1、小题狂练（5）一、单项选择题：1.已知复数满足，则( )A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】由已知可求出，结合复数的除法运算对其进行整理得，从而可求出共轭复数.【详解】解：由题意可得：，则.故选:C.【点睛】本题考查了复数的除法运算，考查了共轭复数的求解.本题的关键是对进行整理变形.2.已知集合，则( )A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】先解不等式得集合A,B，再根据交集概念求结果.【详解】由题意得，中，则.故选：D【点睛】本题考查集合交集运算、一元二次不等式解集，考查基本分析求解能力，属基础题.3.空气质量指数简称，是定量描述空气质量的指数，空气质量指数小于50
2、表示空气质量为优.下图是某市一周的空气质量指数趋势图，则下列说法错误的是( )A. 该市这周有4天的空气质量指数为优B. 该市这周空气质量指数的中位数是31C. 该市这周空气质量指数的极差是65D. 该市这周空气质量指数的平均数是53【答案】B【解析】【分析】由图可知该市这周空气质量指数，从而可计算平均数，中位数，极差，即可选出正确答案.【详解】解：由图可知该市这周空气质量指数为，则平均数为，有4天的空气质量指数小于50，按大小排列为，则中位数为，极差为 故选:B.【点睛】本题考查了数据分析，考查了平均数的求解，考查了中位数的求解，考查了极差的求解.4.函数的部分图象大致是( )A. B. C
3、. D. 【答案】A【解析】【分析】由的图象关于直线对称，排除C、D；当时，所以，排除B.【详解】设，因为，所以的图象关于轴对称.所以的图象关于直线对称，排除C、D；当时，所以，排除B，故选：A【点睛】解决本类题时，通常是利用函数的单调性、奇偶性、函数值等排除选项.5.已知，若是的充分不必要条件，则的取值范围为( )A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】解绝对值不等式和分式不等式对命题进行化简，依据二者的关系可得，即可求出的取值范围.【详解】解：因为，所以.即，因为，所以，即.因为是的充分不必要条件，所以，解得.故选:A.【点睛】本题考查了已知命题关系求参数的取值范围，考查了绝对值
4、不等式的求解，考查了分式不等式的求解.本题的关键是对命题进行化简.6.已知，且，则的最小值是( )A. 6B. 8C. 12D. 16【答案】B【解析】【分析】先化简条件得，再利用1的代换以及基本不等式求最值即可.【详解】因为，所以，所以（当且仅当时取等号）.故选：B【点睛】本题考查利用基本不等式求最值，考查基本分析求解能力，属基础题.7.踢毽子是中国民间传统的运动项目之一，起源于汉朝，至今已有两千多年的历史，是一项简便易行的健身活动.某单位组织踢毽子比赛，把10人平均分成甲、乙两组，其中甲组每人在1分钟内踢毽子的数目分别为26，29，32，45，51；乙组每人在1分钟内踢毽子的数目分别为28
5、，31，38，42，49.从甲、乙两组中各随机抽取1人，则这两人踢毽子的数目之和为奇数的概率是( )A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】先确定从甲、乙两组中各随机抽取1人总事件数，再确定抽取两人踢毽子的数目之和为奇数所包含事件数，最后根据古典概型概率公式求解.【详解】从甲、乙两组中各随机抽取1人有种取法；其中抽取两人踢毽子的数目之和为奇数有种取法；从而所抽两人踢毽子的数目之和为奇数的概率是故选：C【点睛】本题考查古典概型概率，考查基本分析求解能力，属基础题.8.已知是函数的导数，且，当时，则不等式的解集是( )A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】构造函数，根据条件确
6、定其单调性与奇偶性，化简不等式为，再根据单调性与奇偶性转化不等式为，解得结果.【详解】设，则.因为当时，所以当时，即在上单调递增.因为，所以是偶函数.因为，所以，即，,则，解得.故选：D【点睛】本题考查函数单调性、奇偶性、利用单调性与奇偶性解不等式，考查综合分析求解能力，属中档题.二、多项选择题（本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分）9. 下图是20102020年这11年我国考研人数统计图，则关于这11年考研人数下列说法错误的是（ ）.A. 2010年以来我国考研报名人数逐年增多B. 这11年来考研报名
7、人数的极差超过260万人C. 2015年是这11年来报考人数最少的一年D. 2015年的报录比最低【答案】ABC【解析】【分析】根据人数统计图判断ABC，由报录比判断D【详解】由统计图表，2015年比2014年考研报名人数少，A错；考研人数最大是330万，最小是145万左右，极差估计是185万，B错；报考人数最少是2010年，C错；从报录比图看2015年报录比最低，D正确故选：ABC【点睛】本题考查统计图表，正确认识统计图表是解题关键10. 关于双曲线与双曲线，下列说法正确的是（ ）.A. 它们有相同的渐近线B. 它们有相同的顶点C. 它们的离心率不相等D. 它们的焦距相等【答案】CD【解析】
