1、7.2.2 单位圆与三角函数线基础预习初探1.如图,设角为第一象限角,其终边与单位圆的交点为P(x,y),则sin=y,cos=x都是正数,你能分别用一条线段表示角的正弦值和余弦值吗?提示:过角的终边与单位圆的交点P,向x轴作垂线,垂足为M,则|MP|=y=sin,|OM|=x=cos.2.若角为第三象限角,其终边与单位圆的交点为P(x,y),则sin=y,cos=x都是负数,此时角的正弦值和余弦值分别用哪条线段表示?提示:过角的终边与单位圆的交点P,向x轴作垂线,垂足为M,则-|MP|=y=sin,-|OM|=x=cos.3.由上面1,2知|MP|=|y|=|sin|;|OM|=|x|=|c
2、os|,则怎样规定一个适当的方向使线段OM,MP的取值与点P的坐标一致?提示:因为直角坐标系内点的坐标与坐标轴的方向有关,所以可以以坐标轴的方向来规定线段OM,MP的方向,当OM,MP的方向与坐标轴的方向相同时,规定为正值;当OM,MP的方向与坐标轴的方向相反时,规定为负值.这样不论P,M的位置在何处,都有其值与点P的坐标一致.4.如何在单位圆中找像OM,MP这样的线段来表示角的正切?提示:如图,过点A(1,0)作单位圆的切线,与角的终边或反向延长线交于点T,根据相似三角形的知识知:【概念生成】1.单位圆(1)一般地,在平面直角坐标系中,坐标满足x2+y2=1的点组成的集合称为_.(2)角的_
3、和_分别等于角终边与单位圆交点的横坐标和纵坐标.单位圆余弦正弦2.三角函数线【思考】三角函数线的方向是怎样确定的?提示:三角函数线的方向,即规定的有向线段的方向:凡三角函数线与x轴或y轴同向的相应三角函数值为正值,反向的为负值._、_、_都称为三角函数线.正弦线余弦线正切线核心互动探究探究点一 三角函数线的作法【典例1】在单位圆中作出满足cos=的角的终边,并作出其正弦线、余弦线和正切线.【思维导引】由cos=,可作直线x=,与单位圆的交点即为角的终边与单位圆的交点,然后根据三角函数线的定义得出正弦线、余弦线和正切线.【解析】如图,作直线x=交单位圆于点P,Q,则OP,OQ为角的终边.如图所示
4、,当的终边是OP时,角的正弦线为,余弦线为,正切线为.当的终边为OQ时,角的正弦线为,余弦线为,正切线为.【延伸探究】1.将本例中条件“cos=”改为“sin=”,其他条件不变,结论如何?【解析】如图作直线y=,交单位圆于P,Q,则OP,OQ为角的终边.如图所示,当的终边是OP时,角的正弦线为,余弦线为,正切线为.当的终边为OQ时,角的正弦线为,余弦线为,正切线为.2.将本例中条件“cos=”改为“cos ”,其他条件不变,则角的终边落在什么范围?【解析】结合典例1的解析可知,当cos 时,角的终边与相交,角的终边落在内.【类题通法】1.单位圆中求作角的终边的方法(1)若sin=m,作出直线y
5、=m与单位圆相交,得交点.若cos=m,作出直线x=m与单位圆相交,得交点.(2)将原点与交点连线所得射线即为所求角的终边.2.三角函数线的画法(1)作正弦线、余弦线时,首先找到角的终边与单位圆的交点,然后过此交点作x轴的垂线,得到垂足,从而得正弦线和余弦线.(2)作正切线时,应从A(1,0)点引单位圆的切线,交角的终边或终边的反向延长线于一点T,即可得到正切线AT.【知识延拓】利用三角函数线解三角不等式的方法正弦、余弦型不等式的解法对于sin b,cos a(sin b,cos a),求解关键是恰当地寻求点,只需作直线y=b或x=a与单位圆相交,连接原点与交点即得角的终边所在的位置,此时再根
