1、第2课时 抛物线方程及性质的应用【题型示范】类型一直线与抛物线的位置关系【典例1】(1)过点(0,-1)的直线与抛物线x2=-2y公共点的个数为()A.0B.1C.2D.1或2(2)已知直线l:y=k(x+1)与抛物线C:y2=4x.问:k为何值时,直线l与抛物线C有两个交点,一个交点,无交点?【解题探究】1.题(1)过定点的直线与抛物线有几个公共点,关键条件是什么?2.题(2)直线y=kx+b与抛物线y2=2px(p0)都有哪几种位置关系?【探究提示】1.过定点的直线与抛物线有几个公共点,关键要看定点与抛物线的位置关系.2.直线y=kx+b与抛物线y2=2px(p0)有相交、相切、相离三种位
2、置关系.【自主解答】(1)选D.因为点(0，-1)在抛物线内部，故过该点的直线斜率不存在时，与抛物线有一个公共点，是相交的；斜率存在时，有两个公共点，因此公共点的个数是1或2.(2)由方程组消去y得k2x2+(2k2-4)x+k2=0,记=(2k2-4)2-4k4=16(1-k2),若直线与抛物线有两个交点,则k20且0,即k20,且16(1-k2)0,解得k(-1,0)(0,1).所以当k(-1,0)(0,1)时，直线l和抛物线C有两个交点.若直线与抛物线有一个交点，则k2=0或k20时，=0.解得k=0或k=1.所以当k=0或k=1时，直线l和抛物线C有一个交点.若直线与抛物线无交点，则k
3、20且1或k1或k0),将直线方程与抛物线方程联立消元得:k2x2+(2kb-2p)x+b2=0.(1)若k2=0,此时直线与抛物线有一个交点,该直线平行于抛物线的对称轴或与对称轴重合.(2)若k20,当0时,直线与抛物线相交,有两个交点;当=0时,直线与抛物线相切,有一个交点;当0)的公共点的个数为.【解析】由ax-y-a=0,得y=a(x-1),故直线恒过定点(1,0),又定点(1,0)在抛物线y2=2px的对称轴上,故当直线与对称轴重合时有一个交点,当直线与对称轴不平行或不重合时,有两个交点.答案:1或2类型二抛物线的弦长问题【典例2】(1)顶点在原点，焦点在x轴上的抛物线截直线y=2x
4、-4所得弦长|AB|=则抛物线方程为_.(2)过抛物线y2=4x的焦点F作倾斜角为60的直线与抛物线相交，求直线被抛物线截得的弦长.【解题探究】1.题(1)顶点在原点，焦点在x轴上的抛物线方程如何设？2.题(2)求过焦点的弦长，有哪些公式可用？【探究提示】1.可设抛物线的方程为y2=ax(a0).2.可利用或或|AB|=x1+x2+p等.【自主解答】(1)设抛物线的方程为y2=ax(a0),将y=2x-4代入得:4x2-(a+16)x+16=0.设A(x1,y1),B(x2,y2),即x1,x2为方程的两根,由根与系数的关系知所以|x1-x2|=所以|AB|=又|AB|=所以a=4或a=-36
5、,所以所求抛物线方程为y2=4x或y2=-36x.答案：y2=4x或y2=-36x(2)方法一：抛物线的焦点为F(1,0)，倾斜角为60的直线的斜率为k=tan 60=所以直线方程为y=(x-1),代入抛物线方程整理得3x2-10 x+3=0,所以由抛物线的焦点弦长公式得所求弦长为方法二：抛物线的焦点为F(1,0)，倾斜角为60的直线的斜率为k=tan 60=所以直线方程为y=(x-1),代入抛物线方程整理得3x2-10 x+3=0,解得x1=3或x2=代入y=(x-1),得或所以|AB|=【方法技巧】直线与抛物线相交的弦长问题直线和抛物线相交于A(x1,y1)，B(x2,y2)两点，直线的斜
