1、内容索引010203自主预习 新知导学合作探究 释疑解惑随堂练习课标定位素养阐释1.掌握直线方程的五种形式.2.会根据直线的方程判定两条直线的位置关系(平行、垂直、相交、重合).3.会求两条直线的交点坐标.4.掌握平面上两点间、点到直线、两条平行直线间的距离公式.5.培养直观想象、逻辑推理和数学运算素养.自主预习 新知导学一、直线的方程【问题思考】1.填表:直线方程的五种形式2.做一做:(1)已知直线l经过点A(1,-2),B(-3,2),则直线l的方程为()A.x+y+1=0B.x-y+1=0C.x+2y+1=0D.x+2y-1=0(2)过点A(4,1),且在两个坐标轴上的截距相等的直线方程
2、是()A.x+y=5B.x-y=5C.x+y=5或x-4y=0D.x-y=5或x+4y=0答案:(1)A(2)C 二、两条直线的位置关系【问题思考】1.填表:两条直线位置关系的判定2.做一做:若直线x-2y+5=0与直线2x+my-6=0互相垂直,则实数m=.解析:直线x-2y+5=0与直线2x+my-6=0互相垂直,12+(-2)m=0,解得m=1.答案:1三、距离公式【问题思考】1.填表:两点间的距离、点到直线的距离、两条平行直线间的距离2.做一做:已知点(a,2)(a0)到直线l:x-y+3=0的距离为1,则a等于()答案:C【思考辨析】判断下列说法是否正确,正确的在后面的括号内画“”,
3、错误的画“”.(1)经过点M(a,b),N(b,a)(ab)的直线的倾斜角是45.()(2)经过定点A(0,b)的直线都可以用方程y=kx+b表示.()(3)当直线l1和l2斜率都存在时,一定有k1=k2l1l2.()(4)l1:y=k1x+b1,l2:y=k2x+b2,当k1k2时,l1与l2相交.()(5)直线外一点与直线上一点的距离的最小值就是点到直线的距离.()合作探究 释疑解惑探究一探究二探究三思想方法探究一两条直线的平行与垂直【例1】已知直线l1:x+my+6=0,l2:(m-2)x+3y+2m=0,求m的值,使得:(1)l1l2;(2)l1l2.分析:两个直线方程中都含有参数,求
4、两条直线的不同的位置关系时参数的取值,可以利用平行(或垂直)的条件列方程求解.探究一探究二探究三思想方法解法一:当m=0时,两条直线既不平行,也不垂直;由于当m=3时,l1与l2重合,故m=3舍去.当m=-1时,l1l2.探究一探究二探究三思想方法解法二:(1)l1l2,m-2+3m=0,m=.(2)l1l2,3-m(m-2)=0,得m=-1或m=3.由于当m=3时,l1与l2重合,故m=3舍去,m=-1.反思感悟 利用直线的方程判定两条直线的平行或垂直时,可以利用斜率之间的关系判定;若方程都是一般式,知道平行或垂直关系,求参数的值时也可用如下方法:直线l1:A1x+B1y+C1=0,l2:A
5、2x+B2y+C2=0.(1)若l1l2,则A1B2-A2B1=0,解得参数的值后,再代入方程验证,排除重合的情况;(2)若l1l2,则可利用A1A2+B1B2=0求参数的值.探究一探究二探究三思想方法【变式训练1】已知两条直线l1:mx+8y+n=0和l2:2x+my-1=0.请分别求m,n的值,使:(1)l1与l2相交于点P(m,-1);(2)l1l2;(3)l1l2,且l1在y轴上的截距为-1.探究一探究二探究三思想方法即当m=4,n-2或m=-4,n2时,l1l2.(3)当且仅当m2+8m=0,即m=0时,l1l2.即当m=0,n=8时,l1l2,且l1在y轴上的截距为-1.探究一探究
6、二探究三思想方法探究二直线系方程【例2】(1)已知点A(1,2)和直线l:2x-3y+5=0,求经过点A,且平行于直线l的直线方程.(2)求经过两条直线3x+4y-2=0与2x+y+2=0的交点,且在x轴上的截距等于4的直线方程.分析:利用直线系设出方程求解.解:(1)设所求直线的方程为2x-3y+m=0,m5.直线经过点A(1,2),21-32+m=0,解得m=4.所求直线方程为2x-3y+4=0.探究一探究二探究三思想方法(2)根据题意可设所求直线方程为3x+4y-2+(2x+y+2)=0,其中R.整理得(3+2)x+(4+)y+(2-2)=0.探究一探究二探究三思想方法本例(1)条件不变
