1、10.1.4 概率的基本性质基础预习初探1.从一副去掉大小王的扑克牌中任抽一张,“抽到红桃”与“抽到方块”能否同时发生?2.从一副去掉大小王的扑克牌中任抽一张,记A=“抽到红色牌”;B=“抽到黑色牌”,则A,B的关系与1中两事件关系有何异同?继续探究:在掷骰子的试验中,事件A=出现的点数为1,事件B=出现的点数为奇数,事件A与事件B有怎样的关系?提示:因为1为奇数,所以AB.【概念生成】概率的性质1.对任意的事件A,都有P(A)0.2.P()=1,P()=0.3.若事件A与事件B互斥,则有P(AB)=P(A)+P(B).推广:若事件A1,A2,An两两互斥,则有P(A1A2An)=P(A1)+
2、P(A2)+P(An).4.若事件A与事件B互为对立事件,则有P(B)=1-P(A),P(A)=1-P(B).5.若AB,则P(A)P(B),由A,得0P(A)1.6.设A,B是一随机试验中的两个事件,则有P(AB)=P(A)+P(B)-P(AB).核心互动探究探究点一 概率的加法公式【典例1】某地区的年降水量在下列范围内的概率如表所示:(1)求年降水量在100,200)(mm)范围内的概率;(2)求年降水量在150,300)(mm)范围内的概率.【思维导引】先将复杂事件进行分解,分成n个互斥事件的和,再应用公式求解.年降水量(单位:mm)100,150)150,200)200,250)250
3、,300)概率0.120.250.160.14【解析】记这个地区的年降水量在100,150),150,200),200,250),250,300)(mm)范围内分别为事件A,B,C,D.这4个事件彼此互斥,根据互斥事件的概率加法公式:(1)年降水量在100,200)(mm)范围内的概率是P(A+B)=P(A)+P(B)=0.12+0.25=0.37.(2)年降水量在150,300)(mm)范围内的概率是P(B+C+D)=P(B)+P(C)+P(D)=0.25+0.16+0.14=0.55.【类题通法】利用概率的加法公式求概率的步骤(1)确定各个事件是两两互斥的.(2)求出各个事件分别发生的概率
4、.(3)利用公式求事件的概率.【定向训练】由经验可知,每天在学校食堂某窗口排队等候就餐的人数及其概率如表:(1)求等候就餐的人数为4,16)的概率;(2)若等候就餐的人数大于或等于16,则应增加一个新窗口,请问增加一个新窗口的概率是多少?排队人数 0,4)4,8)8,12)12,16)16,20)20,+)概率 0.100.160.300.300.100.04【解析】(1)记“等候就餐的人数为4,16)”为事件A,“等候就餐的人数为4,8)”为事件A1,“等候就餐的人数为8,12)”为事件A2,“等候就餐的人数为12,16)”为事件A3,则A=A1+A2+A3,且A1,A2,A3彼此互斥,所以
5、P(A)=P(A1)+P(A2)+P(A3)=0.16+0.30+0.30=0.76.(2)要增加新窗口,则等候就餐的人数大于或等于16,包含两种情况:等候就餐的人数为16,20)和20,+),记“等候就餐的人数大于或等于16”为事件B,“等候就餐的人数为16,20)”为事件B1,“等候就餐的人数为20,+)”为事件B2,则B=B1+B2,且B1,B2互斥,则P(B)=P(B1)+P(B2)=0.10+0.04=0.14.因此应增加一个新窗口的概率是0.14.【补偿训练】在数学考试中,小明的成绩在90分以上的概率是0.18,在8089分的概率是0.51,在7079分的概率是0.15,在6069
6、分的概率是0.09,计算小明在数学考试中取得80分以上成绩的概率和小明考试及格的概率.【解析】分别记小明的成绩在90分以上,在8089分,在7079分,在6069分为事件B,C,D,E,这四个事件是彼此互斥的.根据概率的加法公式,小明的考试成绩在80分以上的概率是P(B+C)=P(B)+P(C)=0.18+0.51=0.69.小明考试及格的概率为P(B+C+D+E)=P(B)+P(C)+P(D)+P(E)=0.18+0.51+0.15+0.09=0.93.探究点二 对立事件公式的应用【典例2】1.一个箱子内有9张票,其号数分别为1,2,9.从中任取2张,其号数至少有一个为奇数的概率是_.2.学
