1、2020-2021学年北京市丰台区高二（下）期末数学试卷一、选择题（共10小题，每小题4分，共40分）.1已知集合A0，1，2，B1，2，3，则AB（）A1，2B0，1，2C1，2，3D0，1，2，32命题“xR，x230”的否定是（）AxR，x230BxR，x230CxR，x230DxR，x2303下列两个变量具有相关关系的是（）A正方体的体积与棱长B汽车匀速行驶时的路程与时间C人的体重与饭量D人的身高与视力4若ab，则下列不等式中一定成立的是（）ABCa3b3D|a|b|5一箱产品中有8件正品和2件次品每次从中随机抽取1件进行检测，抽出的产品不再放回已知前两次检测的产品均是正品，则第三次检
2、测的产品是正品的概率为（）ABCD6若x1，则函数的最小值为（）ABC4D57在下列4组样本数据的散点图中，样本相关系数最大的是（）Ar1Br2Cr3Dr48设xR，则“1x3”是“x2+x20”的（）A充分不必要条件B必要不充分条件C充要条件D既不充分也不必要条件9某校开展“迎奥运阳光体育”活动，共设踢毽、跳绳、拔河、推火车、多人多足五个集体比赛项目，各比赛项目逐一进行为了增强比赛的趣味性，在安排比赛顺序时，多人多足不排在第一场，拔河排在最后一场，则不同的安排方案种数为（）A3B18C21D2410已知函数f（x）的定义域为1，5，其部分自变量与函数值的对应情况如表：x10245f（x）31
3、2.513f（x）的导函数f（x）的图象如图所示给出下列四个结论：f（x）在区间1，0上单调递增；f（x）有2个极大值点；f（x）的值域为1，3；如果xt，5时，f（x）的最小值是1，那么t的最大值为4其中，所有正确结论的序号是（）ABCD二、填空题共5小题，每小题5分，共25分11函数f（x）的定义域为 12为迎接中国共产党建党100周年，某校开展“学史明理、学史崇德、学史力行”活动由4位思政教师组成宣讲团，面向高中三个年级的学生进行党史宣讲若要求高一年级安排2位教师，高二、高三年级各安排1位教师，则不同的安排方案种数为 （结果用数字作答）13能够说明“设a，b，c是任意实数若cba，则ab
4、ac”是假命题的一组整数a，b，c的值依次为 14已知函数f（x）lnxax+1，若a1，则f（x）的零点个数为 ；若f（x）有两个不同的零点，则a的取值范围是 15算筹是一根根同样长短和粗细的小棍子，是中国古代用来记数、列式和进行各种数与式演算的一种工具，是中国古代的一项伟大、重要的发明在算筹计数法中，以“纵式”和“横式”两种方式来表示数字，如表：123456789纵式横式用算筹计数法表示多位数时，个位用纵式，十位用横式，百位用纵式，千位用横式，以此类推，遇零则置空，则“”表示的三位数为 ；如果把5根算筹以适当的方式全部放入下面的表格中，那么可以表示能被5整除的三位数的个数为 三、解答题共6
5、小题，共85分解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程16已知（1+2x）5a0+a1x+a2x2+a3x3+a4x4+a5x5（1）求a0的值；（2）求a1+a3+a5的值17甲、乙两名同学分别与同一台智能机器人进行象棋比赛在一轮比赛中，如果甲单独与机器人比赛，战胜机器人的概率为；如果乙单独与机器人比赛，战胜机器人的概率为（1）甲单独与机器人进行三轮比赛，求甲恰有两轮获胜的概率；（2）在甲、乙两人中任选一人与机器人进行一轮比赛，求战胜机器人的概率18已知函数f（x）x3+3x2ax在x1处取得极值（1）求a的值；（2）求f（x）在区间4，4上的最大值和最小值19第七次全国人口普查公报显示，自2
6、010年以来，我国大陆人口受教育水平明显提高，其中西部地区的人口受教育水平提升非常显著下面两表分别列出了2010年和2020年东部地区和西部地区各省、自治区、直辖市（以下将省、自治区、直辖市简称为省份）15岁及以上人口平均受教育年限数据东部地区（单位：年）北京天津河北上海江苏浙江福建山东广东海南2020年12.611.39.811.810.29.89.79.810.410.12010年11.710.49.110.79.38.89.09.09.69.2西部地区（单位：年）重庆四川贵州云南西藏陕西甘肃青海宁夏新疆广西内蒙古2020年9.89.28.88.86.810.39.18.99.810.19
