1、4.3 空间直角坐标系4.3.1 空间直角坐标系1.通过具体情境,感受建立空间直角坐标系的必要性.2.了解空间直角坐标系的建系方法,会用空间直角坐标系刻画点的位置,能在空间直角坐标系中求出点的坐标.3.感受类比思想在探索新知识过程中的作用.1.空间直角坐标系(1)空间直角坐标系的要求：三条轴两两_;三条轴两两_;有_的单位长度.相交垂直相同(2)空间直角坐标系的构成要素：原点：原点O;坐标轴：_轴,_轴,_轴;坐标平面：_平面,_平面,_平面.(3)右手直角坐标系的要求：右手拇指指向x轴的正方向;右手食指指向y轴的正方向;右手中指指向z轴的正方向.xyzxOyyOzxOz2.空间一点的坐标空间
2、一点M 有序实数组(x,y,z).其中_称为横坐标，_称为纵坐标，_称为竖坐标.xyz1.“判一判”理清知识的疑惑点(正确的打“”,错误的打“”).(1)平面直角坐标系中的两坐标轴把平面分成四部分,空间直角坐标系中的三个坐标平面把空间分成六部分.()(2)在平面上画空间直角坐标系时,xOy=135,yOz=90.()(3)给定空间直角坐标系,空间任意一点与有序实数组(x,y,z)之间存在唯一的对应关系.()(4)右手直角坐标系是指x轴正半轴向右方向的坐标系.()提示：(1)错误.空间直角坐标系中的三个坐标平面把空间分成八部分.(2)正确.这是空间直角坐标系的常用画法.(3)正确.这是空间直角坐
3、标系的作用.(4)错误.在空间直角坐标系中,对三条坐标轴的方向作如下约定：伸出右手,拇指指向x轴正方向,食指指向y轴正方向,中指指向z轴正方向,即建立右手直角坐标系,故此说法是错误的.答案：(1)(2)(3)(4)2.“练一练”尝试知识的应用点(请把正确的答案写在横线上).(1)点M(2,0,0)所在的位置是.(2)已知A(2,0,3),B(-2,0,-1),则AB的中点坐标是.(3)z轴上的点的坐标的特点是.【解析】(1)由于点M的横坐标为2，纵坐标与竖坐标均为0，因此点M位于x轴的正半轴上.答案：x轴的正半轴上(2)设AB的中点为P(x,y,z)，则由中点坐标公式知答案：(0,0,1)(3
4、)z轴上的点的共同特点是横、纵坐标都为0.答案：横、纵坐标都是0空间直角坐标系及其点的坐标根据空间直角坐标系的相关知识,探究下列问题：探究1：空间直角坐标系的建系不同,点的坐标相同吗?提示：建立坐标系是解题的关键,坐标系建立的不同,点的坐标也不同,但点的相对位置是不变的,坐标系的不同也会引起解题过程的难易程度不同,因此解题时要慎重建立空间直角坐标系.探究2：在给定空间直角坐标系下,如何确定空间一点P的坐标?提示：过点P作平面xOy的垂线,垂足为Q,在平面xOy内过点Q分别作x轴,y轴的垂线确定点P的横坐标,纵坐标,再过点P作平行于OQ的直线PM交z轴于点M,确定点P的竖坐标.探究3：设点M的坐
5、标为(a,b,c),过点M分别作xOy平面,yOz平面,xOz平面的垂线,那么三个垂足的坐标分别如何?提示：分别是(a,b,0),(0,b,c),(a,0,c).【探究提升】1.对空间点的坐标的三点说明(1)表示空间中点的坐标需要3个实数,即有序数组(x,y,z),且点与有序数组是一一对应的.(2)若点的坐标有两个0,则该点在坐标轴上.若仅有一个为0,则该点必在坐标平面内.若均不为0,则该点既不在坐标轴上,也不在坐标平面内.(3)在空间建立的坐标系不同,同一个点的坐标的表达形式也不相同.2.空间一些特殊点的坐标(1)原点坐标(0,0,0).(2)x轴上的点的坐标为(x,0,0),其中x为任意实
6、数.(3)y轴上的点的坐标为(0,y,0),其中y为任意实数.(4)z轴上的点的坐标为(0,0,z),其中z为任意实数.(5)xOy平面上的点的坐标为(x,y,0),其中x,y为任意实数.(6)yOz平面上的点的坐标为(0,y,z),其中y,z为任意实数.(7)xOz平面上的点的坐标为(x,0,z),其中x,z为任意实数.类型 一求空间中点的坐标尝试完成下列题目,归纳在空间直角坐标系中确定空间一点P的坐标的步骤.1.在空间直角坐标系中,在z轴上的点的坐标可记为()A.(0,b,0)B.(a,0,0)C.(0,0,c)D.(0,b,c)2.如图,在长方体ABCD-ABCD中,|AD|=3,|AB
