1、简单几何体一、单选题1（2020上海复旦附中高三期末）已知某个几何体的三视图如下，根据图中标出的尺寸（单位：），则该几何体的体积是ABCD【答案】C试题分析：试题分析：此几何体为三棱锥,此三棱锥的体积为.故C正确.考点：三视图.2（2019上海高二期末）若空间中个不同的点两两距离都相等，则正整数的取值（ ）A至多等于4B至多等于5C至多等于6D至多等于8【答案】A【分析】当时，一一讨论，由此判断出正确选项.【详解】当时，空间三个点构成等边三角形时，可使两两距离相等.当时，空间四个点构成正四面体时，可使两两距离相等.不存在为以上的情况满足条件，故至多等于.故选：A.【点睛】本小题主要考查正多边形
2、、正多面体的几何性质，属于基础题.3（2019上海高二期末）若一个直三棱柱的所有棱长都为1，且其顶点都在一个球面上，则该球的表面积为（ ）ABCD【答案】B【分析】根据题意画出其立体图形.设此直三棱柱两底面的中心分别为,则球心为线段的中点,利用勾股定理求出球的半径,即可求得该球的表面积【详解】画出其立体图形: 直三棱柱的所有棱长都为1,且每个顶点都在球的球面上，设此直三棱柱两底面的中心分别为,则球心为线段的中点，设球的半径为，在中是其外接圆半径 ,由正弦定理可得: , ,即 在中 球的表面积 .故选:B.【点睛】本题主要考查空间几何体中位置关系、球和正棱柱的性质.解决本题的关键在于能想象出空间
3、图形,并能准确的判断其外接球的球心就是上下底面中心连线的中点4（2020上海高二期末）一个水平放置的平面图形的直观图是一个底角为，腰和上底长均为1的等腰梯形，则该平面图形的面积等于（ ）ABCD【答案】B【分析】根据斜二测直观图的特点可知原图形为一直角梯形，根据梯形面积公式即可求解.【详解】如图，恢复后的原图形为一直角梯形，所以.故选：B.二、填空题5（2019上海高二期末）球的表面积是其大圆面积的_倍【答案】【分析】设球的半径为，可得出球的表面积和球的大圆面积，从而可得出结果.【详解】设球的半径为，则球的表面积为，球的大圆面积为，因此，球的表面积是其大圆面积的倍，故答案为：.【点睛】本题考查
4、球的表面积公式的应用，考查计算能力，属于基础题.6（2019上海高二期末）如果球的体积为，那么该球的表面积为_【答案】【分析】根据球的体积公式：求出球的半径，然后由表面积公式：即可求解【详解】 ，又因为，所以 故答案为【点睛】本题考查球的体积、表面积公式，属于基础题7（2019上海高二期末）已知某圆柱是将边长为2的正方形（及其内部）绕其一条边所在的直线旋转一周形成的，则该圆柱的体积为_.【答案】【分析】根据题意得到圆柱底面圆半径为，高为，根据圆柱的体积公式，即可得出结果.【详解】因为圆柱是将边长为2的正方形（及其内部）绕其一条边所在的直线旋转一周形成的，则圆柱底面圆半径为，高为，所以该圆柱的体
5、积是.故答案为：【点睛】本题主要考查旋转体的体积，熟记圆柱体积公式即可，属于基础题型.8（2018上海高二期末）已知正六棱柱的底面边长为，侧棱为，则该正六棱柱的体积为_【答案】【分析】先计算出底面正六边形的面积，然后根据棱柱的体积公式，即可求解出正六棱柱的体积.【详解】因为底面是个边长为的正三角形，所以底面积为，所以正六棱柱的体积为：.故答案为：.【点睛】本题考查正棱柱的体积计算，难度较易.棱柱的体积计算公式：(是棱柱的底面积，是棱柱的高).9（2018上海市控江中学高二期末）关于旋转体的体积，有如下的古尔丁（guldin）定理：“平面上一区域D绕区域外一直线（区域D的每个点在直线的同侧，含直
6、线上）旋转一周所得的旋转体的体积，等于D的面积与D的几何中心（也称为重心）所经过的路程的乘积”利用这一定理，可求得半圆盘，绕直线x旋转一周所形成的空间图形的体积为_【答案】2【分析】显然半圆的几何中心在半圆与x轴的交线上，设几何中心到原点的距离为x，根据古尔丁（guldin）定理求得球的体积，根据球的体积公式列等式可解得，再根据这一定理即可求得结果.【详解】显然半圆的几何中心在半圆与x轴的交线上，设几何中心到原点的距离为x，则由题意得：2x（），解得x，所以几何中心到直线x的距离为：，所以得到的几何体的体积为：V（2）（）2故答案为：【点睛】本题考查了球的体积公式，考查了古尔丁（guldin）