7、.510.12010年8.88.47.77.85.39.48.27.98.89.38.89.2（1）从东部地区任选1个省份，求该省份2020年15岁及以上人口平均受教育年限比2010年至少增加1年的概率；（2）从东部地区和西部地区所有2020年15岁及以上人口平均受教育年限比2010年至少增加1年的省份中任选2个，设X为选出的2个省份中来自西部地区的个数，求X的分布列和数学期望E（X）；（3）将上面表中西部地区各省份2020年和2010年15岁及以上人口平均受教育年限的方差分别记为s12，s22，试比较s12与s22的大小（只需写出结论）20已知函数f（x）exax（1）讨论f（x）的单调区间
8、；（2）对x（0，+），都有f（x）0恒成立，求a的取值范围21已知函数（1）求曲线yf（x）在点（0，f（0）处的切线方程；（2）设曲线yf（x）在点（t，f（t）（t1）处的切线与x轴、y轴分别交于A，B两点，求|AB|2的最小值参考答案一、选择题（共10小题，每小题4分，共40分）.1已知集合A0，1，2，B1，2，3，则AB（）A1，2B0，1，2C1，2，3D0，1，2，3解：因为集合A0，1，2，B1，2，3，则AB1，2故选：A2命题“xR，x230”的否定是（）AxR，x230BxR，x230CxR，x230DxR，x230解：由含有量词的命题的否定方法：先改变量词，然后再否定
9、结论，可知命题“xR，x230”的否定是“xR，x230”故选：D3下列两个变量具有相关关系的是（）A正方体的体积与棱长B汽车匀速行驶时的路程与时间C人的体重与饭量D人的身高与视力解：正方体的体积与棱长是函数关系，故选项A错误；汽车匀速行驶时的路程与时间是函数关系，故选项B错误；饭量会影响体重，但不是唯一因素，所以人的体重与饭量是相关关系，故选项C正确；人的身高与视力无任何关系，故选项D错误故选：C4若ab，则下列不等式中一定成立的是（）ABCa3b3D|a|b|解：若a0b，则，0，故A，B错误；若ab，则a3b3，故C正确；取a2，b0，可得|a|b|，故D错误故选：C5一箱产品中有8件正
10、品和2件次品每次从中随机抽取1件进行检测，抽出的产品不再放回已知前两次检测的产品均是正品，则第三次检测的产品是正品的概率为（）ABCD解：已知有8件正品和2件次品，每次从中随机抽取1件进行检测，抽出的产品不再放回，因为前两次检测的产品均是正品，说明剩下的8件中有6件正品，所以第三次检测的产品是正品的概率为故选：C6若x1，则函数的最小值为（）ABC4D5解：因为x1，所以x10，则f（x）x+，当且仅当x1，即x+1时取等号，此时函数f（x）的最小值为2+1，故选：B7在下列4组样本数据的散点图中，样本相关系数最大的是（）Ar1Br2Cr3Dr4解：由散点图变化趋势可知，r10，r30，r20
11、，r40，又图1中的散点更为集中，更接近于一条直线，所以r1r3，故样本相关系数最大的是r1故选：A8设xR，则“1x3”是“x2+x20”的（）A充分不必要条件B必要不充分条件C充要条件D既不充分也不必要条件解：因为x2+x20，所以x2或x1，因为（1，3）（2）（1，+），所以“1x3”是“x2+x20”的充分不必要条件故选：A9某校开展“迎奥运阳光体育”活动，共设踢毽、跳绳、拔河、推火车、多人多足五个集体比赛项目，各比赛项目逐一进行为了增强比赛的趣味性，在安排比赛顺序时，多人多足不排在第一场，拔河排在最后一场，则不同的安排方案种数为（）A3B18C21D24解：根据题意，多人多足不排在
12、第一场，拔河排在最后一场，则“多人多足”有3种安排方法，将踢毽、跳绳、推火车安排在剩下的3个位置，有A336种安排方法，则有3618种安排方法；故选：B10已知函数f（x）的定义域为1，5，其部分自变量与函数值的对应情况如表：x10245f（x）312.513f（x）的导函数f（x）的图象如图所示给出下列四个结论：f（x）在区间1，0上单调递增；f（x）有2个极大值点；f（x）的值域为1，3；如果xt，5时，f（x）的最小值是1，那么t的最大值为4其中，所有正确结论的序号是（）ABCD解：根据函数的导数f（x）的图象，整理出函数f（x）的图象，如图所示：对于，f（x）在区间1，0上单调递减，故
