1、本章整合一二三一、勾股定理的实际应用【例1】如图,在一次课外实践活动中,同学们要测量某公园人工湖两侧A,B两个凉亭之间的距离,现测得AC=30 m,BC=70 m,CAB=120,请计算A,B两个凉亭之间的距离.一二三解:过点C作CDAB,垂足为D.因为CAB=120,所以CAD=60,所以DCA=30.又AC=30 m,所以AD=15 m.在RtACD中,由勾股定理,得CD2=AC2-AD2=675.在RtCBD中,由勾股定理,得所以AB=BD-AD=65-15=50(m).答:A,B两个凉亭之间的距离为50 m.一二三一二三跟踪演练1.在公路AB旁有一座山,山上有一C处需要爆破,已知点C与
2、公路上的停靠站A距离为300 m,与公路上另一停靠站B的距离为400 m,且CACB,为了安全起见,爆破点C周围半径250 m范围内不得进入,几何图形如图所示.问在进行爆破时,公路AB段是否因有危险而需要暂时封锁?答案答案关闭一二三二、勾股定理中的方程思想【例2】如图,将一个长方形纸片ABCD沿对角线AC折叠,点B落在点E处,AE交DC于点F,已知AB=8,BC=4,求折叠后重合部分的面积.分析:由图形可知,重合部分是ACF,AD正好是它的一条边CF上的高,因此要求重合部分的面积,只要求出CF的长即可.由图形的性质可知CF=AF,这样设DF=x后,便可表示出CF,AF的长.从而在RtADF中便
3、可利用勾股定理得出关于x的方程,求解即可.一二三解:AEC是由ABC折叠得到的,1=2.又CDAB,2=3,1=3,AF=CF.设DF=x,则AF=CF=CD-DF=8-x,在RtADF中,由勾股定理得AF2=AD2+DF2,即(8-x)2=42+x2,解得x=3,即DF=3,CF=8-x=5,故折叠后重合部分的面积为一二三一二三跟踪演练2.如图,折叠长方形的一边AD,使点D落在BC边的点F处,已知AB=8 cm,BC=10 cm,求EC的长.答案答案关闭解 因为点D,F关于AE对称,所以AFEADE,即AF=AD=BC=10 cm,DE=EF,设EC=x cm,则DE=(8-x)cm.在Rt
4、ABF中,由勾股定理,得BF2=AF2-AB2=36,所以BF=6 cm.所以FC=BC-BF=4 cm.在RtEFC中,由勾股定理,得x2+42=(8-x)2,解得x=3,所以EC的长为3 cm.一二三三、直角三角形的判定条件及其应用【例3】夏季多雨季节,某地遭受严重涝灾.用44方格表示某受灾区域如图所示,救援队沿图中折线从A到C行进,试判断绕过的ABC是否为直角,说说你的理由.分析:利用网格特征,通过三边关系可判断该角是否为直角.由于只要满足AB2+BC2=AC2(观察可知AC为最长边),即可判断ABC为直角三角形,因此不必分别求出AB,BC,AC的值后再平方,这样反而走了弯路.一二三解:
5、连接AC(图略),借助网格,可知AB2=BC2=12+32=10,AC2=22+42=20,所以有AB2+BC2=AC2,故ABC为直角三角形,ABC为直角.一二三跟踪演练3.初春时分,两组同学到村外平坦的田野中采集植物标本,分开后,他们向不同的方向沿直线前进,第一组的速度是30 m/min,第二组的速度是40 m/min,半小时后两组同学同时停下来,而此时两组同学相距1 500 m.(1)两组同学行走的方向是否成直角?(2)如果接下来两组同学以原来速度相向而行,那么多长时间后能相遇?答案答案关闭123456781.九章算术是古代东方数学代表作,书中记载:今有开门去阃(读kn,门槛的意思)一尺
6、,不合二寸,问门广几何?题目大意是:如图,(图为图的平面示意图),推开双门,双门间隙CD的距离为2寸,点C和点D距离门槛AB都为1尺(注:尺、寸是我国古代计量单位,1米=3尺,1尺=10寸),则AB的长是()图图A.50.5寸 B.52寸C.101寸 D.104寸答案答案关闭C1234567答案答案关闭B82.如图是用三块正方形纸片以顶点相连的方式设计的“毕达哥拉斯”图案.现有五种正方形纸片,面积分别是1,2,3,4,5,选取其中三块(可重复选取)按图的方式组成图案,使所围成的三角形是面积最大的直角三角形,则选取的三块纸片的面积分别是()A.1,4,5B.2,3,5C.3,4,5D.2,2,4
7、123456783.如图,等边三角形OAB的边长为2,则点B的坐标为()答案答案关闭B123456784.勾股定理是人类最伟大的科学发现之一,在我国古算书周髀算经中早有记载.如图,以直角三角形的各边为边分别向外作正方形,再把较小的两张正方形纸片按如图所示的方式放置在最大正方形内.若知道图中阴影部分的面积,则一定能求出()A.直角三角形的面积B.最大正方形的面积C.较小两个正方形重叠部分的面积D.最大正方形与直角三角形的面积和答案答案关闭C123456785.如图,该网格是正方形网格,则PAB+PBA=(点A,B,P是网格线的交点).答案解析解析关闭答案解析关闭123456786.命题“如果a+b=0,那么a,b互为相反数”的逆命题为.答案答案关闭如果a,b互为相反数,那么a+b=0123456787.如图,ABC中,点E在边AC上,EB=EA,A=2CBE,CD垂直于BE的延长线于点D,BD=8,AC=11,则边BC的长为.答案解析解析关闭答案解析关闭123456788.如图,已知边长为2的等边三角形ABC中,分别以点A,C为圆心,m为半径作弧,两弧交于点D,连接BD.若BD的长为 ,则m的值为.答案解析解析关闭答案解析关闭