6、率为k.(1)一般的弦长公式:|AB|=(2)焦点弦长公式：当直线经过抛物线y2=2px(p0)的焦点时，弦长|AB|=x1+x2+p.(3)求弦长时，为简化计算常常借助根与系数的关系，这样可以避免分别求x1,x2的麻烦，如果是利用弦长求参数的问题，只需要列出参数的方程或不等式即可求解，而x1,x2或(y1，y2)一般是求不出来的.【变式训练】已知过抛物线y2=4x的焦点F的弦长为36,求弦所在的直线方程.【解析】过焦点且垂直于x轴的直线不满足题意,设弦所在的直线的斜率为k,且与抛物线交于A(x1,y1),B(x2,y2)两点,因为抛物线y2=4x的焦点为F(1,0),所以直线方程为y=k(x
7、-1).由得k2x2-(2k2+4)x+k2=0,所以所以|AB|=|AF|+|BF|=又|AB|=36，所以解得即所以所求直线方程为或【补偿训练】已知抛物线C:y2=4x的焦点为F，直线y=2x-4与C交于A,B两点，则cosAFB=()【解题指南】方程联立求出A，B两点后转化为解三角形问题.【解析】选D.联立消y得x2-5x+4=0,解得x=1或x=4.不妨设A在x轴上方，于是A,B的坐标分别为(4,4),(1,-2),可求|AB|=|AF|=5,|BF|=2,利用余弦定理cosAFB=类型三与抛物线有关的中点弦问题【典例3】(1)已知抛物线C的顶点为坐标原点,焦点在x轴上,直线y=x与抛
8、物线C交于A,B两点.若P(2,2)为AB的中点,则抛物线C的方程为.(2)已知A,B为抛物线E上不同的两点,若抛物线E的焦点为(1,0),线段AB恰被M(2,1)所平分.求抛物线E的方程;求直线AB的方程.【解题探究】1.题(1)中点P的坐标与A，B两点的坐标有何关系？2.题(2)中如何设直线AB的方程？【探究提示】1.设A(x1,y1),B(x2,y2)，则2.可设直线的点斜式方程y-1=k(x-2),k0.【自主解答】(1)设抛物线的方程为y2=kx，与y=x联立方程组，消去y,得x2-kx=0.设A(x1,y1),B(x2,y2),所以x1+x2=k.又因为P(2,2)为AB的中点，所
9、以所以k=4,所以y2=4x.答案：y2=4x(2)由于抛物线的焦点为(1,0),所以p=2,所求抛物线方程为y2=4x.方法一:设A(x1,y1),B(x2,y2),则y12=4x1 ,y22=4x2 ,且x1+x2=4,y1+y2=2,由-得(y1+y2)(y2-y1)=4(x2-x1),所以所以所求直线AB的方程为y-1=2(x-2),k0,即2x-y-3=0.方法二：显然AB不垂直于x轴，故可设弦AB所在的直线方程为y-1=k(x-2),k0,设A(x1,y1),B(x2,y2),k0,联立方程消去x整理得ky2-4y-8k+4=0,所以又M点是AB的中点，所以y1+y2=2,所以k=
10、2,故直线AB的方程为y-1=2(x-2),即2x-y-3=0.【延伸探究】若题(2)中条件“线段AB恰被M(2，1)所平分”改为“线段AB恰被M(1，1)所平分”，问这样的直线AB是否存在，若存在，求出直线AB的方程，若不存在，说明理由.【解析】由抛物线的焦点为(1,0),所以故抛物线方程为y2=4x.假设AB斜率存在，即AB不垂直于x轴，故可设AB所在直线的方程为y-1=k(x-1)(k0).设A(x1,y1),B(x2,y2),联立消去x整理得ky2-4y+4-4k=0,=16-4k(4-4k)0恒成立,又由根与系数的关系得根据M为AB中点，所以所以所求直线方程为y-1=2(x-1),即
