1、内容索引010203自主预习 新知导学合作探究 释疑解惑随堂练习课标定位素养阐释1.掌握圆与圆的位置关系及判定方法.2.能根据给定圆的方程,判断圆与圆的位置关系.3.能应用圆与圆的位置关系解决相关问题.4.达成直观想象、逻辑推理和数学运算素养.自主预习 新知导学圆与圆的位置关系的判定方法【问题思考】对于圆与圆的位置关系,是在将两圆放在同一平面内运动状态下,通过观察、分析、比较、判断得到平面上两圆位置关系有五种,如图所示.1.已知圆C1:x2+y2=4,圆C2:(x-a)2+y2=1,(1)两圆的半径r1,r2分别为多少?提示:r1=2,r2=1.(2)若a=4,两圆的圆心分别为多少?两圆的圆心
2、距为多少?与两半径有何关系?两圆有何位置关系?提示:圆心C1(0,0),C2(4,0),|C1C2|=4,|C1C2|r1+r2,外离.(3)若a=3,两圆的圆心分别为多少?两圆的圆心距为多少?与半径有何关系?两圆有何位置关系?提示:圆心C1(0,0),C2(3,0),|C1C2|=3,|C1C2|=r1+r2,外切.(4)若a=2,两圆的圆心分别为多少?两圆的圆心距为多少?与半径有何关系?两圆有何位置关系?提示:圆心C1(0,0),C2(2,0),|C1C2|=2,r1-r2|C1C2|r1+r2,相交.(5)若a=1,两圆的圆心分别为多少?两圆的圆心距为多少?与半径有何关系?两圆有何位置关
3、系?提示:圆心C1(0,0),C2(1,0),|C1C2|=1,|C1C2|=r1-r2,内切.(6)若a=0,两圆的圆心分别为多少?两圆的圆心距为多少?与半径有何关系?两圆有何位置关系?提示:圆心C1(0,0),C2(0,0),|C1C2|=0,|C1C2|r1+r2时,圆C1与圆C2外离;当d=r1+r2时,圆C1与圆C2外切;当|r1-r2|dr1+r2时,圆C1与圆C2相交;当d=|r1-r2|时,圆C1与圆C2内切;当d0时,两圆相交;当=0时,两圆相外切或内切;当0).求当a为何值时,两圆(1)相切;(2)相交;(3)相离.分析:先将圆的方程配方化成标准方程,再求出圆心距,然后与两
4、半径的和或差比较大小,最后求出a的值.探究一探究二探究三易错辨析解:圆C1的方程化成标准方程为(x-a)2+(y-1)2=16,圆C2的方程化成标准方程为(x-2a)2+(y-1)2=1,则圆心C1(a,1),r1=4,圆心C2(2a,1),r2=1,(1)当|C1C2|=r1+r2=5,即a=5时,两圆外切;当|C1C2|=|r1-r2|=3,即a=3时,两圆内切.(2)当|r1-r2|C1C2|r1+r2,即3ar1+r2,即a5时,两圆外离;当|C1C2|r1-r2|,即0a0.答案:1或121反思感悟 判断两圆位置关系的方法有两种,一是代数法,看方程组的解的个数,但往往运算繁琐;二是几
5、何法,看两圆的圆心距d,当d=r1+r2时,两圆外切;当d=|r1-r2|时,两圆内切;当dr1+r2时,两圆外离;当d|r1-r2|时,两圆内含;当|r1-r2|dr1+r2时,两圆相交.探究一探究二探究三易错辨析【变式训练1】圆C1:x2+y2+2x+2y-2=0与圆C2:x2+y2-4x-2y+1=0的公切线有()A.1条B.2条C.3条 D.4条解析:圆C1的半径r1=2,圆心C1(-1,-1),圆C2的半径r2=2,圆心C2(2,1),两圆的圆心距|C1C2|=.由于|r1-r2|C1C2|0)的公共弦的长为2 ,则a=.答案:1 探究一探究二探究三易错辨析反思感悟 1.求两圆的公共
6、弦所在直线的方程的方法:将两圆方程相减即得两圆公共弦所在直线方程,但必须注意只有当两圆方程中二次项系数相同时,才能如此求解,否则应先调整系数.2.求两圆公共弦长的方法:一是联立两圆方程求出交点坐标,再用两点间的距离公式求解;二是先求出两圆公共弦所在的直线方程,再利用半径长、弦心距和弦长的一半满足勾股定理求解.探究一探究二探究三易错辨析【变式训练2】已知圆C1:x2+y2+2x-6y+1=0与圆C2:x2+y2-4x+2y-11=0相交于A,B两点,求AB所在直线的方程和公共弦AB的长.解:由圆C1的方程减去圆C2的方程,得方程3x-4y+6=0,则两圆交点的坐标是方程3x-4y+6=0的解.故
