1、第三章三角函数、解三角形第五节 函数yAsin(x)的图象及三角函数模型的简单应用基础回扣自主学习热点命题深度剖析特色专题感悟提高高考明方向1.了解函数yAsin(x)的物理意义，能画出函数yAsin(x)的图象，了解参数A，对函数图象变化的影响2.了解三角函数是描述周期变化现象的重要函数模型，会用三角函数解决一些简单的实际问题备考知考情1.三角函数的图象画法、图象变换、由图象求解析式以及利用三角函数解决实际问题是高考考查的热点2.常和三角恒等变换相结合出现在解答题中，同时还考查数形结合思想的理解和应用3.题型以选择题、填空题为主，属中低档题.理教材 夯基础 厚积薄发J 基础回扣自主学习知 识
2、 梳 理知识点一用五点画yAsin(x)一个周期内的简图用五点画yAsin(x)一个周期内的简图时，要找五个关键点，如下表所示.知识点二函数ysinx的图象经变换得到yAsin(x)的图象的步骤如下知识点三函数yAsin(x)的有关概念 知识点四三角函数模型的应用(1)根据图象建立解析式或根据解析式作出图象(2)将实际问题抽象为与三角函数有关的简单函数模型(3)利用收集到的数据作出散点图，并根据散点图进行函数拟合，从而得到函数模型对 点 自 测知识点一用五点法画yAsin(x)的图象1.函数ysin2x3 在区间2，上的简图是图中的()A B C D解析 当x0时，y 32，可排除B、D.当x
3、6时，y0，可排除C.答案 A2用五点法作函数ysin x6 在一个周期内的图象时，主要确定的五个点是_、_、_、_、_.答案 6，0 23，1 76，053，1 136，03已知函数f(x)sin(x)(0)的图象如图所示，则_.解析 由题意设函数周期为T，则T42333，故T43.2T 32.答案 32知识点二函数yAsin(x)的图象变换4.将函数ysinx的图象向左平移(00，0)的解析式的步骤是什么？(1)求A，B，确定函数的最大值M和最小值m，则AMm2，BMm2.(2)求，确定函数的周期T，则2T.(3)求，常用方法有：代入法：把图象上的一个已知点代入(此时要注意该点在上升区间上
4、还是在下降区间上)或把图象的最高点或最低点代入五点法：确定值时，往往以寻找“五点法”中的特殊点作为突破口具体如下：“第一点”(即图象上升时与x轴的交点)为x0；“第二点”(即图象的“峰”点)为x2；“第三点”(即图象下降时与x轴的交点)为x；“第四点”(即图象的“谷点”)为x32；“第五点”为x2.高 频 考 点考点一五点法作图及图象变换【例1】已知函数y2sin2x3.(1)求它的振幅、周期、初相；(2)用“五点法”作出它在一个周期内的图象；(3)说明y2sin 2x3 的图象可由ysinx的图象经过怎样的变换而得到【思维启迪】(1)由振幅、周期、初相的定义即可解决(2)五点法作图，关键是找
5、出与x相对应的五个点(3)只要看清由谁变换得到谁即可听 课 记 录(1)y2sin 2x3 的振幅A2，周期T22，初相3.(2)令X2x3，则y2sin2x3 2sinX.列表，并描点画出图象：x612371256X02322ysinX01010y2sin2x302020(3)方法1：把ysinx的图象上所有的点向左平移3个单位，得到ysin x3 的图象，再把ysin x3 的图象上所有的点的横坐标缩短到原来的12(纵坐标不变)，得到ysin2x3 的图象，最后把ysin2x3上所有点的纵坐标伸长到原来的2倍(横坐标不变)，即可得到y2sin2x3 的图象方法2：将ysinx的图象上每一点
6、的横坐标x缩短为原来的12，纵坐标不变，得到ysin2x的图象；再将ysin2x的图象向左平移 6 个单位，得到ysin2 x6 sin 2x3 的图象；再将ysin2x3 的图象上每一点的横坐标保持不变，纵坐标伸长为原来的2倍，得到y2sin2x3 的图象【规律方法】(1)作三角函数图象的基本方法就是五点法，此法注意在作出一个周期上的简图后，应向两端伸展一下，以示整个定义域上的图象(2)变换法作图象的关键是看x轴上是先平移后伸缩还是先伸缩后平移，对于后者可利用xx 来确定平移单位变式思考 1(1)(2014浙江卷)为了得到函数ysin3xcos3x的图象，可以将函数y 2cos3x的图象()
7、A向右平移4个单位 B向左平移4个单位C向右平移 12个单位D向左平移 12个单位(2)将函数ysin(2x)(0)的图象向左平移6个单位后，所得的函数恰好是偶函数，则的值是_解析(1)ysin3xcos3x 2cos3x4 2cos3x 12，因此需将函数y 2cos3x的图象向右平移 12个单位故选C.(2)函数ysin(2x)的图象向左平移6个单位后，得ysin2x3，则3k2，kZ.又00，22 的图象关于直线x3对称，且图象上相邻两个最高点的距离为.(1)求和的值；(2)若f2 34 623，求cos32 的值听 课 记 录(1)因f(x)的图象上相邻两个最高点的距离为，所以f(x)