7、|=5,|AA|=3,设E为DB的中点,F为BC的中点,在给定的空间直角坐标系Dxyz下,试写出A,B,C,D,A,B,C,D,E,F各点的坐标.【解题指南】1.根据z轴上的点的坐标特点：横、纵坐标均为0,即可找出正确答案.2.解答本题首先要明确坐标的定义,再根据定义通过找面内的点的坐标得所求点的坐标.【解析】1.选C.因为z轴上所有点的横、纵坐标均为零，所以选C.2.因为A，B，C，D这4个点都在坐标平面xDy内，它们的竖坐标都是0，而它们的横坐标和纵坐标可利用|AD|=3,|AB|=5写出，所以A(3，0，0)，B(3，5，0)，C(0，5，0)，D(0，0，0)；因为平面ABCD与坐标平
8、面xDy平行，且|AA|=3,所以A，B，C,D的竖坐标都是3，而它们的横坐标和纵坐标分别与A，B，C，D的相同，所以A(3，0，3)，B(3，5，3)，C(0，5，3)，D(0，0，3)；由于E是DB的中点，所以它在坐标平面xDy上的射影为DB的中点，从而E的横坐标和纵坐标分别是B的，同理E的竖坐标也是B的竖坐标的，所以由F为BC的中点可知，F在坐标平面xDy的射影为BC的中点，所以F的横坐标和纵坐标分别为和5，同理点F在z轴上的投影是DD的中点，故其竖坐标为，所以【互动探究】题2的条件不变,求点E关于x轴,平面xDz的对称点.【解析】设点E关于x轴对称的点为E0(x0,y0,z0),为E0
9、E的中点,所以解之,得所以同理可得：点E关于平面xDz的对称点为【技法点拨】在空间直角坐标系中确定空间一点P的坐标的步骤【变式训练】如图,三棱柱ABC-A1B1C1中,所有棱长都为2,侧棱AA1底面ABC,建立适当坐标系,写出各顶点的坐标.【解题指南】根据底面为正三角形,可取AC中点为坐标原点,AC的中垂线为x轴,AC为y轴,面ACC1A1中与AC垂直的直线为z轴.【解析】取AC的中点O和A1C1的中点O1,连接BO,OO1,可得BOAC,分别以OB,OC,OO1所在直线为x,y,z轴建立空间直角坐标系,如图.因为三棱柱各棱长均为2,所以OA=OC=1,OB=.可得A(0,-1,0),B(,0
10、,0),C(0,1,0),A1(0,-1,2),B1(,0,2),C1(0,1,2).类型 二由空间点的坐标确定点的位置试着解答下列题目,总结求空间中点P(x,y,z)的位置的步骤及方法.1.点P(0,1,4)位于()A.y轴上B.x轴上C.xOz平面内D.yOz平面内2.在空间直角坐标系中,作出点M(4,2,5).【解题指南】1.根据点P的横坐标、纵坐标、竖坐标的特点来判断.2.分别在x轴,y轴,z轴上取点(4,0,0),(0,2,0),(0,0,5),过这三点作轴的垂面,交点即所求.【解析】1.选D.因为点P(0,1,4)的横坐标为0,所以点P位于yOz平面内.2.如图.在x轴上找到点M1
11、(4,0,0),过M1作与x轴垂直的平面;在y轴上找到点M2(0,2,0),过M2作与y轴垂直的平面;在z轴上找到点M3(0,0,5),过M3作与z轴垂直的平面,则平面,交于一点,此交点即为所求作的点M(4,2,5).【技法点拨】1.求空间中点P(a,b,c)的位置的四个步骤2.已知点P的坐标确定其位置的方法(1)利用平移点的方法,将原点按坐标轴方向三次平移得点P.(2)构造适合条件的长方体,通过和原点相对的顶点确定点P的位置.(3)通过作三个分别与坐标轴垂直的平面,由平面的交点确定点P.提醒：(1)若点的坐标有两个为0,则该点在坐标轴上(如点A(0,1,0),则该点在y轴上).(2)若仅有一
