1、内容索引010203自主预习 新知导学合作探究 释疑解惑随堂练习课标定位素养阐释1.经历由平面向量推广到空间向量的过程,了解空间向量的概念.2.经历由平面向量的线性运算及其运算律推广到空间向量的过程,掌握空间向量的线性运算及其运算律.3.掌握空间向量共线、共面的充要条件及其应用.4.培养数学抽象、直观想象与数学运算素养.自主预习 新知导学一、空间向量的概念【问题思考】1.刘力同学放学后回家,先从学校大门口出发向北行走600米,再向东行走500米,最后乘电梯上行45米到达住处.据此回答下列问题:(1)刘力同学放学回家的三个位移在同一平面内吗?提示:不在同一平面内.(2)你能用示意图表示一下刘力同
2、学放学回家的总位移吗?提示:2.填空:(1)空间向量定义:在空间,我们把具有大小和方向的量叫做空间向量.长度或模:空间向量的大小叫做空间向量的长度或模.(2)几类常见的空间向量3.做一做:给出下列命题:零向量没有确定的方向;互为相反向量的两个向量必共线;若向量a与向量b的模相等,则a,b的方向相同或相反;任意两个空间向量都可以平移到同一个平面内.其中真命题的序号是.解析:正确;正确;已知|a|=|b|,但不能确定向量a,b的方向,故错误;正确.综上可知,真命题为.答案:二、空间向量的线性运算【问题思考】1.如图,观察正方体中过同一个顶点A的三条棱所表示的向量 ,回答下列问题:(1)三条棱所表示
3、的向量在同一平面内吗?这三个向量是相等向量吗?提示:不在同一平面内.这三个向量不是相等向量.提示:能运算.由于任意两个空间向量都可以通过平移转化为同一平面内的向量,故任意两个空间向量的运算就可以转化为平面向量的运算.可类比平面向量的运算法则,借助平行四边形法则或三角形法则求解.2.填空:(1)空间向量的加法、减法以及数乘运算.由图知(2)与平面向量一样,空间向量的线性运算满足以下运算律(,R):交换律:a+b=b+a;结合律:a+(b+c)=(a+b)+c,(a)=()a;分配律:(+)a=a+a,(a+b)=a+b.(3)一般地,对于三个不共面的向量a,b,c,以任意点O为起点,a,b,c为
4、邻边作平行六面体,则a,b,c的和等于以O为起点的平行六面体对角线所表示的向量.答案:C三、共线向量与共面向量【问题思考】1.根据平面向量知识,回答下列两个问题:(1)在平面向量中,向量a,b(b0)共线的充要条件是什么?对于空间向量是否也成立呢?提示:ab(b0)的充要条件是存在实数,使a=b.对于空间向量仍然成立.(2)已知平面内任意两个不共线向量a,b,对于这个平面内任意一个向量p能否用向量a,b表示?怎样表示?提示:能.存在唯一确定的有序实数对(x,y),使向量p=xa+yb.2.填空:(1)两个向量共线(平行)的充要条件:对任意两个空间向量a,b(b0),ab的充要条件是存在实数,使
5、a=b.(2)直线的方向向量:如图,O是直线l上一点,在直线l上取非零向量a,则对于直线l上任意一点P,存在实数,使得=a.我们把与向量a平行的非零向量称为直线l的方向向量.(3)与直线、平面平行的向量:如图,如果表示向量a的有向线段所在的直线OA 与直线l平行或重合,那么称向量a平行于直线l.如果直线OA 平行于平面或在平面内,那么称向量a平行于平面.(4)共面向量:平行于同一个平面的向量,叫做共面向量.(5)三个向量共面的充要条件:如果两个向量a,b不共线,那么向量p与向量a,b共面的充要条件是存在唯一的有序实数对(x,y),使p=xa+yb.3.做一做:对于空间中任意三个向量a,b,2a
6、-b,它们一定是()A.共面向量B.共线向量C.不共面向量D.既不共线也不共面向量解析:当向量a,b不共线时,由向量共面的充要条件知这三个向量a,b,2a-b共面;当向量a,b共线时,这三个向量a,b,2a-b共线,也共面,所以它们一定是共面向量.答案:A【思考辨析】判断下列说法是否正确,正确的在后面的括号内画“”,错误的画“”.(1)任意一个空间向量都可以进行平移.()(2)任意两个非零空间向量相加时,一定可以用平行四边形法则运算.()(3)若表示两个空间向量的有向线段所在的直线为异面直线,则这两个向量不是共面向量.()(5)若p=xa+yb(其中x,yR),则p与a,b共面.()合作探究
