1、第一章 常用逻辑用语13 简单的逻辑联结词 1.了解联结词“且”“或”“非”的含义 2会用联结词“且”“或”“非”联结或改写某些数学命题，并判断新命题的真假.新 知 视 界 1用逻辑联结词构成新命题(1)用联结词“且”把命题p和命题q联结起来，就得到一个新命题，记作pq，读作p且q.(2)用联结词“或”把命题p和命题q联结起来，就得到一个新命题，记作pq，读作p或q.(3)对一个命题p全盘否定，就得到一个新命题，记作綈p，读作非p或p的否定 2含有逻辑联结词的命题的真假判断pqpqpq綈p真真真真假真假真假假假真真假真假假假假真 提示：(1)如果“pq”为真命题，那么p和q都是真命题，所以“p
2、q”一定是真命题；(2)反之，如果“pq”为真命题，那么p和q可能都是真命题，也有可能一真一假，所以“pq”不一定是真命题 尝 试 应 用 1命题“平行四边形的对角线相等且互相平分”是()A“p或q”形式的命题 B“p且q”形式的命题 C“非p”形式的命题 D以上说法都不对 答案：B 2已知命题p：55，q：56.则下列说法正确的是()A“pq”为真，“pq”为真，“綈p”为真 B“pq”为假，“pq”为假，“綈p”为假 C“pq”为假，“pq”为真，“綈p”为假 D“pq”为真，“pq”为真，“綈p”为假 解析：p为真，q为假，故“pq”为假，“pq”为真，“綈p”为假，故选C.答案：C 3
3、 若 xy 0，则 x 0_y 0；若xy0，则x0_y0(填“且”或“或”)答案：或 且 4命题p：x是y|sinx|的一条对称轴；q：2是y|sinx|的最小正周期，下列命题：pq；pq；綈p；綈q.其中真命题的序号是_ 解析：是y|sinx|的最小正周期，q为假 又p为真，pq为真，pq为假，綈p为假，綈q为真 答案：5已知命题p：9是自然数；q：9是12的约数将上述命题用“且”“或”“非”联结成新命题，并判断真假 解：pq：9是自然数且9是12的约数；pq：9是自然数或9是12的约数；綈p：9不是自然数；綈q：9不是12的约数 因为p为真，q为假，所以pq为假；pq为真；綈p为假；綈q
4、为真 典 例 精 析 类型一 命题的构成形式 例1分别指出下列命题的构成形式及构成它的简单命题(1)小李是老师，小赵也是老师；(2)1是合数或质数；(3)方程2x10无实根；(4)21.分析 本题关键是正确理解逻辑联结词“且”“或”“非”的含义，应根据组成上述各复合命题的语句中所出现的逻辑联结词或语句的意义确定复合命题的形式 解(1)这个命题是p且q的形式，其中，p：小李是老师，q：小赵是老师(2)这个命题是p或q的形式，其中，p：1是合数，q：1是质数(3)这个命题是綈p的形式，其中，p：方程2x10有实数(4)这个命题是p或q的形式，其中，p：21，q：21.点评(1)在“pq”“pq”“
5、綈p”中，p，q都是命题，但在“若p，则q”中，p，q可以是命题，也可以是含有变量的陈述句 2正确理解逻辑联结词“且”“或”“非”是解题的关键，有些命题并不一定包含“且”“或”“非”这些逻辑联结词，要结合命题的具体含义进行正确的命题构成的判定 迁移体验1(1)命题“菱形的对角线互相垂直平分”是()A简单命题B“pq”的形式 C“pq”的形式D“綈p”的形式(2)命题p：6是2的倍数；命题q：6是3的倍数，则“pq”形式的命题为_；“pq”形式的命题为_；“綈p”形式的命题为_；“p綈q”形式的命题为_；“綈p綈q”形式的命题为_ 解析：(1)“菱形的对角线互相垂直平分”可改写为“菱形的对角线互
