1、专训一：等腰三角形中四种常用作辅助线的方法名师点金：在几何图形中添加辅助线，往往能把分散的条件集中，使隐蔽的条件显露，将复杂的问题简单化，例如：作“三线”中的“一线”，作平行线构造等腰(边)三角形，利用截长补短法证线段和、差关系或求角的度数，利用加倍折半法证线段的倍分关系 作“三线”中的“一线”1如图，在ABC中，ABAC，D是BC的中点，过点A作EFBC，且AEAF.求证：DEDF.(第1题) 作平行线法2如图，在ABC中，ABAC，点P从点B出发沿线段BA移动，同时，点Q从点C出发沿线段AC的延长线移动，点P，Q移动的速度相同，PQ与直线BC相交于点D.(1)如图，当点P为AB的中点时，求
2、证：PDQD.(2)如图，过点P作直线BC的垂线，垂足为E，当P，Q在移动的过程中，线段BE，ED，CD中是否存在长度保持不变的线段？请说明理由(第2题) 截长补短法3如图，在ABC中，ABAC，D是ABC外一点，且ABD60，ACD60.求证：BDDCAB.(第3题) 加倍折半法4如图，在ABC中，BAC120，ADBC于D，且ABBDDC，求C的度数(第4题)5如图，CE，CB分别是ABC，ADC的中线，且ABAC.求证：CD2CE.(第5题)专训二：分类讨论思想在等腰三角形中的应用名师点金：分类讨论思想是解题的一种常用方法，在等腰三角形中，往往会遇到条件或结论不唯一的情况，此时就需要分类
3、讨论通过正确地分类讨论，可以使复杂的问题得到清晰、完整、严密的解答其解题策略为：先分类，再画图，后计算 当顶角或底角不确定时，分类讨论1若等腰三角形中有一个角等于40，则这个等腰三角形的顶角度数为()A40B100C40或70D40或1002已知等腰三角形ABC中，ADBC于D，且ADBC，则等腰三角形ABC的底角的度数为()A45 B75 C45或75 D653若等腰三角形的一个外角为64，则底角的度数为_ 当底和腰不确定时，分类讨论4(2015荆门)已知一个等腰三角形的两边长分别是2和4，则该等腰三角形的周长为()A8或10B8C10D6或125等腰三角形的两边长分别为7和9，则其周长为_
4、6若实数x，y满足|x4|(y8)20，则以x，y的值为边长的等腰三角形的周长为_ 当高的位置关系不确定时，分类讨论7等腰三角形一腰上的高与另一边的夹角为25，求这个三角形的各个内角的度数 由腰的垂直平分线引起的分类讨论8在三角形ABC中，ABAC，AB边上的垂直平分线与AC所在的直线相交所得的锐角为40，求底角B的度数 由腰上的中线引起的分类讨论9等腰三角形ABC的底边BC长为5 cm，一腰上的中线BD把其分为周长差为3 cm的两部分求腰长 点的位置不确定引起的分类讨论10如图，在RtABC中，ACB90，AB2BC，在直线BC或AC上取一点P，使得PAB为等腰三角形，则符合条件的点P共有(
5、)(第10题)A7个 B6个 C5个 D4个11如图，在ABC中，BCABAC，ACB40，如果D，E是直线AB上的两点，且ADAC，BEBC，求DCE的度数(第11题)专训三：三角形中的五种常见证明类型名师点金：学习了全等三角形及等腰三角形的性质和判定后，与此相关的几何证明题的类型非常丰富，常见的类型有：证明数量关系，位置关系，线段的倍分关系、和差关系、不等关系等 证明数量关系题型1证明线段相等1如图，在ABC中，ABAC，D是BC的中点，E，F分别是AB，AC上的点，且AEAF.求证：DEDF.(第1题)题型2证明角相等2如图，在ABC中，ABAC，BAC90，D为AC的中点，AEBD于F
6、交BC于E.求证：ADBCDE.(第2题) 证明位置关系题型1证明平行关系3已知ABC为等边三角形，点P在AB上，以CP为边长作等边三角形PCE，连接AE.求证：AEBC.(第3题)题型2证明垂直关系4如图，在ABC中，ABAC，点D，E，F分别在边BC，AB，AC上，且BDCF，BECD，G是EF的中点求证：DGEF.(第4题) 证明线段的倍分关系5如图，在ABC中，ABAC，AD，BE是ABC的高，AD，BE相交于点H，且AEBE.求证：AH2BD.(第5题) 证明线段的和差关系6如图，在ABC中，ABC2C，AD平分BAC.求证：ABBDAC.(第6题) 证明线段的不等关系7如图，AD是
7、ABC中BAC的平分线，P是AD上的任意一点，且ABAC.求证：ABACPBPC.(第7题)专训四：四种常见热门考点名师点金：本章内容在中考试题中一直占有重要的地位，属必考内容，考查形式多以选择、填空形式出现，其考查内容主要有轴对称和轴对称图形的识别、最短距离问题、与翻折有关的计算和证明题等 轴对称图形与轴对称1(2015重庆)下列图形是轴对称图形的是()(第2题)2(2015乌鲁木齐)如图，ABC的面积等于6，边AC3，现将ABC沿AB所在直线翻折，使点C落在直线AD上的C处，点P在直线AD上，则线段BP的长不可能是()A3 B4 C5 D63(2015绥化)点A(3，2)关于x轴的对称点A
8、的坐标为_4(2014宁夏)如图，在平面直角坐标系中，ABC三个顶点的坐标分别为A(2，1)，B(4，5)，C(5，2)，画出ABC关于y轴对称的A1B1C1.(第4题) 线段垂直平分线与角平分线(第5题)5如图，在ABC中，ABAC，A36，AB的垂直平分线DE交AC于点D，交AB于点E，则下列结论错误的是()ABD平分ABCBBCD的周长等于ABBC(第6题)CADBDBCD点D是线段AC的中点6如图，已知在ABC中，ABAC，BAC和ACB的平分线相交于点D，ADC130，那么CAB的大小是()A80B50C40D207如图，已知C是MAN的平分线上一点，CEAB于点E，点B，D分别在A
9、M，AN上，且AE(ADAB)问：1和2有何关系？(第7题) 等腰三角形的判定与性质(第8题)8如图，在ABC中，ABAC，AD平分BAC，DEAB，DFAC，E，F分别为垂足，则下列四个结论：(1)DEFDFE；(2)AEAF；(3)DA平分EDF；(4)AD垂直平分EF.其中正确的有()A1个 B2个 C3个 D4个9(中考淄博)如图，ADBC，BD平分ABC.求证：ABAD.(第9题) 等边三角形的性质与判定10如图，在等边三角形ABC中，D，E，F分别为AB，BC，CA上一点(不是中点)，且ADBECF，AE与CD，BF分别交于点G，H，BF与CD交于点N，则GHN是(第10题)()A
10、等边三角形B腰和底边不相等的等腰三角形C直角三角形D不等边三角形(第11题)11如图，AD是ABC的中线，ADC60，BC6，把ABC沿直线AD折叠，点C落在C处，连接BC，则BC的长为_答案专训一(第1题)1证明：如图，连接AD.ABAC，BDCD，ADBC.EFBC，ADEF.AEAF，AD垂直平分EF.DEDF.2(1)证明：如图，过点P作PFAC交BC于F.点P和点Q同时出发，且速度相同，BPCQ.PFAQ，PFBACB，DPFDQC.又ABAC，BACB，BPFB，BPFP，FPCQ.在PFD和QCD中，DPFDQC，PDFQDC，FPCQ，PFDQCD(AAS)，PDQD.(第2题
11、)(2)解：线段ED的长度保持不变理由如下：如图，过点P作PFAC交BC于F.由(1)知PBPF.PEBF，BEEF.由(1)知PFDQCD，FDCD，EDEFFDBECDBC，线段ED的长度保持不变3证明：如图，延长BD至E，使BEAB，连接CE，AE.(第3题)ABE60，BEAB，ABE为等边三角形AEB60，ABAE.又ACD60，ACDAEB.ABAC，ABAE，ACAE.ACEAEC.DCEDEC.DCDE.ABBEBDDEBDDC，即BDDCAB.4解：在DC上截取DEBD，连接AE，ADBC，BDDE，AD是线段BE的垂直平分线，ABAE，BAEB.ABBDDC，DEBD，AB
12、DECD.而CDDEEC，ABEC，AEEC.EACC，可设EACCx，AEB为AEC的外角，AEBEACC2x，B2x，BAE1802x2x1804x.BAC120，BAEEAC120，即1804xx120，解得x20，则C20.(第5题)5证明：如图，延长CE到点F，使EFCE，连接FB，则CF2CE.CE是ABC的中线，AEBE.在BEF和AEC中，BEFAEC(SAS)EBFA，BFAC.又ABAC，ABCACB.CBDAACBEBFABCCBF.CB是ADC的中线，ABBD.又ABAC，ACBF，BFBD.在CBF与CBD中，CBFCBD(SAS)CFCD.CD2CE.专训二1D2.
13、C3.324.C5.23或256.207解：设ABAC，BDAC；(1)高与底边的夹角为25时，高一定在ABC的内部，如图，DBC25，C90DBC902565，ABCC65，A18026550.(第7题)(2)当高与另一腰的夹角为25时，如图，高在ABC的内部时，ABD25，A90ABD65，CABC(180A)257.5；如图，高在ABC的外部时，ABD25，BAD90ABD902565，BAC18065115，ABCC(180115)232.5，故三角形各个内角的度数为：65，65，50或65，57.5，57.5或115，32.5，32.5.点拨：由于题目中的“另一边”没有指明是“腰”还
14、是“底边”，因此必须进行分类讨论，另外，还要结合图形，分高在三角形内还是在三角形外8解：此题分两种情况：(1)如图，AB边的垂直平分线与AC边交于点D，ADE40，则A50，ABAC，B(18050)265.(第8题)(2)如图，AB边的垂直平分线与CA的延长线交于点D，ADE40，则DAE50，BAC130.ABAC，B(180130)225.故B的大小为65或25.9分析：由于题目中没有指明是“(ABAD)(BCCD)”为3 cm，还是“(BCCD)(ABAD)”为3 cm，因此必须分两种情况讨论解：BD为AC边上的中线，ADCD，(1)当(ABAD)(BCCD)3 cm时，有ABBC3
15、cm，BC5 cm，AB538(cm)；(2)当(BCCD)(ABAD)3 cm时，有BCAB3 cm，BC5 cm，AB532(cm)，但是当AB2 cm时，三边长分别为2 cm，2 cm，5 cm.而225，不能构成三角形，舍去故腰长为8 cm.10B11解：(1)当点D、E在点A的同侧，且都在BA的延长线上时，如图，(第11题)BEBC，BEC(180ABC)2，ADAC，ADC(180DAC)2BAC2，DCEBECADC，DCE(180ABC)2BAC2(180ABCBAC)2ACB240220.(2)当点D、E在点A的同侧，且点D在D的位置，E在E的位置时，如图，与(1)类似地也可
16、以求得DCEACB220.(3)当点D、E在点A的两侧，且E点在E的位置时，如图，BEBC，BEC(180CBE)2ABC2，ADAC，ADC(180DAC)2BAC2，又DCE180(BECADC)，DCE180(ABCBAC)2180(180ACB)290ACB290402110.(4)当点D、E在点A的两侧，且点D在D的位置时，如图，ADAC，ADC(180BAC)2，BEBC，BEC(180ABC)2，DCE180(DECEDC)180(BECADC)180(180ABC)2(180BAC)2(BACABC)2(180ACB)2(18040)270.综上所述，DCE的度数为20或110
17、或70.专训三1证明：连接AD.ABAC，D是BC的中点，EADFAD.在AED和AFD中，AEDAFD(SAS)DEDF.2证明：过点C作CGAC交AE的延长线于G，则CGAB，BAFG.又AFBD，ACCG，BAFABD90，CAGG90.ABDCAG.在ABD和CAG中，ABDCAG(ASA)ADCG，ADBG.又D为AC的中点，ADCD，CDCG.ABAC，ABCDCE.又ABCG，ABCGCE.DCEGCE.又CECE，CDECGE(SAS)CDEG.ADBCDE.3证明：ABC，PCE均为等边三角形，BCAC，PCEC，ACBBPCE60.ACBACPPCEACP，即BCPACE.
18、在CBP和CAE中，CBPCAE(SAS)CAEB60.CAEACB.AEBC.(第4题)4证明：如图，连接ED，FD.ABAC，BC.在BDE和CFD中，BDECFD(SAS)DEDF.又G是EF的中点，DGEF.5证明：AD，BE是ABC的高，ADBAEB90，又BHDAHE，EBCEAH.在BCE和AHE中，BCEAHE(ASA)AHBC.又ABAC，ADBC，BC2BD.AH2BD.6证明：如图，延长CB至E，使BEBA，则BAEE，ABC2E.又ABC2C，EC，AEAC.AD平分BAC，BADDAC.BAEE，EC，BAEC.又EADBAEBAD，EDACDAC，EADEDA.AE
19、DE.ACDEBEBDABBD.(第6题)(第7题)7证明：如图，在AB上截取AE，使AEAC，连接PE.AD是BAC的平分线，EAPCAP.在AEP和ACP中，AEPACP(SAS)，PEPC.在PBE中，BEPBPE，即ABACPBPC.专训四1A2.A3.(3，2)4解：如图所示(第4题)5D6.D(第7题)7解：作CFAN于F(如图)，34，CEAM，CFCE，又ACAC，RtACFRtACE(HL)，AFAE.AE(ADAB)(AFDFAEBE)AE (BEDF)，BEDF0，DFBE，又CFCE，CFDCEB90，DFCBEC(SAS)52.15180，12180，即1与2互补8D9证明：ADBC，ADBDBC.BD平分ABC，ABDDBC.ADBABD，ABAD.10A11.3
