1、6.1.2 导数及其几何意义新课程标准素养风向标1.了解瞬时速度的意义2.理解函数在某一点处的导数及导函数的概念3理解导数的几何意义4.会求曲线的切线方程1.理解函数在某一点处的导数及导函数的概念(数学抽象)2.掌握利用定义求导数的方法(数学运算)3.借助求曲线的切线方程,提升学生的数学运算能力(数学运算)主题1导数的概念1.物体的平均速度能否精确反映它的运动状态?提示:不能,如高台跳水运动员运动过程中的重心相对于水面的高度h与起跳时间t的函数关系h(t)=-4.9t2+6.5t+10,易知=h(0),而运动员依然是运动状态.基础预习初探2.如何精确描述物体在某一时刻的运动状态?提示:可以使用
2、瞬时速度精确描述物体在某一时刻的运动状态.如求t=2时的瞬时速度,可考察在t=2附近的一个间隔t,当t趋近于0时,看平均速度的变化趋势,用式子表示,这就是物体在t=2时的瞬时速度.3.导数和瞬时变化率是什么关系?导数有什么作用?提示:函数在某点处的导数就是函数在这点处的瞬时变化率,导数可以反映函数在一点处变化的快慢程度.结论:一般地,设函数y=f(x)在x0附近有定义,自变量在x=x0处的改变量为x,当x无限接近于0时,若平均变化率无限接近于一个常数k,那么称常数k为函数f(x)在x=x0处的瞬时变化率,此时,也称f(x)在x0处可导,并称k为f(x)在x=x0处的导数,记作f(x0)=k.【
3、对点练】1.设函数f(x)在x0处可导,则=()A.f(x0)B.f(-x0)C.-f(x0)D.-f(-x0)【解析】选C.=-f(x0).2.设函数y=f(x)在点x0附近有定义,且有f(x0+x)-f(x0)=ax+b(x)2(a,b为常数),则()A.f(x)=aB.f(x)=bC.f(x0)=aD.f(x0)=b【解析】选C.=a+bx,f(x0)=(a+bx)=a.主题2导数的几何意义1.如图(1),l1是否为曲线在点A处的切线?l2是否为曲线在点B处的切线?l2是否为曲线在点C处的切线?提示:l1不是曲线在点A处的切线;l2是曲线以点B为切点的切线,不是以点C为切点的切线.2.你
4、能不能类比圆的割线和切线的动态关系,结合图(2)直观地感知,当PnP时对应的一般曲线的切线?提示:当PnP时,割线趋于确定的位置,这个确定位置上的直线就是曲线在点P处的切线.3.问题2从直观上感知了“割线逼近切线”的变化过程,进一步,如图(3)如何研究割线方程和切线方程的变化关系?提示:割线逼近切线,不妨设点P(x0,f(x0),Pn(x0+x,f(x0+x).割线PPn的方程为y-f(x0)=(x-x0),当PnP,即x0时,变化的最终结果是=f(x0),故切线方程就是y-y0=f(x0)(x-x0).结论:导数的几何意义函数y=f(x)在x=x0处的导数f(x0)就是切线的斜率k,k=f(
5、x0).【对点练】1.函数y=f(x)在x=x0处的导数f(x0)的几何意义是()A.在点x0处的斜率B.在点(x0,f(x0)处的切线与x轴所夹的锐角的正切值C.曲线y=f(x)在点(x0,f(x0)处切线的斜率D.点(x0,f(x0)与点(0,0)连线的斜率【解析】选C.由导数的几何意义可知函数y=f(x)在x=x0处的导数f(x0),即为曲线在点(x0,f(x0)处的切线的斜率.2.抛物线y2=x与x轴、y轴都只有一个公共点,但只有_是它的切线,而_不是它的切线.【解析】根据曲线在某点处的切线的定义知y轴是曲线y2=x的一条切线,x轴不是切线.答案:y轴 x轴【补偿训练】1.过曲线y=2
6、x上两点(0,1),(1,2)的割线的斜率为_.【解析】依题意得,割线的斜率为=1.答案:12.如图,函数f(x)的图像是折线段ABC,其中A,B,C的坐标分别为(0,4),(2,0),(6,4),试求的值.【解析】由导数的概念和几何意义知,=f(1)=kAB=-2.核心互动探究探究点一 求函数在某点处的导数【典例1】根据导数的定义求下列函数的导数.(1)求函数y=f(x)=x2+3在x=1处的导数.(2)求函数y=f(x)=在x=a(a0)处的导数.【思维导引】(1)利用导数定义进行变形.(2)本题是根据定义求函数的导数,因此可先求,再求其极限值,即可得出导数值.【解析】(1)y=f(1+x