6、相垂直且菱形的对角线互相平分”(2)由“pq”“pq”“綈p”形式的定义可得 答案：(1)C(2)“6是2的倍数或6是3的倍数”“6是2的倍数且6是3的倍数”“6不是2的倍数”“6是2的倍数或6不是3的倍数”“6不是2的倍数且6不是3的倍数”解(1)此命题是“綈p”的形式，其中p：不等式|x2|0有实数解，因为x2是该不等式的一个解，所以命题p为真命题，即綈p为假命题，所以原命题为假命题(2)此命题是“pq”的形式，其中p：1是偶数；q：1是奇数因为命题p为假命题，命题q为真命题，所以“pq”为真命题，故原命题为真命题 迁移体验2(2010全国高考)已知命题p1：函数y2x2x在R为增函数；p
7、2：函数y2x2 x在R为减函数，则在命题：q1：p1p2，q2：p1p2，q3：(綈p1)p2和q4：p1(綈p2)中，真命题是()Aq1，q3 Bq2，q3 Cq1，q4 Dq2，q4 解析：由函数单调性的定义知：p1正确，p2不正确 q1正确，q4正确 答案：C 类型三 命题的否定与否命题 例3 写出下列命题的否定形式和否命题：(1)若abc0，则a、b、c中至少有一个为零；(2)若x2y20，则x、y全为零；(3)等腰三角形有两个内角相等；(4)自然数的平方是正数 解(1)否定形式：若abc0，则a、b、c全不为零；否命题：若abc0，则a、b、c全不为零(2)否定形式：若x2y20，
8、则x、y不全为零；否命题：若x2y20，则x、y不全为零(3)否定形式：等腰三角形的任意两个内角都不相等；否命题：不是等腰三角形的任意两个内角都不相等(4)否定形式：自然数的平方不是正数；否命题：不是自然数的数的平方不是正数 点评命题的否定(即綈p)与否命题是容易混淆的两个概念，准确把握它们之间的联系与区别(1)区别：概念：命题的否定形式是直接对命题进行否定；而否命题则是原命题的条件和结论分别否定后所组成的命题 构成：对于“若p，则q”形式的命题，其否定形式为“若p，则綈q”，也就是不改变条件，而否定结论；而其否命题则为“若綈p，则綈q”，也就是条件和结论都否定 真值：否定命题的真值与原命题相
9、反；而否命题的真值与原命题无关(2)联系：它们都是把原命题的条件或结论否定后组成的新命题 它们在否定过程中，对其正面叙述的词语的否定叙述都是一样的(如“至多有一个”的否定为“至少有两个”)迁移体验3 写出下列命题的否定形式和命题的否命题：(1)若ab，则a2b2；(2)到圆心的距离等于半径的点在圆上 答案：(1)否定形式：若ab，则a2b2；否命题：若ab，则a2b2.(2)否定形式：到圆心的距离等于半径的点不在圆上；否命题：到圆心的距离不等于半径的点不在圆上 类型四 利用命题的真假求参数的范围 例4已知a0，a1，设p：函数yloga(x1)在区间(0，)内单调递减；q：曲线yx2(2a3)
10、x1与x轴交于不同的两点，如果“pq”为真命题，“pq”为假命题，求实数a的取值范围 点评 本题综合性较强，考查了对数函数的单调性、不等式以及简单逻辑等方面的基础知识，涉及了较多的知识点和高中数学中的重要思想方法，是与本节内容相关的极具代表性的一道好题 迁移体验4 已知命题p：方程x2mx10有两个不等的负实根，q：方程4x24(m2)x10无实根若命题“pq”与命题“綈q”都是假命题，求实数m的取值范围 思 悟 升 华 1含有“且”“或”“非”的命题的构成分析 同“且”“或”“非”联结的命题称为复合命题，但判断一个命题是简单命题还是复合命题，不能仅从字面上看它是否含有“或”“且”“非”等逻辑联结词，而应从命题的结构来看是否用逻辑联结词联结两个命题如“四边相等且四角相等的四边形是正方形”不是“且”联结的复合命题，而是一个复合条件的简单命题 2常见词语的否定 对简单命题的否定要注意一些常见否定词的使用，下面是常用的正面叙述词语和它的否定词语.原词语等于大于()小于()是都是否定词语不等于不大于()不小于()不是不都是原词语至多有一个 至少有一个至多有n个否定词语至少有两个 一个也没有至少有n1个原词语任意的任意两个所有的能否定词语某个某两个某些不能 3.命题“pq”与“pq”的否定命题(1)綈(pq)(綈 p)(綈 q)，(2)綈(pq)(綈p)(綈q)，这两个公式被称为德摩根定律
