1、专练44 立体几何一、 单选题1用平面截棱长为1的正方体，所得的截面的周长记为，则当平面经过正方体的某条体对角线时，的最小值为ABCD解：假设截面过体对角线，（过其他体对角线结论一样）如图所示，因为一平面与两平行平面相交，交线平行，且，故四边形为平行四边形，设，则，为正数时，当且仅当时等号成立，当即时，取最小值为：，故选：2已知三棱雉的各条棱都相等，为的中点则与所成的角的余弦值为ABCD解：取的中点，连结，如图所示，设正四面体的棱长为2，在正三角形中，同理可得，因为，分别为，的中点，所以且，所以即为与所成的角，在中，由余弦定理可得，所以与所成的角的余弦值为故选：3在由三棱柱截得的几何体中，平面
2、，点，分别是棱，的中点若直线与所成角的余弦值为，则A1B2CD4解：几何体由三棱柱截得，故，因为平面，所以平面，又，故以点为坐标原点，建立空间直角坐标系如图所示，设，又，点，分别是棱，的中点，所以，故，因为直线与所成角的余弦值为，所以，解得，所以故选：4已知三棱锥中，是等腰直角三角形，三棱锥的体积为，则三棱锥外接球的表面积为ABCD解：设在底面上的投影为，过作，垂足为，因为是等腰直角三角形，所以，因为三棱锥的体积，所以，因为，所以在上，且，因为，过作平面，过作，垂足为，则球心在上，设，则，所以，所以，解得，则三棱锥外接球的表面积故选：5棱长为1的正方体中，点在线段上，（点异于、两点），线段的中
3、点为，若平面截该正方体所得的截面为四边形，则线段长度的取值范围为A，B，C，D，解：如图，设平面与直线交于点，因为是正方体，所以平面平面，而平面平面，平面平面，所以，则，所以，所以，要使平面截该正方体所得的截面为四边形，则需要点在线段上，当点在点处时，恰好在线段的中点处，因为点在线段上，所以，所以，则，即，所以，即的范围为，故选：6的三边长分别3、4、5，为所在平面外一点，令集合为所在平面外一点，且到三边所在直线的距离都是，则集合的子集个数为A2B4C8D16解：若在平面上的射影在的内部，可得射影为的内心，可得内切圆的半径为，存在两个点（平面的上下两侧）；若在平面上的射影在的外部，可得射影为的
4、旁心（三角形的外角平分线的交点）若与斜边相切，则旁切圆的半径大于3，不成立；若与边长为3的边相切，可得旁切圆的半径小于3，成立，且有两个点；若与边长为4的边相切，可得旁切圆的半径为，不成立综上可得，这样的点共有4个，则的子集个数为故选：7已知和是成角的两条异面直线，则过空间一点且与、都成角的直线共有A2条B3条C4条D无数条解：将直线，平移，使两直线经过点，如图所示，设直线，所成角的角平分线为，过点垂直于直线，所在平面的直线为，因为，所成角为，当直线经过点且直线在直线，所在平面内且垂直于直线，此时与直线，所成角均为；当直线在直线，所在平面内时，若绕着点旋转，此时与直线，所成角相等，且所成角从变
5、化到，再从变化到，所以此时满足条件的有2条综上所述，过空间定点与，成角的直线共有3条故选：8在三棱锥中，、分别为、的中点，且，则异面直线与所成角的余弦值为ABCD解：连结，如图所示，因为，又，平面，所以平面，又，平面，所以，又因为为的中点，所以，同理可得，又因为，所以和都是等边三角形，故，则三棱锥是正四面体，取的中点，连结，则，所以为直线与所成的角（或其补角），因为，所以，在中，由余弦定理可得，所以异面直线与所成角的余弦值为故选：二、 多选题9如图，正方形的边长为1，、分别为、的中点，将正方形沿对角线折起，使点不在平面内，则在翻折过程中，以下结论正确的是A异面直线与所成的角为定值B存在某个位置
6、，使得直线与直线垂直C三棱锥与体积之比值为定值D四面体的外接球体积为解：对于，取中点，连接，则，且，平面，异面直线与所成的角为，又，异面直线与所成的角为定值，故正确；对于，若直线与直线垂直，直线与直线也垂直，则直线平面，直线直线，又，平面，而是以和为腰长的等腰三角形，与题意不符，故错误；对于，分别为正方形的边、的中点，与面积比为，到面的距离与到面的距离之比为，三棱锥与体积之比值为定值，故正确；对于，外接球球心在中点，由题意解得外接球半径，四面体的外接球体积为，故正确故选：10如图，在正方体中，分别是棱，的中点，则下列结论正确的是A平面B平面C平面D平面解：设正方体的棱长为2，以为坐标原点，分别
7、以，所在直线为，轴建立空间直角坐标系，则，0，2，1，0，2，0，与不垂直，则平面错误，故错误；，有，平面，故正确；取中点，连接，可得，平面，平面，得平面，同理平面，又，平面平面，则平面，故正确；连接，可得，又，平面，平面，平面，故正确故选：11如图，矩形中，分别为边，的中点，将该矩形沿对角线折起，使平面平面，则以下结论正确的是A平面BCD三棱锥的体积为解：因为，分别为边，的中点，所以，又平面，平面，所以平面，故选项正确；作于点，连结，因为平面平面，平面平面，平面，所以平面，平面，故，因为，解得，设，由，解得，所以，故选项正确；建立空间直角坐标系如图所示，则，0，0，4，因为，所以，故，所以，
8、故，因为，故与不垂直，即与不垂直，故选项错误；三棱锥的体积为，故选项正确故选：12在正方体中，点是底面的中心，则A平面B与成角为CD平面解：在正方体中，点是底面的中心，对于，以为原点，为轴，为轴，为轴，建立空间直角坐标系，设正方体中棱长为2，则，0，1，2，0，2，1，0，设平面的法向量，则，取，得，且平面，平面，故正确；对于，1，与成角为，故正确；对于，1，故正确；对于，2，2，与不垂直，平面不成立，故错误故选：三、 填空题13已知平面，直线与所成角的正切值为，直线，直线，且和所成角为，那么与所成的角为解：如图，分别平移直线与，使得与交于，与交于，设在平面内的射影为，则，在内过作，垂足为，连
9、接，可得，直线与所成角的正切值为，且，直线与所成角的正切值为，即，设，则，可得，又和所成角为，又，可得，在中，可得，则即与所成角为，平面，而平面，则与所成角为故答案为：14如图，正方体的棱长为1，点在棱上，过的平面与平面平行，且与正方体各面相交得到截面多边形，则该截面多边形的周长为解：在平面中寻找与平面平行的直线时，只需要，如图所示，因为，故该截面与正方体的交点位于靠近，的三等分点处，故可得截面为，设正方体的棱长为，则，所以截面的周长为，又因为正方体的棱长为1，即，故截面多边形的周长为故答案为：15如图所示，在正方体中，点为线段的中点，点在线段上移动，异面直线与所成角最小时，其余弦值为解：以为原点，为轴，为轴，为轴，建立空间直角坐标系，设，则，0，2，0，2，异面直线与的夹角为，则，异面直线与所成角最小时，则最大，即时，故答案为：16三棱柱中，平面平面，是等腰直角三角形，则异面直线与所成角的余弦值为解：因为，所以，又因为是等腰直角三角形，所以，因为平面平面，又，平面平面所以平面，所以又，所以根据题意可知异面直线与所成角为，根据余弦定理得：，故异面直线与所成角的余弦值为故答案为：
