1、第十七章测评(时间:45分钟,满分:100分)一、选择题(每小题3分,共24分.下列各题给出的四个选项中,只有一项符合题意)1.如图,带阴影的长方形的面积是()A.9 cm2B.24 cm2C.45 cm2D.51 cm22.下列命题是真命题的是()A.如果一个数的相反数等于这个数本身,那么这个数一定是0B.如果一个数的倒数等于这个数本身,那么这个数一定是1C.如果一个数的平方等于这个数本身,那么这个数一定是0D.如果一个数的算术平方根等于这个数本身,那么这个数一定是03.如图所示,在长方形纸片ABCD中,点E是AD的中点,且AE=1,BE的垂直平分线MN恰好过点C,则长方形纸片的一边AB的长
2、度为()A.1B.2C.3D.24.如图,在RtABC中,AC=8 cm,BC=6 cm,ACB=90,分别以AB,BC,AC为直径作三个半圆,则阴影部分的面积为()A.14 cm2B.18 cm2C.24 cm2D.48 cm25.已知在ABC中,AB=8,BC=15,AC=17,则下列结论错误的是()A.ABC是直角三角形,且B=90B.ABC是直角三角形,且A=60C.ABC是直角三角形,且AC是它的斜边D.ABC的面积为606.下列命题的逆命题是真命题的是()A.若a=b,则|a|=|b|B.全等三角形的周长相等C.若a=0,则ab=0D.有两边相等的三角形是等腰三角形7.三角形的三边
3、a,b,c满足(a+b)2-c2=2ab,则此三角形是()A.锐角三角形B.直角三角形C.钝角三角形D.等边三角形8.如图,在平面直角坐标系中,A(4,0),B(0,3),以点A为圆心,AB长为半径画弧,交x轴的负半轴于点C,则点C坐标为()A.(-1,0)B.(-2,0)C.(-5+4,0)D.(-1.5,0)二、填空题(每小题5分,共20分)9.九章算术是我国古代最重要的数学著作之一,在“勾股”章中记载了一道“折竹抵地”问题:“今有竹高一丈,末折抵地,去本三尺,问折者高几何?”翻译成数学问题是:如图所示,在ABC中,ACB=90,AC+AB=10,BC=3,求AC的长.如果设AC=x,则可
4、列方程为.10.命题“在直角三角形中,30角所对的直角边等于斜边的一半”的逆命题是,它是命题.11.如图,RtABC的两直角边分别为1,2,以RtABC的斜边为一直角边,另一直角边为1画第2个ACD;再以ACD的斜边AD为一直角边,另一直角边为1画第3个ADE;依次类推,第n个直角三角形的斜边长是.12.如图,长方体的底面边长分别为1 cm和3 cm,高为6 cm.如果用一根细线从点A开始经过4个侧面缠绕一圈到达点B,那么所用细线最短需要 cm.三、解答题(共56分)13.(本小题满分10分)若a,b,c为ABC的三边长,且a,b,c满足等式(a-5)2+(b-12)2+(c-13)2=0.(
5、1)求出a,b,c的值;(2)ABC是直角三角形吗?请说明理由.14.(本小题满分10分)为了减少交通事故的发生,某条例规定:小汽车在城市街道上行驶速度不得超过70 km/h.如图,一辆小汽车在一条由东向西的城市街道上直道行驶,某一时刻刚好行驶到路边车速监测仪的正前方30 m处,过了2 s后,测得小汽车与车速监测仪的距离为50 m,问这辆小汽车超速了吗?15.(本小题满分10分)如图,在正方形ABCD中,M为AB的中点,N为AD上的一点,且AN=14AD,试猜想CMN是什么三角形,请证明你的结论.16.(本小题满分12分)问题情境勾股定理是一条古老的数学定理,它有很多种证明方法,我国汉代数学家
6、赵爽根据弦图,利用面积法进行证明,著名数学家华罗庚曾提出把“数形关系”(勾股定理)带到其他星球,作为地球人与其他星球“人”进行第一次“谈话”的语言.定理表述请你根据图中的直角三角形叙述勾股定理(用文字及符号语言叙述).图图尝试证明以图中的直角三角形为基础,可以构造出以a,b为底,以a+b为高的直角梯形(如图),请你利用图2,验证勾股定理.知识拓展利用图中的直角梯形,我们可以证明a+bc2.其证明步骤如下:因为BC=a+b,AD=,又因为在直角梯形ABCD中有BCAD(填大小关系),即,所以a+bcn0,m,n是互质的奇数.应用:当n=1时,求有一边长为5的直角三角形的另外两条边长.第十七章测评
7、一、选择题1.C2.A3.C连接CE(图略),则CE=BC=2,AE=1,由勾股定理,得CD=3.4.C由勾股定理可证,分别以直角边AC,BC为直径的两半圆的面积和等于以斜边AB为直径的半圆的面积,故阴影部分的面积等于RtABC的面积.5.B因为AB2+BC2=82+152=172=AC2,所以ABC是直角三角形,且AC为斜边,AC所对的角B=90,ABC的面积=12ABBC=60,无法推出A=60.6.DA的逆命题是若|a|=|b|,则a=b,假命题;B的逆命题是周长相等的三角形是全等三角形,假命题;C的逆命题是若ab=0,则a=0,假命题;D的逆命题是等腰三角形的其中两边相等,真命题.7.
8、B若(a+b)2-c2=2ab,则a2+b2+2ab-c2=2ab,即a2+b2=c2,此三角形是直角三角形.8.A二、填空题9.x2+32=(10-x)210.在直角三角形中,如果一条直角边等于斜边的一半,那么这条直角边所对的角等于30真把题中的结论作为条件,把条件作为结论,可知此命题为真命题.11.n+412.10把该长方体的四个侧面展开(图略),连接AB,即为所用最短细线.由勾股定理,得AB=(1+1+3+3)2+62=10(cm).三、解答题13.解(1)由题意得a-5=0,b-12=0,c-13=0,a=5,b=12,c=13.(2)ABC是直角三角形.理由如下:a2+b2=52+1
9、22=25+144=169,c2=132=169,a2+b2=c2,ABC是直角三角形.14.解这辆小汽车超速了.理由:由勾股定理,得BC=AB2-AC2=502-302=40(m),所以小汽车的速度是402=20(m/s).因为20m/s=72km/h70km/h,所以这辆小汽车超速了.15.解猜想CMN是直角三角形.证明如下:设正方形ABCD的边长为4a,则AM=2a,AN=a,DN=3a.在RtAMN中,由勾股定理,得MN2=5a2.同理可得CN2=25a2,CM2=20a2.所以MN2+CM2=CN2.所以CMN是直角三角形.16.解定理表述如果直角三角形的两条直角边长分别为a,b,斜边长为c,那么a2+b2=c2.尝试证明RtABERtECD,AEB=EDC.又EDC+DEC=90,AEB+DEC=90.AED=90.S梯形ABCD=SRtABE+SRtDEC+SRtAED,12(a+b)(a+b)=12ab+12ab+12c2.整理,得a2+b2=c2.知识拓展2ca+b0,所以m=3.把m=3分别代入,得a=12(32-1)=4,b=3.综上所述,直角三角形的另两边长为12,13或3,4.
