1、函数模型及其应用例题：例1、假设你有一笔资金用于投资，现有三种投资方案供你选择，这三种方案的回报如下：方案一：每天回报40元；方案二：第一天回报10元，以后每天比前一天多回报10元；方案三：第一天回报0.4元，以后每天的回报比前一天翻一番。请问，你会选择哪种投资方案呢？投资方案选择原则：投入资金相同，回报量多者为优(1)比较三种方案每天回报量(2)比较三种方案一段时间内的总回报量哪个方案在某段时间内的总回报量最多，我们就在那段时间选择该方案。我们可以先建立三种投资方案所对应的函数模型，再通过比较它们的增长情况，为选择投资方案提供依据。解：设第x天所得回报为y元，则方案一：每天回报40元；y=4
2、0 (xN*)方案二：第一天回报10元，以后每天比前一天多回报10元；y=10 x(xN*)方案三：第一天回报0.4元，以后每天的回报比前一天翻一番。y=0.42x-1(xN*)x/天方案一方案二方案三y/元增长量/元y/元增长量/元y/元增长量/元1400100.4240020100.80.4340030101.60.8440040103.21.6540050106.43.26400601012.86.47400701025.612.88400801051.225.694009010102.451.23040030010214748364.8107374182.4图112-1从每天的回报量来
3、看：第14天，方案一最多：每58天，方案二最多：第9天以后，方案三最多；有人认为投资14天选择方案一；58天选择方案二；9天以后选择方案三？画图累积回报表天数方案1234567891011一4080120160200240280320360400440二103060100150210280360450550660三0.41.22.8612.425.250.8102204.4409.2816.8结论投资16天，应选择第一种投资方案；投资7天，应选择第一或二种投资方案；投资810天，应选择第二种投资方案；投资11天（含11天）以上，应选择第三种投资方案。解决实际问题的步骤：实际问题读懂问题抽象概括
4、数学问题演算推理数学问题的解还原说明实际问题的解例2、某公司为了实现1000万元利润的目标，准备制定一个激励销售部门的奖励方案：在销售利润达到10万元时，按销售利润进行奖励，且奖金y(单位：万元)随着销售利润x(单位：万元)的增加而增加，但资金数不超过5万元，同时奖金不超过利润的25%。现有三个奖励模型：y=0.25x，y=log7x+1，y=1.002x，其中哪个模型能符合公司的要求呢？(1)、由函数图象可以看出，它在区间10,1000上递增，而且当x=1000时，y=log71000+14.555,所以它符合奖金不超过5万元的要求。模型y=log7x+1(2)、再计算按模型y=log7x+
5、1奖励时，奖金是否不超过利润的25%，即当x 10,1000时，是否有25.01log 7xxxy成立。令f(x)=log7x+1-0.25x，x 10,1000.利用计算机作出函数f(x)的图象，由图象可知它是递减的，因此f(x)f(10)-0.31670,即log7x+11)和幂函数y=xn(n0)，通过探索可以发现：在区间(0,+)上，无论n比a大多少，尽管在x的一定范围内，ax会小xn，但由于ax的增长快于xn的增长，因此总存在一个x0，当xx0时，就会有axxn.结论2：一般地，对于指数函数y=logax(a1)和幂函数y=xn(n0)，通过探索可以发现：在区间(0,+)上，随着x的
6、增大，logax增大得越来越慢，图象就像是渐渐地与x轴平行一样。尽管在x的一定范围内，logax可能会小xn，但由于logax的增长慢于xn的增长，因此总存在一个x0，当xx0时，就会有logax1)，y=logax(a1)和y=xn(n0)都是增函数。(2)、随着x的增大，y=ax(a1)的增长速度越来越快，会远远大于y=xn(n0)的增长速度。(3)、随着x的增大，y=logax(a1)的增长速度越来越慢，会远远小于y=xn(n0)的增长速度。总存在一个x0，当xx0时，就有logaxxnax练习：P98 1、2 实际问题读懂问题将问题抽象化数学模型解决问题基础过程关键目的几种常见函数的增长情况：常数函数一次函数指数函数没有增长直线上升指数爆炸作业:P107 T1、2