7、生的视力下降是十分严峻的问题,通过随机抽样调查某校1 000名在校生,其中有200名学生裸眼视力在0.6以下,有450名学生祼眼视力在0.61.0,剩下的能达到1.0及以上,问:(1)这个学校在校生眼睛需要配镜或治疗(视力不足1.0)的概率为多少?(2)这个学校在校生视力合格(视力达到1.0及以上)的概率为多少?【思维导引】1.首先明确事件“至少有一个为奇数”包括“号数是一奇一偶”与“号数是两奇”两种情况,再求其对立事件“号数全是偶数”的概率.2.首先明确事件“视力在0.6以下”与事件“视力在0.61.0”是互斥事件;事件“视力不足1.0”与事件“视力达到1.0及以上”为对立事件,再根据概率公
8、式求解.【解析】1.从9张票中任取2张,有(1,2),(1,3),(1,9);(2,3),(2,4),(2,9);(3,4),(3,5),(3,9);(7,8),(7,9),(8,9),共计36种取法.记“号数至少有一个为奇数”为事件B,“号数全是偶数”为事件C,两事件对立,则事件C为从号数为2,4,6,8的四张票中任取2张,有(2,4),(2,6),(2,8),(4,6),(4,8),(6,8)共6种取法.所以P(C)=.由对立事件的性质得P(B)=1-P(C)=1-.答案:2.(1)因为事件A(视力在0.6以下)与事件B(视力在0.61.0)为互斥事件,所以事件C(视力不足1.0)的概率为
9、P(C)=P(A)+P(B)=0.65.(2)事件D(视力达到1.0及以上)与事件C为对立事件,所以P(D)=1-P(C)=0.35.即事件D(视力达到1.0及以上)的概率为0.35.【类题通法】正难则反求概率(1)找准对立事件.(2)要有应用对立事件的意识:当事件本身包含的情况较多,而其对立事件包含的结果很少时,就应该利用与对立事件的关系求解,即贯彻“正难则反”的思想.【定向训练】甲、乙两人下棋,和棋的概率为,乙获胜的概率为,求:(1)甲获胜的概率;(2)甲不输的概率.【解析】(1)“甲获胜”和“和棋或乙获胜”是对立事件,所以“甲获胜”的概率P=1-.(2)方法一:设事件A为“甲不输”,可看
10、成是“甲获胜”“和棋”这两个互斥事件的并事件,所以P(A)=.方法二:设事件A为“甲不输”,可看成是“乙获胜”的对立事件,所以P(A)=1-.【补偿训练】某学校篮球队、羽毛球队、乒乓球队的某些队员不止参加了一支球队,具体情况如图所示,现从中随机抽取一名队员,求:(1)该队员只属于一支球队的概率.(2)该队员最多属于两支球队的概率.【解析】(1)设“该队员只属于一支球队”为事件A,则事件A的概率为P(A)=.(2)设“该队员最多属于两支球队”为事件B,则事件B的概率为P(B)=1-.探究点三 互斥事件、对立事件与古典概型的综合问题【典例3】为积极配合世界大运会志愿者招募工作,某大学数学学院拟成立
11、由4名同学组成的志愿者招募宣传队,经过初步选定,2名男同学,4名女同学共6名同学成为候选人,每位候选人当选宣传队队员的机会是相同的.(1)求当选的4名同学中恰有1名男同学的概率;(2)求当选的4名同学中至少有3名女同学的概率.【思维导引】首先分析事件性质,将“4名同学中至少有3名女同学”分解成“1名男同学3名女同学”和“4名女同学”两个基本事件的和.利用概率加法公式进行计算.【解析】(1)将2名男同学和4名女同学分别编号为1,2,3,4,5,6(其中1,2是男同学,3,4,5,6是女同学),该学院6名同学中有4名当选的情况有(1,2,3,4),(1,2,3,5),(1,2,3,6),(1,2,