7、,求经过点A,且垂直于直线l的直线方程.解:设所求直线方程为3x+2y+n=0,直线经过点A(1,2),3+4+n=0,解得n=-7.所求直线方程为3x+2y-7=0.反思感悟 1.若已知直线l:Ax+By+C=0,则与l平行的直线系为Ax+By+m=0(mC);与l垂直的直线系为Bx-Ay+n=0.2.经过直线l1:A1x+B1y+C1=0和直线l2:A2x+B2y+C2=0的交点的直线可设为A1x+B1y+C1+(A2x+B2y+C2)=0(其中R),但是方程中不包括直线l2,这个参数方程形式在解题中较为常用.探究一探究二探究三思想方法【变式训练2】求经过直线x-y-1=0与直线2x+y-
8、2=0的交点,且平行于直线x+2y-3=0的直线方程.解:根据题意可设所求的直线方程为2x+y-2+(x-y-1)=0,R,整理得(2+)x+(1-)y-2-=0.由题意得1-2(2+)=0,解得=-1,当=-1时,所求直线与直线x+2y-3=0平行.因此,所求的直线方程为x+2y-1=0.探究一探究二探究三思想方法探究三对称问题【例3】光线沿直线l1:x-2y+5=0射入,遇到直线l:3x-2y+7=0后反射,求反射光线所在直线的方程.分析:由光学原理知入射光线与反射光线关于直线l对称,用求对称点的方法求出入射光线上一点P关于l的对称点,再由两点式写出方程.探究一探究二探究三思想方法即入射点
9、的坐标为(-1,2).取直线x-2y+5=0上一点P(-5,0),设点P关于直线l的对称点为P(x0,y0).由题意知x0-5.探究一探究二探究三思想方法根据直线的两点式方程可得反射光线所在直线的方程为29x-2y+33=0.探究一探究二探究三思想方法解法二:设直线l1上任意一点P(x0,y0)关于直线l的对称点为P(x,y),代入直线l1的方程x-2y+5=0,整理得29x-2y+33=0.故反射光线所在直线的方程为29x-2y+33=0.探究一探究二探究三思想方法反思感悟 1.直线关于直线对称常转化为点关于直线对称.2.转化思想是解决对称问题的主要思想方法,其他问题如角的平分线、光线反射等
10、也可转化成对称问题.探究一探究二探究三思想方法【变式训练3】求直线l1:2x+y-4=0关于直线l:3x+4y-1=0的对称直线l2的方程.探究一探究二探究三思想方法【思想方法】巧用数形结合思想求函数的最值审题视角:将该函数解析式变形,把f(x)看作点C(x,0)到点A(1,1)与点B(2,-2)的距离之和,利用数形结合思想求得距离之和的最小值,即f(x)的最小值.探究一探究二探究三思想方法探究一探究二探究三思想方法方法点睛 数形结合是解析几何的灵魂,两点间的距离公式和点到直线的距离公式是数形结合常见的结合点,常用这两个公式把抽象的代数问题转化为几何问题解决,也可以把几何问题转化为代数问题解决
11、.探究一探究二探究三思想方法【变式训练】设点P(-2,-1)到直线l:(1+3)x+(1+)y-2-5=0的距离为d,则d的最大值为.解析:直线l的方程可化为x+y-2+(3x+y-5)=0,随堂练习1.经过点(-1,3),且垂直于直线x-2y+3=0的直线方程为()A.2x+y-1=0B.2x+y-5=0C.x+2y-5=0D.x-2y+7=0解析:设所求的直线方程为2x+y+c=0,则2(-1)+3+c=0,解得c=-1.所以所求的直线方程为2x+y-1=0.答案:A答案:A 3.直线l经过点(1,1),且经过另两条直线2x+3y+8=0,x-y-1=0的交点,则直线l的方程为()A.2x-3y+1=0B.3x-2y-1=0C.3x+2y-4=0D.x-y=0即交点坐标为(-1,-2).由两点式可得直线l的方程为3x-2y-1=0.(方法二)由题意可设直线l的方程为2x+3y+8+(x-y-1)=0,R.直线l经过点(1,1),13-=0,得=13.直线l的方程为3x-2y-1=0.答案:B4.已知直线l:x-y=0和点M(0,2),则点M关于直线l的对称点M的坐标是()A.(2,2)B.(2,0)C.(0,-2)D.(1,1)解析:设M(a,b).由题意知a0.答案:B(1)a为何值时,l1l2;(2)a为何值时,l1l2.