7、定理，利用球的体积求出是解题关键，属于中档题.10（2019上海高二期末）若正方体的表面积为，则它的外接球的表面积为_.【答案】【分析】由正方体的外接球的直径与正方体的棱长之间的关系求解.【详解】由已知得正方体的棱长为，又因为正方体的外接球的直径等于正方体的体对角线的长，所以正方体的外接球的半径，所以外接球的表面积，故得解.【点睛】本题考查正方体的外接球，属于基础题.11（2019上海曹杨二中高二期末）正四棱柱的底面边长，若直线与底面所成的角的大小为，则正四棱柱的侧面积为_【答案】32【分析】根据线面垂直关系、线面角的定义可知，从而得到，根据底面边长可求得侧棱长，进而得到所求的侧面积.【详解】
8、四棱柱为正四棱柱四边形为正方形，平面直线与底面所成角为 正四棱柱的侧面积：故答案为【点睛】本题考查棱柱侧面积的求解，关键是能够根据线面角的定义确定线面角的具体位置，从而得到长度关系，属于基础题.三、解答题12（2019上海市复兴高级中学高二期末）如图，直三棱柱的底面为直角三角形，两直角边和的长分别为4和3，侧棱的长为5.（1）求三棱柱的体积；（2）设是中点，求直线与平面所成角的大小.【答案】（1）30；（2）.【分析】（1）根据体积公式直接计算；（2）说明就是直线与平面所成角，再计算.【详解】（1）根据题意可知，;（2）连接，平面，就是直线与平面所成角，是直角三角形，且是中点， ,直线与平面所
9、成角的大小.【点睛】本题考查柱体的体积公式和直线与平面所成的角，意在考查基本概念和计算求解能力，属于简单题型.13（2019上海高二期末）如图，在正三棱锥中，侧棱长和底边长均为，点为底面中心.（1）求正三棱锥的体积；（2）求证：.【答案】（1）；（2）证明见解析.【分析】（1）连接，根据题意得到底面，求出，再由三棱锥的体积公式，即可求出结果；（2）取的中点为，连接，得到，根据线面垂直的判定定理，得到平面，进而可得出结果.【详解】（1）连接，因为在正三棱锥中，侧棱长和底边长均为，点为底面中心，所以底面，因此；所以正三棱锥的体积；（2）取的中点为，连接，因为在正三棱锥中，侧棱长和底边长均为，所以，
10、又，平面，平面，所以平面；又平面，因此.【点睛】本题主要考查求三棱锥的体积，以及证明线线垂直，熟记棱锥的体积公式，以及线面垂直的判定定理与性质定理即可，属于常考题型.14（2019上海高二期末）如图，正四棱柱的底面边长，若与底面所成的角的正切值为（1）求正四棱柱的体积；（2）求异面直线与所成的角的大小【答案】（1）（2）【分析】（1）是与底面所成的角,所以,可得,在用柱体体积公式即可求得答案;（2）因为正四棱柱,可得,所以是异面直线与所成的角.【详解】（1）如图,连接 正四棱柱的底面边长 面 是与底面所成的角在中, 正四棱柱的体积为:.（2） 正四棱柱 是异面直线与所成的角在中, 异面直线与所
11、成的角为:.【点睛】本题考查了正四棱柱体积和空间异面直线夹角.在求解异面直线所成角的求解,通过平移找到所成角是解这类问题的关键.15（2019上海高二期末）如图，是圆锥的顶点，是底面圆的一条直径，是一条半径.且，已知该圆锥的侧面展开图是一个面积为的半圆面.（1）求该圆锥的体积：（2）求异面直线与所成角的大小.【答案】（1）（2）【分析】(1)运用圆锥的体积公式求解；(2)建立空间直角坐标系，运用空间向量的夹角公式求解.【详解】解：（1）设该圆锥的母线长为，底面圆半径为，高为，由题意，底面圆周长，因此，该圆锥的体积；（2）如图所示，取弧的中点，则，因为垂直于底面，所以、两两垂直以为轴，为轴，为轴建立空间直角坐标系，计算得，所以，设与所成角的大小为，则，所以，即异面直线与所成角的大小为.【点睛】本题考查圆锥的体积和异面直线所成的角，属于基础题.