7、)-f(1)=(1+x)2+3-(12+3)=2x+(x)2,所以=2+x.所以y|x=1=(2+x)=2.(2)y=f(a+x)-f(a)所以所以y|x=a=【类题通法】用导数定义求函数在某一点处的导数的三个步骤(1)作差y=f(x0+x)-f(x0).(2)作比(3)取极限f(x0)=.简记为一差、二比、三极限.【定向训练】求函数y=f(x)=3x2在x=1处的导数.【解题指南】先求y=f(1+x)-f(1)=6x+3(x)2,再求=6+3x,再求=6.【解析】y=f(1+x)-f(1)=6x+3(x)2.（6+3x)=6.探究点二 求切线方程【典例2】求曲线y=f(x)=x3+2x-1在
8、点P(1,2)处的切线方程.【思维导引】利用导数的几何意义求切线的斜率.【解析】易证得点P(1,2)在曲线上,由y=x3+2x-1得y=(x+x)3+2(x+x)-1-x3-2x+1=(3x2+2)x+3x(x)2+(x)3.=3x2+2+3xx+(x)2.当x无限趋近于0时,3x2+2+3xx+(x)2无限趋近于3x2+2,即f(x)=3x2+2,所以f(1)=5.故点P处的切线斜率为k=5.所以点P处的切线方程为y-2=5(x-1),即5x-y-3=0.【延伸探究】将本例中的“在点P(1,2)”改为“过点Q(0,1)”,结果会怎样?【解析】因为点Q不在曲线上,所以设切点坐标为(x0,y0)
9、.由例题知k=f(x0)=3 +2,切线方程为y-y0=(3 +2)(x-x0).又因为切线过点Q(0,1),所以1-y0=(3 +2)(0-x0).又因为y0=+2x0-1得=-1,即x0=-1,所以切线方程为5x-y+1=0.【类题通法】利用导数的几何意义求切线方程的分类(1)当已知的点在曲线上且切于该点时,直接利用导数求切线的斜率,写出直线方程.(2)当已知点不在曲线上时,设出切点,利用导数表示出切线斜率,写出切线方程,代入已知点的坐标,求出切点坐标,写出直线方程.【定向训练】已知曲线C:f(x)=x3.(1)求曲线C上横坐标为1的点处的切线方程;(2)求过点(1,1)与f(x)=x3相
10、切的直线.【解析】(1)因为f(x)=(x)2+3x2+3xx=3x2,所以f(1)=312=3,又f(1)=13=1,所以切线方程为y-1=3(x-1),即3x-y-2=0.(2)设切点为P(x0,),由(1)知切线斜率为k=f(x0)=3 ,故切线方程为y-=3 (x-x0).又点(1,1)在切线上,将其代入切线方程得1-=3 (1-x0),即2 -3 +1=0,解得x0=1或x0=-.所以k=3或k=.故所求的切线方程为y-1=3(x-1)或y-1=(x-1),即3x-y-2=0或3x-4y+1=0.探究点三 导数几何意义的综合应用【典例3】设函数y=f(x)=x3+ax2-9x-1(a
11、0),若曲线y=f(x)的斜率最小的切线与直线12x+y=6平行,求a的值.【思维导引】利用导数的几何意义求出切线的斜率,结合直线的斜率为-12求解.【解析】因为y=f(x+x)-f(x)=(x+x)3+a(x+x)2-9(x+x)-1-(x3+ax2-9x-1)=(3x2+2ax-9)x+(3x+a)(x)2+(x)3,所以=3x2+2ax-9+(3x+a)x+(x)2.所以f(x)=3x2+2ax-9,所以f(x)=因为斜率最小的切线与直线12x+y=6平行,所以该切线斜率为-12.所以-9-=-12,解得a=3,又a0B.f(x0)0C.f(x0)=0D.f(x0)不存在【解析】选B.由
12、x+2y-3=0知,斜率k=-,则f(x0)=-f(xB)B.f(xA)=f(xB)C.f(xA)kB,根据导数的几何意义有:f(xA)f(xB).3.曲线y=f(x)=x2在x=0处的切线方程为_.【解析】f(x)=2x,所以f(0)=0,故切线方程为y=0.答案:y=04.设函数f(x)=ax+3,若f(1)=3,则a等于_.【解析】因为f(1)=a,所以f(1)=a=3.答案:35.已知曲线y=2x2-7,求过点P(3,9)且与曲线相切的直线方程.【解析】y=(4x+2x)=4x.由于232-7=119,故点P(3,9)不在曲线上.设所求切线的切点为(x0,y0),则切线的斜率k=4x0,故所求的切线方程为y-y0=4x0(x-x0).将P(3,9)及y0=2 -7代入上式,得9-(2 -7)=4x0(3-x0),解得x0=2或x0=4.所以切点为(2,1)或(4,25).故所求的切线方程为8x-y-15=0或16x-y-39=0.本课结束
