1、高考资源网（） 您身边的高考专家 (建议用时：60分钟)一、选择题1.(2015豫东、豫北十所名校联考)下列函数既是奇函数，又在区间1，1上单调递减的是()A.f(x)sin x B.f(x)lnC.f(x)|x1| D.f(x)(exex)解析对于A，ysin x是奇函数，但它在1，1上为增函数；对于B，由(2x)(2x)0，得2x2，所以f(x)ln的定义域是(2，2)，关于原点对称，因为f(x)lnlnf(x)，所以f(x)ln是奇函数.又t1在区间1，1上单调递减，故由复合函数的单调性可知函数f(x)ln在区间1，1上单调递减；对于C，f(x)|x1|为非奇非偶函数；对于D，f(x)(
2、exex)是奇函数，但它在1，1上为增函数，选B.答案B2.(2015济南模拟)若函数yf(2x1)是偶函数，则函数yf(2x)的图象的对称轴方程是()A.x1 B.x C.x D.x1解析yf(2x1)是偶函数，其图象关于y轴，即关于x0对称，又f(2x1)f ，yf(2x)的图象可由yf(2x1)的图象向右平移个单位得到，yf(2x)的图象的对称轴方程是x.答案C3.已知f(x)是定义在R上的偶函数，它在0，)上递减，那么一定有()A.f(2)f(a22a3) B.f(2)f(a22a3)C.f(2)f(a22a3) D.f(2)f(a22a3)解析因为a22a3(a1)222，又f(x)
3、在0，)上递减，所以f(a22a3)f(2).因为f(x)是定义在R上的偶函数，所以f(2)f(2)，所以f(a22a3)f(2)f(2).答案B4.定义在R上的函数f(x)，对x1，x2R都有f(x1x2)f(x1)f(x2)1，则下列命题正确的是()A.f(x)是偶函数 B.f(x)是奇函数C.f(x)1是偶函数 D.f(x)1是奇函数解析取x1x20，得f(00)f(0)f(0)1，所以f(0)1.取x1x，x2x，得fx(x)f(x)f(x)1，即f(0)f(x)f(x)1，所以f(x)1f(x)1，所以函数f(x)1是奇函数，故选D.答案D5.(2016重庆一中月考)若定义在实数集R
4、上的偶函数f(x)满足f(x)0，f(x2)对任意xR恒成立，则f(2 015)()A.4 B.3 C.2 D.1解析因为f(x)0，f(x2)，所以f(x4)f(x2)2)f(x)，即函数f(x)的周期是4.所以f(2 015)f(50441)f(1).因为函数f(x)为偶函数，所以f(2 015)f(1)f(1).当x1时，f(12)，得f(1)，又f(x)0，即f(1)1，所以f(2 015)f(1)1.答案D6.(2015吉林长春外国语学校期中)已知定义在R上的函数f(x)满足f(x)f(x)0，且f(x1)f(1x)，若f(1)5，则f(2 015)()A.5 B.5 C.0 D.3
5、解析定义在R上的函数f(x)满足f(x)f(x)0，f(x)f(x)，f(x1)f(1x)，f(x2)f(x1)1f1(x1)f(x)f(x)，即f(x2)f(x)，f(x4)f(x2)f(x1)1f1(x1)f(x)f(x)f(x)，即f(x4)f(x)，函数的周期为4，f(2 015)f(45041)f(1)f(1)，f(1)5，f(2 015)5.故选B.答案B二、填空题7.设函数f(x)是定义在R上的周期为2的偶函数，当x0，1时，f(x)x1，则f _.解析f f f 1.答案8.定义在R上的函数f(x)满足f(x)则f(2 016)的值为_.解析当x0时，f(x)f(x1)f(x2
6、)，用x1代替x得f(x1)f(x)f(x1)，得f(x1)f(x2)，所以f(x3)f(x)，所以f(x6)f(x)，所以T6.所以f(2 016)f(3366)f(0)log210.答案09.(2015湛江月考)定义在R上的偶函数f(x)满足f(x1)f(x)，且在1，0上是增函数，给出下列关于f(x)的结论：f(x)是周期函数；f(x)的图象关于直线x1对称；f(x)在0，1上是增函数；f(x)在1，2上是减函数；f(2)f(0).其中正确结论的序号是_.解析对于，f(x2)f(x1)f(x)f(x)，故2是函数f(x)的一个周期，正确；对于，由于函数f(x)是偶函数，且函数f(x)是以
7、2为周期的函数，则f(2x)f(x2)f(x)，即f(2x)f(x)，故函数f(x)的图象关于直线x1对称，故正确；对于，由于函数f(x)是偶函数且在1，0上是增函数，根据偶函数图象的性质可知，函数f(x)在0，1上是减函数，故错误；对于，由于函数f(x)是以2为周期的函数且在1，0上为增函数，由周期函数的性质知，函数f(x)在1，2上是增函数，故错误；对于，由于函数f(x)是以2为周期的函数，所以f(2)f(0)，正确.综上所述，正确结论的序号是.答案三、解答题10.已知函数f(x)对任意x，yR，都有f(xy)f(xy)2f(x)f(y)，且f(0)0，求证：f(x)是偶函数.证明已知对任
8、意x，yR，都有f(xy)f(xy)2f(x)f(y)，不妨取x0，y0，则有2f(0)2f(0)2，因为f(0)0，所以f(0)1.取x0，得f(0y)f(0y)f(y)f(y)2f(0)f(y)2f(y).所以f(y)f(y).又yR，所以函数f(x)是偶函数.11.设函数f(x)在R上满足f(2x)f(2x)，f(7x)f(7x)，且在闭区间0，7上只有f(1)f(3)0.(1)试判断函数yf(x)的奇偶性；(2)试求方程f(x)0在闭区间2 005，2 005上的根的个数，并证明你的结论.解(1)f(1)0，且f(x)在0，7上只有f(1)f(3)0，又f(2x)f(2x)，令x3，f
9、(1)f(5)0，f(1)f(1)，且f(1)f(1).f(x)既不是奇函数，也不是偶函数.(2)f(10x)f2(8x)f2(8x)f(6x)f7(13x)f713xf(20x)，f(x)以10为周期.又f(x)的图象关于x7对称知，f(x)0在(0，10)上有两个根，则f(x)0在(0，2 005上有2012402个根；在2 005，0上有2002400个根；因此f(x)0在闭区间上共有802个根.12.(2015合肥模拟)已知定义域为R的奇函数f(x)满足f(x1)f(x1)，且当x(0，1)时，f(x).(1)求f(x)在区间1，1上的解析式；(2)若存在x(0，1)，满足f(x)m，求实数m的取值范围.解(1)当x(1，0)时，x(0，1).由f(x)为R上的奇函数，得f(x)f(x)，即f(x)，x(1，0).又由f(x)为R上的奇函数，得f(0)0，f(x1)f(x1)，当x0时，f(1)f(1).又f(1)f(1)，f(1)0，f(1)0，故f(x)在区间1，1上的解析式为f(x)(2)f(x)1.又x(0，1)，2x(1，2)，1.若存在x(0，1)，满足f(x)m，则m，故实数m的取值范围是.- 5 - 版权所有高考资源网