7、两圆公共弦AB所在直线的方程是3x-4y+6=0.圆C1的方程化成标准方程为(x+1)2+(y-3)2=9,圆心为C1(-1,3),半径r=3.探究一探究二探究三易错辨析探究三两圆相切问题分析:要求圆的方程,需求出圆心坐标及半径,可利用直线与圆相切、圆与圆外切,建立关于a,b,r的方程组求解.探究一探究二探究三易错辨析解:圆C的方程可化为(x-1)2+y2=1,则圆心C(1,0),半径为1.设所求圆的方程为(x-a)2+(y-b)2=r2(r0),探究一探究二探究三易错辨析反思感悟 1.圆与圆的位置关系主要是通过圆心距与两半径长的和或两半径长的差的绝对值的大小关系来判断.2.直线与圆相切,即圆
8、心到直线的距离等于半径,另结合圆的性质,圆心与切点的连线与切线垂直,充分利用圆的有关几何性质解题可以化繁为简,提高运算效率.探究一探究二探究三易错辨析【变式训练3】与圆O:x2+y2=25外切于点P(4,3),且半径为1的圆的方程是.解析:设所求圆的圆心为C(m,n),则O,P,C三点共线,且|OC|=6.由题意知,圆心C的坐标位于第一象限,由两直角三角形相似,探究一探究二探究三易错辨析【易错辨析】两圆的位置关系考虑不全面致误【典例】求半径为4,与圆(x-2)2+(y-1)2=9相切,且和直线y=0相切的圆的方程.错解:由题意知,所求圆的圆心为C(a,4),半径为4,故可设所求圆的方程为(x-
9、a)2+(y-4)2=16.已知圆(x-2)2+(y-1)2=9的圆心A的坐标为(2,1),半径为3.探究一探究二探究三易错辨析以上解题过程中都有哪些错误?出错的原因是什么?你如何改正?你如何防范?提示:两圆相切分为内切和外切,与直线相切圆有两个位置,不要遗漏.正解:设所求圆C的方程为(x-a)2+(y-b)2=r2.圆C与直线y=0相切,且半径为4,则圆心C的坐标为C1(a,4)或C2(a,-4).已知圆(x-2)2+(y-1)2=9的圆心A的坐标为(2,1),半径为3.由两圆相切,得|CA|=4+3=7或|CA|=4-3=1.当圆心为C1(a,4)时,|CA|2=(a-2)2+(4-1)2
10、=72或|CA|2=(a-2)2+(4-1)2=12(无解),探究一探究二探究三易错辨析当圆心为C2(a,-4)时,|CA|2=(a-2)2+(-4-1)2=72或|CA|2=(a-2)2+(-4-1)2=12(无解),防范措施 两圆相切包括外切与内切,当两圆外切时,圆心距等于两半径之和;当两圆内切时,圆心距等于两半径差的绝对值.当题目中没有说明是内切还是外切时,要分两种情况进行讨论.解决两圆相切问题,常用几何法.探究一探究二探究三易错辨析【变式训练】已知圆A、圆B相切,圆心距为10 cm,其中圆A的半径为4 cm,则圆B的半径为()A.6 cm或14 cmB.10 cmC.14 cmD.无解
11、解析:设圆B的半径为r cm,圆A与圆B相切包括内切与外切,10=4+r或10=r-4,即r=6或14.答案:A随堂练习1.圆x2+y2-2x=0与圆x2+y2+4y=0的位置关系是()A.外离B.外切C.相交D.内切解析:圆x2+y2-2x=0的圆心为(1,0),半径为1,圆x2+y2+4y=0的圆心为(0,-2),半径为2,圆心距为,2-1 2+1,两圆相交.答案:C2.两圆x2+y2=r2,(x-3)2+(y+4)2=4外切,则正实数r的值为()A.1B.2C.3D.4解析:显然两圆心的距离d=5,两圆外切,r+2=5,r=3.答案:C3.已知半径为1的动圆与圆(x-5)2+(y+7)2
12、=16相切,则动圆圆心的轨迹方程是()A.(x-5)2+(y+7)2=25B.(x-5)2+(y+7)2=17或(x-5)2+(y+7)2=15C.(x-5)2+(y+7)2=9D.(x-5)2+(y+7)2=25或(x-5)2+(y+7)2=9解析:半径为1的动圆与圆(x-5)2+(y+7)2=16相切,动圆圆心到定圆圆心(5,-7)的距离为4+1或4-1,动圆圆心的轨迹方程为(x-5)2+(y+7)2=25或(x-5)2+(y+7)2=9.答案:D4.以(3,-4)为圆心,且与圆x2+y2=64内切的圆的方程是.解析:圆x2+y2=64的圆心为(0,0),半径r=8,设所求圆的半径为r,则|r-r|=d,即|r-8|=5,解得r=3或r=13.圆的方程为(x-3)2+(y+4)2=9或(x-3)2+(y+4)2=169.答案:(x-3)2+(y+4)2=9或(x-3)2+(y+4)2=1695.已知圆O1:(x-1)2+y2=4和圆O2:x2+(y-)2=9.(1)求两圆公共弦所在直线的方程;(2)求两圆的公共弦长.解:(1)由题意知两圆相交,将两圆的方程相减,
