三角形的直角边长为a,则所以ADCE.【类题通法】利用向量法证明几何问题的方法技巧(1)利用向量表示几何关系,
6、如位置关系、长度关系、角度关系.(2)进行向量计算,如向量的线性运算、数量积运算.(3)将向量问题还原成几何问题,如向量共线与三点共线或者直线平行,向量的夹角与直线的夹角等.【定向训练】已知四边形ABCD中,且(1)求证:四边形ABCD是菱形;(2)求四边形ABCD的面积.【解题指南】(1)根据相等向量的概念证明四边形是平行四边形,利用向量的数量积运算,再证明平行四边形的对角线平分对角,从而证明四边形是菱形.(2)求出菱形的对角线的长度,利用菱形的面积公式计算.【解析】(1)由可知ABDC,AB=DC=2,所以四边形ABCD为平行四边形.设ABD=1,CBD=2,化简得1+cos(1+2)=c
7、os1,cos 60+1=cos 2,得cos 1=cos 2=,所以1=2=30,所以平行四边形ABCD为菱形.【补偿训练】利用向量法证明:等腰三角形底边的中线垂直于底边.已知ABC中,AB=AC,D是BC的中点.求证:ADBC.【证明】如图,因为在ABC中,AB=AC,D是BC的中点,【课堂小结】课堂素养达标1.已知|a|=3,|b|=2,则(a+b)(a-b)=()A.2B.3C.5D.-5【解析】选C.因为|a|=3,|b|=2,所以(a+b)(a-b)=a2-b2=9-4=5.2.已知ABCD中,|=4,|=3,N为DC的中点,则=()A.2B.5C.6D.8【解析】选C.3.已知向量|a|=2|b|=2,a与b的夹角为120,则|a+2b|=()A.2B.3C.4D.6【解析】选A.因为向量|a|=2|b|=2,a与b的夹角为120,则|a+2b|2=(a+2b)2=a2+4ab+4b2=8+4|a|b|cos 120=4.所以|a+2b|=2.4.已知向量a与b的夹角为30,且|a|=1,|2a-b|=1,则|b|=.【解析】因为|2a-b|=1,所以|2a-b|2=4a2+b2-4ab=4+|b|2-4|b|cos 30=1,即|b|2-2|b|+3=0,所以(|b|-)2=0,所以|b|=.答案:
