1、第九章解析几何第九节直线与圆锥曲线的综合问题第二课时最值、范围、证明问题A级基础过关|固根基|1.(2019年全国卷)已知F1，F2是椭圆C：1(ab0)的两个焦点，P为椭圆C上的点，O为坐标原点(1)若POF2为等边三角形，求椭圆C的离心率；(2)如果存在点P，使得PF1PF2，且F1PF2的面积等于16，求b的值和a的取值范围解：(1)连接PF1.由POF2为等边三角形可知在F1PF2中，F1PF290，|PF2|c，|PF1|c，于是2a|PF1|PF2|(1)c，故椭圆C的离心率为e1.(2)由题意可知，满足条件的点P(x，y)存在当且仅当|y|2c16，1，1，即由及a2b2c2得y
2、2.又由知y2，故b4.由及a2b2c2得x2(c2b2)，所以c2b2，从而a2b2c22b232，故a4.所以当b4，a4时，存在满足条件的点P.所以b4，a的取值范围为4，)2(2019年浙江卷)如图，已知点F(1，0)为抛物线y22px(p0)的焦点过点F的直线交抛物线于A，B两点，点C在抛物线上，使得ABC的重心G在x轴上，直线AC交x轴于点Q，且Q在点F的右侧记AFG，CQG的面积分别为S1，S2.(1)求p的值及抛物线的准线方程；(2)求的最小值及此时点G的坐标解：(1)由题意得，1，即p2，所以抛物线的准线方程为x1.(2)设A(xA，yA)，B(xB，yB)，C(xC，yC)
3、，重心G(xG，yG)令yA2t，t0，则xAt2.由于直线AB过点F，故直线AB的方程为xy1，代入y24x，得y2y40，故2tyB4，即yB，所以B.又xG(xAxBxC)，yG(yAyByC)及重心G在x轴上，所以2tyC0，得C，G.所以直线AC的方程为y2t2t(xt2)，得Q(t21，0)由于Q在焦点F的右侧，故t22，从而2.令mt22，则m0，2221.当m时，取得最小值1，此时G的坐标为(2，0).B级素养提升|练能力|3.如图，P是直线x4上一动点，以P为圆心的圆过定点B(1，0)，直线l是圆在点B处的切线，过A(1，0)作圆的两条切线分别与l交于E，F两点(1)求证：|
4、EA|EB|为定值；(2)设直线l交直线x4于点Q，证明：|EB|FQ|BF|EQ|.证明：(1)设AE切圆于M，直线x4与x轴的交点为N，则|EM|EB|，|EA|EB|AM|4.故|EA|EB|为定值(2)由(1)同理知|FA|FB|4，E，F均在椭圆1上由椭圆的对称性，不妨设直线EF的方程为xmy1(my2.则y1y2，y1y2.过E作EEx轴于E，过F作FFx轴于F，则|EE|y1，|FF|y2，设PQ交x轴于Q，则|QQ|.若|EB|FQ|BF|EQ|，则.又E，B，F，Q在同一条直线上，则，即；，即.由得，从而有y1y1y2y2y1y2，2y1y2(y1y2).将y1y2，y1y2
5、代入，知等式成立，|EB|FQ|BF|EQ|.4(2020届四川五校联考)已知抛物线E：y28x，直线l：ykx4.(1)若直线l与抛物线E相切，求直线l的方程；(2)设Q(4，0)，直线l与抛物线E交于不同的两点A(x1，y1)，B(x2，y2)，若存在点C满足|，且线段OC与AB互相平分(O为坐标原点)，求x2的取值范围解：(1)由得，k2x28(k1)x160，由题意知k0及64(k1)264k20，解得k，所以直线l的方程为yx4.(2)由得k2x28(k1)x160，因为64(k1)264k20，k0，所以k，且k0，所以x1x2，所以y1y2k(x1x2)8.因为线段OC与AB互相平分，所以四边形OACB为平行四边形，所以(x1x2，y1y2)，即C.由|得，ACQC，所以kACkQC1.又kQC，kACkOBk，所以1，所以k2.若k0，则222(1)，当且仅当k时取等号，此时0x24(1)综上，x2的取值范围为(0，4(1)
