1、内容索引010203自主预习 新知导学合作探究 释疑解惑随堂练习课标定位素养阐释1.掌握椭圆的简单几何性质.2.了解离心率对椭圆扁平程度的影响.3.掌握椭圆标准方程中的a,b以及c,e的几何意义,a,b,c,e之间的相互关系.4.培养直观想象、数学抽象、逻辑推理与数学运算素养.自主预习 新知导学一、椭圆的简单几何性质【问题思考】(1)通过观察图象,你发现椭圆C1和椭圆C2上的点的坐标的范围是怎样的?提示:椭圆C1上的点:-5x5,-4y4.椭圆C2上的点:-4x4,-5y5.(2)在椭圆C1和椭圆C2的标准方程中,以-y代y,方程有什么变化?以-x代x,方程又有什么变化?以-x代x,以-y代y
2、,方程又有什么变化?这说明椭圆有什么性质?提示:以-y代y,方程不变;以-x代x,方程也不变;以-x代x,以-y代y,方程也不变.说明椭圆关于y轴对称,也关于x轴、原点对称.(3)观察图,椭圆C1和椭圆C2与x轴和y轴分别有几个交点?交点坐标分别是什么?提示:椭圆C1与x轴有2个交点,坐标为(-5,0)和(5,0),与y轴有2个交点,坐标为(0,-4),(0,4);椭圆C2与x轴有2个交点,坐标为(-4,0)和(4,0),与y轴有2个交点,坐标为(0,-5),(0,5).2.填表:椭圆的几何性质3.做一做:(1)椭圆6x2+y2=6的长轴的端点坐标是()(2)因为a=5,所以-5m5.答案:(
3、1)D(2)-5,5二、离心率【问题思考】3.填空:离心率(1)定义:椭圆的焦距与长轴长的比称为椭圆的离心率.(2)性质:形象记忆:0eb0)的一个焦点和一个顶点,则该椭圆的离心率e=.解析:由题意知椭圆焦点在x轴上,在x+2y-2=0中,令y=0得x=2,从而得c=2;【思考辨析】判断下列说法是否正确,正确的在后面的括号内画“”,错误的画“”.(2)椭圆上的点到焦点的距离的最小值为a-c.()(3)椭圆的离心率e越小,椭圆越扁平.()(4)若一个矩形的四个顶点都在椭圆上,则这四个顶点关于椭圆的中心对称.()合作探究 释疑解惑探究一探究二探究三易错辨析探究一由椭圆的方程研究其几何性质【例1】设
4、椭圆mx2+4y2=4m(m4)的离心率为 ,试求椭圆的长轴长和短轴长、焦点坐标及顶点坐标.分析:先将椭圆方程化为标准形式,用m表示出a,b,c,再由e=求出m的值,然后求2a,2b、焦点坐标、顶点坐标.探究一探究二探究三易错辨析探究一探究二探究三易错辨析反思感悟 用标准方程研究几何性质的步骤:(1)将椭圆方程化为标准形式;(2)确定焦点位置;(焦点位置不确定的要分类讨论)(3)求出a,b,c;(4)写出椭圆的几何性质.提醒:长轴长、短轴长、焦距不是a,b,c,而应是2a,2b,2c.探究一探究二探究三易错辨析【变式训练1】已知椭圆x2+my2=1的离心率为 ,求m的值及椭圆的长轴长.探究一探
5、究二探究三易错辨析探究一探究二探究三易错辨析探究二由椭圆的几何性质求其标准方程【例2】求适合下列条件的椭圆的标准方程.(1)长轴长是短轴长的5倍,且过点A(5,0);(2)离心率e=,焦距为12.分析:焦点位置不确定,分两种情况利用待定系数法求解.探究一探究二探究三易错辨析探究一探究二探究三易错辨析探究一探究二探究三易错辨析反思感悟 根据几何性质求椭圆标准方程的一般方法及步骤(1)基本方法:待定系数法.(2)一般步骤:探究一探究二探究三易错辨析【变式训练2】已知椭圆以坐标轴为对称轴,长轴长是短轴长的3倍,并且过点P(3,0),求椭圆的标准方程.探究一探究二探究三易错辨析探究一探究二探究三易错辨
6、析探究三求椭圆的离心率【例3】(1)已知F1,F2是椭圆的两个焦点,过F1且与椭圆长轴垂直的直线交椭圆于A,B两点,若ABF2是正三角形,则该椭圆的离心率是.解析:不妨设椭圆的焦点在x轴上,因为ABF1F2,且ABF2为正三角形,所以在RtAF1F2中,AF2F1=30.探究一探究二探究三易错辨析探究一探究二探究三易错辨析探究一探究二探究三易错辨析本例(1)中将条件“过F1且与椭圆长轴垂直的直线交椭圆于A,B两点,若ABF2是正三角形”改为“A为y轴上一点,且AF1的中点B恰好在椭圆上,若AF1F2为正三角形”,则椭圆的离心率是.探究一探究二探究三易错辨析解析:如图,连接BF2.因为AF1F2
7、为正三角形,且B为线段AF1的中点,所以F2BBF1.探究一探究二探究三易错辨析反思感悟 求椭圆离心率的值(或取值范围)的两种方法(2)方程(不等式)法:若a,c的值不可求,则可根据条件建立关于a,b,c的关系式,借助a2=b2+c2,转化为关于a,c的齐次方程或不等式,再将方程或不等式两边同除以a的最高次幂,得到关于e的方程或不等式,即可求得e的值或范围.探究一探究二探究三易错辨析【变式训练3】(1)已知椭圆 (ab0)的一个焦点为F,该椭圆上有一点A,满足OAF是等边三角形(O为坐标原点),则椭圆的离心率是()(2)已知F是椭圆的左焦点,A,B分别是其在x轴正半轴和y轴正半轴上的顶点,P是
8、椭圆上的一点,且PFx轴,OPAB,则椭圆的离心率是.探究一探究二探究三易错辨析探究一探究二探究三易错辨析探究一探究二探究三易错辨析【易错辨析】忽视椭圆焦点的位置致误探究一探究二探究三易错辨析以上解答过程中都有哪些错误?出错的原因是什么?你如何改正?你如何防范?提示:忽视对焦点所在位置的讨论,即漏掉了两种情况中的一种情况,从而导致答案不全.探究一探究二探究三易错辨析正解:当椭圆的焦点在x轴上时,a2=k+4,b2=4,防范措施 当不清楚椭圆的焦点位置时,必须分情况讨论焦点位置.探究一探究二探究三易错辨析【变式训练】已知椭圆的中心在原点,对称轴是坐标轴,离心率e=,且过点P(2,3),求此椭圆的标准方程.探究一探究二探究三易错辨析随堂练习A.a2=15,b2=16B.a2=9,b2=25C.a2=25,b2=9D.a2=25,b2=9或a2=9,b2=25答案:C A.8B.7C.5D.4解析:由题意得m-210-m,且10-m0,于是6mb0),F1,F2分别为椭圆的左、右焦点,则|PF1|+|PF2|=2a.F2PF1=90,PF2F1=60,D