8、的最小正周期T，从而2T 2.又因f(x)的图象关于直线x3对称，所以23k2，k0，1，2，.因22得k0.所以223 6.(2)由(1)得f2 3sin226 34，所以sin6 14.由623 得060，0)的一般步骤：(1)由函数的最值确定A的值；(2)由函数的周期来确定的值；(3)由函数图象最高点(或最低点)的坐标得到关于的方程，再由的范围得的值也可以由起始点的横坐标得的值变式思考 2(1)函数f(x)2sin(x)，(0，20，0，|0，2图象的一部分，则f(x)的解析式为_解析(1)根据图象可知34T5123 91234，所以函数的周期为，可得2，根据图象过 512，2，代入解析
9、式，结合22，可得3，故选A.(2)由于最大值和最小值分别等于3，1.故AB3，AB1，解得A2，B1.把(0,2)代入yf(x)，得22sin1，取6.由图可知00，0)，x4,0时的图象，且图象的最高点为B(1,2)赛道的中间部分为长3 千米的直线跑道CD，且CDEF，赛道的后一部分是以O为圆心的一段圆弧D E.(1)求的值和DOE的大小；(2)若要在圆弧赛道所对应的扇形ODE区域内建一个“矩形草坪”，矩形的一边在道路EF上，一个顶点在半径OD上，另外一个顶点P在圆弧 D E 上，且POE，求当“矩形草坪”的面积取最大值时的值听 课 记 录(1)由条件，得A2，T43.T2，6.曲线段FB
10、C的解析式为y2sin6x23.当x0时，yOC 3.又CD 3，COD4，即DOE4.(2)由(1)可知OD 6.又易知当“矩形草坪”的面积最大时，点P在圆弧 D E 上，故OP 6.“矩形草坪”的面积为S 6sin(6cos 6sin)6(sincossin2)612sin212cos2123 2sin24 3.04，当242，即8时，S取得最大值【规律方法】本题属三角函数模型的应用，通常解决方法是转化为ysinx，ycosx等基本初等函数，可以解决图象、最值、单调性等问题，体现了化归的思想方法变式思考 3 如图所示，为了研究钟表与三角函数的关系，建立如图所示的坐标系，设秒针尖位置P(t，
11、y)，若案卷始位置为P032，12，当秒针从P0(注：此时t0)正常开始走时，那么点P的纵坐标y与时间t的函数关系为()Aysin30t6Bysin 60t6Cysin 30t6Dysin 30t3解析 由题意可得，函数的初相位是6，排除B、D.又函数周期是60秒且秒针按顺时针旋转，即T2|60，所以|30，即 30，故ysin 30t6.答案 C拓思维 提能力 启智培优T 特色专题感悟提高大题巧突破系列之(三)三角函数图象与性质的综合问题【典例】(2014山东卷)已知向量a(m，cos2x)，b(sin2x，n)，函数f(x)ab，且yf(x)的图象过点12，3和点23，2.(1)求m，n的
12、值；(2)将yf(x)的图象向左平移(0)个单位后得到函数yg(x)的图象，若yg(x)图象上各最高点到点(0,3)的距离的最小值为1，求yg(x)的单调递增区间【规范解答】(1)由题意知f(x)abmsin2xncos2x.因为yf(x)的图象过点12，3 和23，2.所以 3msin6ncos6，2msin43 ncos43，即 312m 32 n，2 32 m12n，解得m 3，n1.(2)由(1)知f(x)3sin2xcos2x2sin2x6.由题意知g(x)f(x)2sin2x26.设yg(x)的图象上符合题意的最高点为(x0,2)由题意知x2011，所以x00.即到点(0,3)的距
13、离为1的最高点为(0,2)将其代入yg(x)得sin26 1.因为0，所以6.因此g(x)2sin2x2 2cos2x，由2k2x2k，kZ，得k2xk，kZ.所以函数yg(x)的单调递增区间为k2，k，kZ.【名师点评】在第(1)问中，可先根据向量数量积坐标运算整理出f(x)的解析式，再由图象过两点，代入整理可得关于m，n的方程组，利用此方程组即得m，n的值在第(2)问中，通过图象平移知识，可得含参数的g(x)的解析式，从中设出最高点，然后根据两点距离为1，可确定最高点的坐标，代入可求出g(x)确定的解析式，从而求出单调区间对应训练已知函数f(x)3 sin(x)cos(x)(00)为偶函数，且函数yf(x)图象的两相邻对称轴间的距离为2.(1)求f8 的值；(2)求函数yf(x)fx4 的最大值及对应的x的值解(1)f(x)3sin(x)cos(x)232 sinx12cosx2sinx6.因为f(x)为偶函数，则62k(kZ)，所以23 k(kZ)又因为0，所以23.所以f(x)2sinx2 2cosx.由题意得2 22，所以2.故f(x)2cos2x.因此f8 2cos4 2.(2)y2cos2x2cos2x42cos2x2cos2x22cos2x2sin2x2 2sin42x.令42x2k2(kZ)，y有最大值2 2，所以当xk8(kZ)时，y有最大值2 2.