6、据方向即可确定相应的范围.正切型不等式的解法对于tan c,取点(1,c)连接该点和原点并反向延长,即得角的终边所在的位置,结合正切线可确定相应的范围.【定向训练】分别作出和的正弦线、余弦线和正切线.【解析】(1)在直角坐标系中作单位圆,如图甲,以Ox轴为始边作角,角的终边与单位圆交于点P,作PMOx轴,垂足为M,由单位圆与Ox轴正方向的交点A作Ox轴的垂线,与OP的反向延长线交于T点,则即的正弦线为,余弦线为,正切线为.(2)同理可作出的正弦线、余弦线和正切线,如图乙.即-的正弦线为,余弦线为,正切线为.探究点二 利用三角函数线比较大小【典例2】利用三角函数线比较下列各组数的大小.(1)si
7、n 与sin .(2)tan 与tan .(3)cos 与cos .【思维导引】在直角坐标系中的单位圆中画出所给角的三角函数线,利用三角函数线比较三角函数值的大小时,一看三角函数线的长度,二看正负.【解析】如图所示,画出与的正弦线、余弦线、正切线,由图观察可得又(1)sin sin .(2)tan cos .【类题通法】利用三角函数线比较函数值大小的关键及注意点:(1)关键:在单位圆中作出所要比较的角的三角函数线.(2)注意点:比较大小,既要注意三角函数线的长短,又要注意方向.【定向训练】已知sin sin,那么下列命题成立的是()A.若,是第一象限角,则cos cos B.若,是第二象限角,
8、则tan tan C.若,是第三象限角,则cos cos D.若,是第四象限角,则tan tan【解析】选D.如图(1),的终边分别为OP,OQ,此时所以cos cos,故A错;如图(2),OP,OQ分别为角,的终边,sin=sin,此时,因为tan=-,tan=-|,所以tan sin,此时因为cos=-|,cos=-|,所以cos cos,故C错.【补偿训练】比较cos和cos的大小.【解析】如图,分别为角的余弦线,由且与x轴正向相反知cos cos .探究点三 利用单位圆解三角不等式【典例3】在单位圆中画出适合下列条件的角终边的范围,并由此写出角的集合.(1)sin.(2)cos-.【思
9、维导引】作出满足sin=,cos=-的角的终边,然后根据已知条件确定角终边的范围.【解析】(1)作直线y=,交单位圆于A,B两点,连接OA,OB,则OA与OB围成的区域(图(1)中阴影部分)即为角的终边的范围.故满足条件的角的集合为.(2)作直线x=-,交单位圆于C,D两点,连接OC与OD,则OC与OD围成的区域(图(2)中的阴影部分)即为角的终边的范围.故满足条件的角的集合为.【类题通法】1.通过解答本题,我们可以总结出用三角函数线来解基本的三角不等式的步骤:(1)作出取等号的角的终边.(2)利用三角函数线的直观性,在单位圆中确定满足不等式的角的范围.(3)将图中的范围用不等式表示出来.2.
10、求与三角函数有关的定义域时,先转化为三角不等式(组),然后借助三角函数线解此不等式(组)即可得函数的定义域.【定向训练】利用三角函数线,写出满足|cos|sin|的角的集合.【解析】如图,作出单位圆.所以满足|cos|sin|的角的集合为.【课堂小结】课堂素养达标1.下列角的正切线不存在的是()A.B.C.D.【解析】选B.因为的终边落在y轴的非负半轴上,故正切线不存在.2.如图所示,P是角的终边与单位圆的交点,PMx轴于M,AT和AT均是单位圆的切线,则角的()A.正弦线是,正切线是B.正弦线是,正切线是C.正弦线是,正切线是D.正弦线是,正切线是【解析】选C.按三角函数线的定义进行判断.3.已知角的正弦线和余弦线是符号相反、长度相等的有向线段,则的终边在()A.第一象限角的平分线上B.第四象限角的平分线上C.第二、四象限的角平分线上D.第一、三象限的角平分线上【解析】选C.由题意知sin=-cos=,故角的终边在第二、四象限的角平分线上.4.设a=sin ,b=cos ,c=tan ,则()A.abcB.acbC.bcaD.bac【解析】选D.因为,作出角的三角函数线如图,可知,cos sin tan .5.若角的正弦线的长度为,且方向与y轴负方向相同,则sin=.【解析】由正弦线的概念知sin=-.答案:-