12、4,5),(1,2,4,6),(1,2,5,6),(1,3,4,5),(1,3,4,6),(1,3,5,6),(1,4,5,6),(2,3,4,5),(2,3,4,6),(2,3,5,6),(2,4,5,6),(3,4,5,6),共15种,当选的4名同学中恰有1名男同学的情况有(1,3,4,5),(1,3,4,6),(1,3,5,6),(1,4,5,6),(2,3,4,5),(2,3,4,6),(2,3,5,6),(2,4,5,6),共8种,故当选的4名同学中恰有1名男同学的概率为.(2)当选的4名同学中至少有3名女同学包括3名女同学当选(恰有1名男同学当选),4名女同学当选这两种情况,而4名
13、女同学当选的情况只有(3,4,5,6),则其概率为,又当选的4名同学中恰有1名男同学的概率为,故当选的4名同学中至少有3名女同学的概率为.【类题通法】解决互斥事件、对立事件与古典概型的综合问题的方法解决此类问题的关键是理解题目的实际含义,把实际问题转化为概率模型,必要时将所求的事件转化成彼此互斥的事件的和,或者先求其对立事件的概率,进而再用互斥事件的概率加法公式或对立事件的概率公式求解.【定向训练】甲、乙两名考生在填报志愿时都选中了A,B,C,D四所需要面试的院校,这四所院校的面试安排在同一时间.因此甲、乙都只能在这四所院校中选择一所,假设每位同学选择各个院校是等可能的,试求:(1)甲、乙选择
14、同一所院校的概率;(2)院校A,B至少有一所被选择的概率.【解析】由题意可知,甲、乙都只能在这四所院校中选择一个的所有可能结果为:(甲A,乙A),(甲A,乙B),(甲A,乙C),(甲A,乙D),(甲B,乙A),(甲B,乙B),(甲B,乙C),(甲B,乙D),(甲C,乙A),(甲C,乙B),(甲C,乙C),(甲C,乙D),(甲D,乙A),(甲D,乙B),(甲D,乙C),(甲D,乙D),共16种.(1)设“甲、乙选择同一所院校”为事件E,则事件E包含4个基本事件,故概率P(E)=.(2)方法一:设“院校A,B至少有一所被选择”为事件F,则事件F包含12个基本事件,故概率P(F)=.方法二:设“院校
15、A,B至少有一所被选择”为事件F,则其对立事件为“院校A,B都没被选择”,且事件包含4个基本事件,故概率P(F)=1-P()=1-=.【补偿训练】设人的某一特征(如眼睛大小)是由他的一对基因所决定的,以d表示显性基因,r表示隐性基因,则具有dd基因的人为纯显性,具有rr基因的人为纯隐性,具有rd基因的人为混合性,纯显性和混合性的人都表露显性基因决定的某一特征,孩子从父母身上各得到1个基因,假定父母都是混合性的,问:(1)1个孩子有显性基因决定的特征的概率是多少?(2)2个孩子中至少有一个有显性基因决定的特征的概率是多少?【解析】(1)孩子的一对基因有dd,rr,rd三种可能,其概率分别为,孩子
16、有显性基因决定的特征是具有dd,rd基因,所以1个孩子有显性基因决定的特征的概率为.(2)2个孩子的两对基因共有16种情况,记事件为“2个孩子都无显性基因决定的特征”,则P()=,则P(A)=1-P()=.【课堂小结】课堂素养达标1.已知P(A)=0.1,P(B)=0.2,则P(A+B)等于()A.0.3B.0.2C.0.1D.不确定【解析】选D.由于不能确定A与B是否互斥,所以P(A+B)的值不能确定.2.若A,B是互斥事件,则()A.P(A+B)1D.P(A+B)1【解析】选D.因为A,B是互斥事件,所以P(A+B)=P(A)+P(B)1(当A,B是对立事件时,P(A+B)=1).3.若事件A与事件B是对立事件,且P(A)=0.6,则P(B)等于()A.0.4B.0.5C.0.6D.1【解析】选A.P(B)=1-P(A)=0.4.4.甲、乙两人下围棋,已知甲获胜的概率为0.45,两人平局的概率为0.1,则甲不输的概率为_.【解析】记事件A=甲获胜,事件B=甲、乙平局,C=甲不输,则C=A+B,而A,B是互斥事件,故P(C)=P(A+B)=P(A)+P(B)=0.55.答案:0.55