8、【分析】求解两个双曲线的顶点坐标，渐近线方程，离心率，焦距判断选项即可【详解】解：双曲线的顶点坐标，渐近线方程：，离心率为：，焦距为10双曲线，即：，它的顶点坐标，渐近线方程：，离心率为：，焦距为10所以它们的离心率不相等，它们的焦距相等故选：【点睛】本题考查双曲线的简单性质的应用，是基本知识的考查11. 下列命题中正确的为（ ）.A. 在中，若，则B. 在空间中，若直线、满足：，则C. 的图像的对称中心为D. 已知过抛物线的焦点的直线交抛物线于、两点，则【答案】AC【解析】【分析】本题首先可通过正弦函数性质判断出A正确；在空间中根据、无法证明判断出B错误；再然后在函数上任取一点，求出点关于点
9、的对称点为，通过判断点也在函数上得出C正确；最后通过取直线与轴平行这种情况即可判断出D错误.【详解】A项：因为，所以，故A正确；B项：在空间中，若、无法证明，故B错误；C项：在函数上任取一点，则点关于点的对称点为，因为点也在函数上，所以函数的图像的对称中心为，故C正确；D项：抛物线的焦点的坐标为，若直线与轴平行，则直线方程为，此时交点坐标为、，故D错误，故选：AC.【点睛】本题考查正弦函数性质以及线线平行的证明，考查函数对称中心的判断以及抛物线与直线相交的相关问题的求解，考查推理能力，体现了基础性与综合性，是中档题.12. 如图，已知函数（其中，）的图象与轴交于点，与轴交于点，.则下列说法正确
10、的有（ ）.A. 的最小正周期为12B. C. 的最大值为D. 在区间上单调递增【答案】ACD【解析】【分析】由题意可得：，可得，的坐标，根据，可得方程，进而解出，判断出结论【详解】解：由题意可得：，把代入上式可得：，解得，可得周期，解得可知：不对，解得函数，可知正确时，可得：函数在单调递增综上可得：ACD正确故选：ACD【点睛】本题考查了三角函数方程的解法、三角函数求值、三角函数的图象与性质，考查了推理能力与计算能力，属于较难题三、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分）13. 已知向量，则向量在方向上的投影为_.【答案】【解析】【分析】首先可以根据题意写出，然后求出以及的值，再然后设向
11、量与的夹角为，最后根据即可得出结果.【详解】因为，所以，设向量与的夹角为，则向量在方向上的投影，故答案为：.【点睛】本题考查向量在另一向量上的投影的相关计算，考查向量乘法的坐标表示，考查向量的模的相关计算，考查根据向量的数量积公式求向量在另一向量上的投影，考查计算能力，是中档题.14. 的展开式中，所有项的系数和为_，项的系数为_.【答案】 (1). 1 (2). 【解析】【分析】令可得所有项的系数和，把多项式化为二项式，然后由二项式定理可得的系数【详解】令，则展开式中所有项的系数和为，展开式通项公式为，令，的系数为故答案为：1；20【点睛】本题考查二项式定理，考查赋值法求二项展开式中各项系数
12、和，掌握二项展开式通项公式是解题基础15. 2020年春，新型冠状病毒引发的疫情牵动着亿万人的心，八方驰援战疫情，众志成城克时难，社会各界纷纷支援湖北，共抗新型冠状病毒肺炎.某医院派出了5名医生和3名护士共8人前往武汉参加救治工作.现将这8人分成两组分配到两所医院去，若要求每组至多5人，且护士所在组必须有医生，则不同的分配方案共有_种（用数字作答）.【答案】180【解析】【分析】对所分配的医生和护士分为5种情况，根据分类分步计数原理可得到结果【详解】由已知条件得将5名医生和3名护士分配到两所医院的情况如下：1所医院4名医生，另1所医院1名医生，3名护士，有种分配方案；1所医院3名医生，1名护士
13、，另1所医院2名医生，2名护士，有种分配方案；1所医院4名医生，1名护士，另1所医院1名医生，2名护士，有种分配方案；1所医院3名医生，2名护士，另1所医院2名医生，1名护士，有种分配方案；1所医院3名医生，另1所医院2名医生，3名护士，有种分配方案； 所以共有种分配方案，故答案为：180.【点睛】本题考查排列组合知识，考查学生分析解决问题的能力，进行合适的分类是本题的关键，属于中档题16. 我国古代数学名著九章算术中记载，斜解立方为“堑堵”，即底面是直角三角形的直三棱柱（直三棱柱为侧棱垂直于底面的三棱柱）.如图，棱柱为一个“堑堵”，底面的三边中的最长边与最短边分别为，且，点在棱上，且，则当的
14、面积取最小值时，异面直线与所成的角的余弦值为_.【答案】【解析】【分析】设直三棱柱高为，则,由,可得，再证明平面，从而得到，可得，将代入，利用均值不等式可求得当的面积取最小值时，由,所以(或其补角)为异面直线与所成的角，从而可求得答案.【详解】设直三棱柱的高为，则，因为直角三角形，且，则.所以，由，则,即，整理得由棱柱为一个“堑堵”，则侧棱垂直于底面，且底面是直角三角形.所以平面,又平面，则又底面是直角三角形，且最长边为，则又,所以平面平面,所以,且，所以平面,平面,所以当且仅当,即时，取得等号.由,所以(或其补角)为异面直线与所成的角.,所以故答案为：【点睛】本题考查异面直线成角问题，考查线面垂直的证明，考查利用均值不等式求最值，属于较难题.