13、错误；对于，f（x）有1个极大值点，2个极小值，故错误；对于，根据函数的极值和端点值f（x）的值域为1，3，故正确；对于，如果xt，5时，f（x）的最小值是1，那么t的最大值为4，故正确故选：D二、填空题共5小题，每小题5分，共25分11函数f（x）的定义域为 x|x0解：要使f（x）有意义，则x0，f（x）的定义域为x|x0故答案为：x|x012为迎接中国共产党建党100周年，某校开展“学史明理、学史崇德、学史力行”活动由4位思政教师组成宣讲团，面向高中三个年级的学生进行党史宣讲若要求高一年级安排2位教师，高二、高三年级各安排1位教师，则不同的安排方案种数为 12（结果用数字作答）解：根据题
14、意，要求高一年级安排2位教师，则高一有C426种安排方法；高二、高三年级各安排1位教师，则高二、高三年级有A222种安排方法，故有6212种不同的安排方法；故答案为：1213能够说明“设a，b，c是任意实数若cba，则abac”是假命题的一组整数a，b，c的值依次为 1，2，3解：“设a，b，c是任意实数若cba，则abac”是假命题的一组整数a，b，c的值依次为 a1，b2，c3故答案为：1，2，314已知函数f（x）lnxax+1，若a1，则f（x）的零点个数为 1；若f（x）有两个不同的零点，则a的取值范围是 0a1解：当a1时，f（x）lnxx+1，f（x）1，当0x1时，f（x）0，
15、f（x）单调递增，当x1时，f（x）0，f（x）单调递减，所以f（x）maxf（1）0，所以f（x）的零点个数为1，f（x）a，当a0时，f（x）0，f（x）单调递增，f（x）不会有两个零点，当a0时，令f（x）0，得0x，f（x）单调递增，令f（x）0，得x，f（x）单调递减，所以f（x）maxf（）lna+1ln，若f（x）有两个零点，则ln0，所以1，有a0，所以0a1，故答案为：1；0a115算筹是一根根同样长短和粗细的小棍子，是中国古代用来记数、列式和进行各种数与式演算的一种工具，是中国古代的一项伟大、重要的发明在算筹计数法中，以“纵式”和“横式”两种方式来表示数字，如表：12345
16、6789纵式横式用算筹计数法表示多位数时，个位用纵式，十位用横式，百位用纵式，千位用横式，以此类推，遇零则置空，则“”表示的三位数为 621；如果把5根算筹以适当的方式全部放入下面的表格中，那么可以表示能被5整除的三位数的个数为 12解：由题意，结合表格中的数据和图形，则“”表示的三位数为621；共有5根算筹，要能被5整除，则个位数必须为0或5，当个位数为5时，不符合题意；当个位数为0时，则5根算筹全部放在十位和百位，若百位有1根，十位4根，则共有122个三位数；若百位有2根，十位3根，则共有224个三位数；若百位有3根，十位有2根，则共有122个三位数；若百位有4根，十位有1根，则共有212
17、个三位数；若百位有5根，十位有0根，则共有2个三位数所以共有2+4+2+2+212个故答案为：621；12三、解答题共6小题，共85分解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程16已知（1+2x）5a0+a1x+a2x2+a3x3+a4x4+a5x5（1）求a0的值；（2）求a1+a3+a5的值解：（1）（1+2x）5a0+a1x+a2x2+a3x3+a4x4+a5x5，令x0，可得a01（2）由二项式定理，得1+10x+40x2+80x3+80x4+32x5因为，由可得a110，a380，a532所以a1+a3+a512217甲、乙两名同学分别与同一台智能机器人进行象棋比赛在一轮比赛中，如果甲单
18、独与机器人比赛，战胜机器人的概率为；如果乙单独与机器人比赛，战胜机器人的概率为（1）甲单独与机器人进行三轮比赛，求甲恰有两轮获胜的概率；（2）在甲、乙两人中任选一人与机器人进行一轮比赛，求战胜机器人的概率解：（1）设“甲恰有两轮获胜”为事件A，则；（2）设“选中甲与机器人比赛”为事件A1，“选中乙与机器人比赛”为事件A2，“战胜机器人”为事件B，根据题意得，则P（B）P（A1）P（B|A1）+P（A2）P（B|A2），所以战胜机器人的概率为18已知函数f（x）x3+3x2ax在x1处取得极值（1）求a的值；（2）求f（x）在区间4，4上的最大值和最小值解：（1）因为f（x）x3+3x2ax，所