12、个为0,则该点必在坐标平面内(如点A(a,b,0)必在xOy平面内).【变式训练】在空间直角坐标系Oxyz中,作出点P(5,4,6).【解析】第一步从原点出发沿x轴正方向移动5个单位,第二步沿与y轴平行的方向向右移动4个单位,第三步沿与z轴平行的方向向上移动6个单位(如图),即作出点P(5,4,6).类型 三空间中点的对称问题 通过解答下列空间中点的对称问题,试总结空间中点关于坐标平面、坐标轴对称的点的特点.1.已知点P(-2,1,5),则点P关于原点对称的点的坐标为.2.已知M(2,1,3),求M关于原点对称的点M1,M关于xOy平面对称的点M2,M关于x轴、y轴对称的点M3,M4.【解题指
13、南】1.点P关于原点对称的点的横坐标、纵坐标、竖坐标均为点P相应坐标的相反数.2.根据空间直角坐标系的点关于坐标轴,坐标平面对称的点的坐标特点来写.【解析】1.点P(-2,1,5)关于原点对称的点的坐标为(2,-1,-5).答案：(2,-1,-5)2.由于点M与M1关于原点对称,所以M1(-2,-1,-3);点M与M2关于xOy平面对称,横坐标与纵坐标不变,竖坐标变为原来的相反数,所以M2(2,1,-3);M与M3关于x轴对称,则M3的横坐标不变,纵坐标和竖坐标变为M的相反数,即M3(2,-1,-3),同理M4(-2,1,-3).【技法点拨】空间中关于坐标平面、坐标轴对称的点的特点(1)关于哪
14、个坐标平面对称的点,点在哪个平面上的坐标不变,其余的坐标变为原来的相反数.(2)关于哪条坐标轴对称,哪个坐标不变,其余的坐标分别变为原来的相反数.【拓展延伸】常见对称的一些结论点P(x,y,z)关于坐标原点的对称点为P1(-x,-y,-z);点P(x,y,z)关于横轴(x轴)的对称点为P2(x,-y,-z);点P(x,y,z)关于纵轴(y轴)的对称点为P3(-x,y,-z);点P(x,y,z)关于竖轴(z轴)的对称点为P4(-x,-y,z);点P(x,y,z)关于xOy坐标平面的对称点为P5(x,y,-z);点P(x,y,z)关于yOz坐标平面的对称点为P6(-x,y,z);点P(x,y,z)
15、关于zOx坐标平面的对称点为P7(x,-y,z).【变式训练】已知点P(2,-5,8),分别写出点P关于原点,x轴,y轴,z轴和xOz平面的对称点.【解析】点P(2,-5,8)关于原点的对称点为(-2,5,-8),点P关于x轴,y轴,z轴的对称点分别为：(2,5,-8),(-2,-5,-8),(-2,5,8).点P关于xOz平面的对称点为(2,5,8).1.关于空间直角坐标系的叙述正确的是()A.P(x,y,z)中x,y,z的位置可以互换B.空间直角坐标系中的点与一个三元有序数组是一种一一对应关系C.空间直角坐标系中的三条坐标轴把空间分为八个部分D.某点在不同的空间直角坐标系中的坐标位置可以相
16、同【解析】选B.A,D易知错误,对于C应是坐标平面.2.点(2,0,4)在空间直角坐标系中的位置是()A.在x轴上B.在y轴上C.在xOz平面上D.在xOy平面上【解析】选C.由于纵坐标为0,横、竖坐标不为0,故在xOz平面内.3.在空间直角坐标系中,P(2,3,4),Q(-2,3,-4)两点的位置关于对称.【解析】因为点P与点Q的纵坐标相同,横坐标、竖坐标分别互为相反数,所以点P与点Q关于y轴对称.答案：y轴4.在空间直角坐标系中,点P(-2,1,4)关于x轴对称的点的坐标是;关于xOy平面对称的点的坐标是;关于点A(1,0,2)对称的点的坐标是.【解析】点P关于x轴对称后,它的横坐标不变,
17、纵坐标、竖坐标变为原来的相反数,所以点P关于x轴对称的点的坐标为P1(-2,-1,-4);点P关于xOy平面对称后,它的横、纵坐标均不变,竖坐标变为原来的相反数,所以点P关于xOy平面对称的点的坐标为P2(-2,1,-4);设点P关于点A对称的点的坐标为P3(x,y,z),由中点坐标公式可得故点P关于点A(1,0,2)对称的点的坐标为P3(4,-1,0).答案：(-2,-1,-4)(-2,1,-4)(4,-1,0)5.如图,在棱长为2的正方体ABCD-A1B1C1D1中,E是DC的中点,取如图所示的空间直角坐标系,写出A,B1,E,D1的坐标.【解析】结合图形知：点A(2,2,0),B1(2,0,2),D1(0,2,2),D(0,2,0),C(0,0,0).则E(0,1,0).