11、2x-y-1=0.当AB的斜率不存在时，显然不符合题意.【方法技巧】“中点弦”问题解题策略两法【变式训练】求过点(2,1)的直线与抛物线y2=4x相交所得弦的中点的轨迹方程.【解题指南】可采用“点差法”，即用点差法表示出直线斜率与用斜率公式求得的斜率相等建立方程求解.【解析】设弦的中点为M(x,y)，弦的端点坐标分别为(x1,y1)，(x2,y2)，则x1+x2=2x，y1+y2=2y.由得(y1+y2)(y1-y2)=4(x1-x2)，当x1x2,即直线的斜率存在时，设直线的斜率为k,则又由斜率公式得所以整理得y2-2x-y+4=0(x2).当x1=x2，即x=2时，此时斜率不存在，弦的中点
12、坐标为(2，0)，也符合式，故中点的轨迹方程为y2-2x-y+4=0.【补偿训练】过抛物线y2=4x的焦点作直线交抛物线于A(x1,y1),B(x2,y2)两点，若|AB|=7,则AB的中点M到抛物线准线的距离为_.【解析】抛物线的焦点为(1,0)，准线方程为x=-1,p=2.由抛物线的定义知|AB|=|AF|+|BF|=即x1+x2+p=7,所以x1+x2=5,于是弦AB的中点M的横坐标为因此M到抛物线准线的距离为答案：【规范解答】抛物线性质的综合应用【典例】(12分)(2013浙江高考)已知抛物线C的顶点为O(0,0),焦点F(0,1).(1)求抛物线C的方程.(2)过F作直线交抛物线C于
13、A,B两点.若直线AO,BO分别交直线l:y=x-2于M,N两点,求|MN|的最小值.【审题】抓信息,找思路【解题】明步骤,得高分【点题】警误区,促提升失分点1:若解题时忽视题意条件,在处将抛物线的方程设为y2=2px(p0),则会导致不得分.失分点2:若不能根据条件在处表示出M,N两点的横坐标,从而无法表示|MN|,则本例最多得6分.失分点3:若在处不能建立起|MN|与k的关系,从而无法求|MN|的最小值,本例最多得7分.失分点4:若在处不对t进行讨论,实际考试时要扣12分.【悟题】提措施,导方向1.注重阅读能力的培养要认真读题,把握题目中的每一个条件,如本例中抛物线的焦点为(0,1),是在
14、y轴上,故处应设其方程为x2=2py(p0).2.注意常用解题方法的应用一些常用的解题方法要掌握,如“设而不求”,“换元”等方法,在解题时,这些方法会使步骤简便,易于处理.如本例处通过换元将|MN|可转化为二次形式的问题.3.注重条件间的联系建立各条件之间的关系是解题的关键.本例中处将M,N两点的坐标与A,B的坐标联系在一起,从而使问题得解.【类题试解】(2014江西高考)如图,已知抛物线C:x2=4y,过点M(0,2)任作一直线与C相交于A,B两点,过点B作y轴的平行线与直线AO相交于点D(O为坐标原点).(1)证明:动点D在定直线上.(2)作C的任意一条切线l(不含x轴)与直线y=2相交于
15、点N1,与(1)中的定直线相交于点N2,证明:|MN2|2-|MN1|2为定值,并求此定值.【解题指南】(1)设直线AB的方程,与x2=4y联立,设出A,B两点坐标,由题意可得点D的坐标即可解决.(2)设切线方程,进而可得点N1,N2的坐标,代入两点间的距离公式即可解决.【解析】(1)依题意设AB的方程为y=kx+2,代入x2=4y,得x2-4kx-8=0,设A(x1,y1),B(x2,y2),则有x1x2=-8,直线AO的方程为y=x,BD的方程为x=x2,联立得点D ,所以yD=-2,因此点D在直线y=-2上(x0).(2)由题意切线的斜率存在且不为0,设切线的方程为y=ax+b(a0),代入x2=4y,得x2-4ax-4b=0,由(-4a)2-4(-4b)=0,得b=-a2,故切线的方程可写为y=ax-a2,分别令y=2,y=-2得N1,N2 ,则|MN2|2-|MN1|2=即|MN2|2-|MN1|2为定值8.