19、以f（x）3x2+6xa因为f（x）在x1处取得极值，所以f（1）0，即3+6a0，解得a9经检验，符合题意（2）由（1）得f（x）x3+3x29x所以f（x）3x2+6x9令f（x）0，得4x3或1x4；令f（x）0，得3x1所以f（x）的单调递增区间为43），（1，4，单调递减区间为（3，1）所以f（x）的极大值为f（3）27，极小值为f（1）5又f（4）20，f（4）76，所以f（1）f（4）f（3）f（4）所以f（x）的最大值为76，最小值为519第七次全国人口普查公报显示，自2010年以来，我国大陆人口受教育水平明显提高，其中西部地区的人口受教育水平提升非常显著下面两表分别列出了20
20、10年和2020年东部地区和西部地区各省、自治区、直辖市（以下将省、自治区、直辖市简称为省份）15岁及以上人口平均受教育年限数据东部地区（单位：年）北京天津河北上海江苏浙江福建山东广东海南2020年12.611.39.811.810.29.89.79.810.410.12010年11.710.49.110.79.38.89.09.09.69.2西部地区（单位：年）重庆四川贵州云南西藏陕西甘肃青海宁夏新疆广西内蒙古2020年9.89.28.88.86.810.39.18.99.810.19.510.12010年8.88.47.77.85.39.48.27.98.89.38.89.2（1）从东部地
21、区任选1个省份，求该省份2020年15岁及以上人口平均受教育年限比2010年至少增加1年的概率；（2）从东部地区和西部地区所有2020年15岁及以上人口平均受教育年限比2010年至少增加1年的省份中任选2个，设X为选出的2个省份中来自西部地区的个数，求X的分布列和数学期望E（X）；（3）将上面表中西部地区各省份2020年和2010年15岁及以上人口平均受教育年限的方差分别记为s12，s22，试比较s12与s22的大小（只需写出结论）解：（1）东部地区共有10个省份，其中2020年15岁及以上人口平均受教育年限比2010年至少增加1年的有2个设“选取的省份2020年15岁及以上人口平均受教育年限
22、比2010年至少增加1年”为事件A，则P（A）（2）东部地区2020年15岁及以上人口平均受教育年限比2010年至少增加1年的有2个，西部地区2020年15岁及以上人口平均受教育年限比2010年至少增加1年的有6个，共8个则X的可能取值为0，1，2，所以X的分布列为X012P（3）20已知函数f（x）exax（1）讨论f（x）的单调区间；（2）对x（0，+），都有f（x）0恒成立，求a的取值范围解：（1）因为f（x）exax，所以f（x）exa当a0时，f（x）0，所以f（x）在（，+）上单调递增；当a0时，令f（x）0，得xlna；令f（x）0，得xlna，所以f（x）的单调递增区间是（ln
23、a，+），单调递减区间是（，lna）（2）由（1）知f（x）exa因为x（0，+），所以ex1当a1时，f（x）0所以f（x）在区间（0，+）上单调递增，于是f（x）f（0）10，所以a1符合题意当a1时，令f（x）0，得xlna；令f（x）0，得0xlna，所以f（x）在区间（lna，+）上单调递增，在区间（0，lna）上单调递减所以f（x）f（lna）aalna0，解得1ae综上，a的取值范围是（，e）21已知函数（1）求曲线yf（x）在点（0，f（0）处的切线方程；（2）设曲线yf（x）在点（t，f（t）（t1）处的切线与x轴、y轴分别交于A，B两点，求|AB|2的最小值解：（1）因为，所以因为f（0）2，所以曲线yf（x）在点（0，f（0）处的切线方程为y2x0，即yx+2（2）因为，所以曲线yf（x）在点（t，f（t）处的切线方程为令x0，得；令y0，得xt2，所以设，则令g（t）0，得；令g（t）0，得，所以g（t）在区间上单调递増，在区间上单调递减于是当时，g（t）有最小值为，故|AB|2有最小值为