7、释疑解惑探究一探究二探究三探究四易错辨析探究一空间向量的有关概念【例1】(1)下列说法正确的是()A.若|a|b|,则abB.若a,b互为相反向量,则a+b=0C.空间中两平行向量相等探究一探究二探究三探究四易错辨析分析:根据相等向量、相反向量的概念判断.解析:(1)向量的模有大小,但向量不能比较大小,故A错;相反向量的和为0,不是0,故B错;相等向量满足模相等,方向相同两个条件,平行向量不一定具备,故C错;D正确.探究一探究二探究三探究四易错辨析反思感悟 1.空间向量关于零向量、单位向量、向量的模、相等向量、相反向量等概念与平面向量相对应的概念完全相同.2.由于向量是由其模和方向确定的,因此
8、解答空间向量有关概念问题时,通常抓住这两点来解决.3.零向量是一个特殊向量,其方向是任意的,且与任何向量都共线.探究一探究二探究三探究四易错辨析【变式训练1】(1)下列说法:若两个空间向量相等,则表示它们有向线段的起点相同,终点也相同;其中错误的个数为()A.1B.2C.3D.4探究一探究二探究三探究四易错辨析探究一探究二探究三探究四易错辨析解析:(1)错误.两个空间向量相等,其模相等且方向相同,但与起点和终点的位置无关.错误.向量的模可以比较大小,但向量不能比较大小.探究一探究二探究三探究四易错辨析探究一探究二探究三探究四易错辨析探究二空间向量的线性运算探究一探究二探究三探究四易错辨析解:(
9、1)因为P是C1D1的中点,探究一探究二探究三探究四易错辨析探究一探究二探究三探究四易错辨析反思感悟 用已知向量表示未知向量,是向量线性运算的基础类型,解决这类问题,要注意两个方面:(1)熟练掌握空间向量线性运算法则和运算律.(2)要注意数形结合思想的运用,培养直观想象素养.探究一探究二探究三探究四易错辨析【变式训练2】如图所示,在平行六面体ABCD-A1B1C1D1中,O为AC的中点.探究一探究二探究三探究四易错辨析探究一探究二探究三探究四易错辨析探究三向量共线问题探究一探究二探究三探究四易错辨析证明:E,H分别是边AB,AD的中点,又点F不在直线EH上,四边形EFGH是梯形.探究一探究二探
10、究三探究四易错辨析反思感悟 1.本题利用空间向量共线证明了线线平行,解题时应注意向量共线与两直线平行的区别.2.判断或证明两空间向量a,b(b0)共线,就是寻找实数,使a=b成立,为此常结合题目图形,运用空间向量的线性运算法则将目标向量化简或用同一组向量表达.探究一探究二探究三探究四易错辨析求证:E,F,B三点共线.探究一探究二探究三探究四易错辨析探究一探究二探究三探究四易错辨析探究四空间向量共面问题【例4】已知A,B,C三点不共线,O是平面ABC外的任意一点.分析:要判断三个向量共面,即判断其中一个向量是否可以用另外两个向量线性表示.探究一探究二探究三探究四易错辨析探究一探究二探究三探究四易
11、错辨析探究一探究二探究三探究四易错辨析反思感悟 1.证明三个空间向量共面,常用如下方法:(1)证明其中一个向量可以表示成另两个向量的线性组合,即若a=xb+yc,则向量a,b,c共面.(2)寻找平面,证明这些向量与平面平行.2.对空间四点P,M,A,B可通过证明下列结论成立来证明四点共面:探究一探究二探究三探究四易错辨析【变式训练4】已知A,B,M三点不共线,对于平面ABM外任意一点O,判断在下列条件下,点P是否与点A,B,M共面.探究一探究二探究三探究四易错辨析探究一探究二探究三探究四易错辨析(2)4+(-1)+(-1)=21,点P与点A,B,M不共面.探究一探究二探究三探究四易错辨析【易错
12、辨析】以上解答过程中都有哪些错误?出错的原因是什么?你如何改正?你如何防范?探究一探究二探究三探究四易错辨析提示:对向量的减法法则理解、记忆错误,进而对向量的差推断运算错误.2.熟知向量加减运算法则的代数运算和几何运算形式,是解决这类问题的关键.探究一探究二探究三探究四易错辨析随堂练习1.下列说法正确的是()A.任意两个空间向量都可以比较大小B.由于0方向不定,故0不能与任何向量平行C.若|a|=|b|,则a与b共线D.空间向量的模可以比较大小解析:任意两个空间向量都不能比较大小,故A错误;规定0的方向是任意的,它与任意向量平行,故B错误;仅知两向量的模相等,无法判断两向量是否共线,故C错误;由于向量的模是一个实数,故可以比较大小,故D正确.答案:D答案:B 4.已知非零向量e1,e2不共线,则使2ke1-e2与e1+2(k+1)e2共线的k=.解析:若2ke1-e2与e1+2(k+1)e2共线,则2ke1-e2=e1+2(k+1)e2,其中R.因为非零向量e1,e2不共线,5.如图,在正方体ABCD-ABCD中,点E是上底面ABCD的中心,求下列各式中x,y,z的值.
