1、第一讲 乘除法数字谜（一）专题简析：解决算式谜题，关键是找准突破口，推理时应注意以下几点：1.认真分析算式中所包含的数量关系，找出隐蔽条件，选择有特征的部分作出局部判断；2.利用列举和筛选相结合的方法，逐步排除不合理的数字；3.试验时，应借助估值的方法，以缩小所求数字的取值范围，达到快速而准确的目的；4.算式谜解出后，要验算一遍。例1.在下面的方框中填上合适的数字。分析：由积的末尾是0，可推出第二个因数的个位是5；由第二个因数的个位是5，并结合第一个因数与5相乘的积的情况考虑，可推出第一人个因数的百位是3；由第一个因数为376与积为310，可推出第二个因数的十数上是8。题中别的数字就容易填了。
2、练习一 第二讲 乘除法数字谜（二）例1.下面算式中的a、b、c、d这四个字母各代表什么数字？分析：因为四位数abcd乘9的积是四位数，可知a是1；d和9相乘的积的个位是1，可知d只能是9；因为第二个因数9与第一个因数百位上的数b相乘的积不能进位，所以b只能是0（1已经用过）；再由b0，可推知c8。练习二 第三讲 图形的个数例1.下面图形中有多少个正方形？分析：图中的正方形的个数可以分类数，如由一个小正方形组成的有6318个，22的正方形有5210个，33的正方形有414个。因此图中共有1810432个正方形。例2.下图中共有多少个三角形？分析：为了保证不漏数又不重复，我们可以分类来数三角形，然
3、后再把数出的各类三角形的个数相加。（1）图中共有6个小三角形；（2）由两个小三角形组合的三角形有3个；（3）由三个小三角形组合的三角形有4个；（4）由六个小三角形组合的三角形有1个。所以共有634114个三角形。练习三1.下图中共有多少个正方形？2.下图中共有多少个正方形？3.下图中共有多少个正方形，多少个三角形？4.下面图中共有多少个三角形？第四讲 找出数字的排列规律（一）找规律是我们在生活、学习、工作中经常使用的一种思想方法，在解数学题时人们也常常使用它，下面我们利用找规律的方法来解一些简单的数列问题。（一）思路指导例1.在下面数列的（）中填上适当的数。1，2，5，10，17，（），（），
4、50分析与解：这个数列从第二项起，每一项都等于它的前一项依次分别加上单数1，3，5，7，9，这样我们就可以由第五项算出括号内的数了，即：第一个括号里应填；第2个括号里应填。例2.自1开始，每隔两个整数写出一个整数，这样得到一个数列：1，4，7，10问：第100个数是多少？分析与解：第1项是1，第二项比第一项多3，第三项比第一项多2个3，第四项比第一项多3个3，依次类推，第100项就比第一项多99个3，所以第100个数是。由此我们可以得出这样的规律：等差数列的任一项都等于：第一项（这项的项数1）公差我们把这个公式叫做等差数列的通项公式。利用通项公式可以求出等差数列的任一项。练习四1.找规律填数：
5、（1）1，3，7，15，_；（2）l，4，13，40，121，_，_。2.按规律找出下面两列数里中应填写的数：（1）2，6，18，54，486，1458；（2）l，4，9，16，36，493.看规律填数：（l）0，3，7，12，_，25，33；（2）l，2，5，10，17，_，_，50。4. 按规律填数：（l）2，4，7，11，16，（2）3，5，9，17，33，65，5.按每组数的排列规律，填写最后一个数：（1）2，4，16，256，_；（2）12，19，33，61，117，_。6.数列5，8，11，14，17，的第25项是_，第100项是_。第五讲 找出数的排列规律（二）例3.已知一列数：
6、2，5，8，11，14，44，问：44是这列数中的第几个数？分析与解：显然这是一个等差数列，首项（第一项）是2，公差是3。我们观察数列中每一个数的项数与首项2，公差3之间有什么关系？以首项2为标准，第二项比2多1个3，第三项比首项多2个3，第四项比首项多3个3，44比首项2多42，多14个3，所以44应排在这个数列中的第15个数。由此可得，在等差数列中，每一项的项数都等于：（这一项首项）公差1这个公式叫做等差数列的项数公式，利用它可以求出等差数列中任意一项的项数。试试看：数列7，11，15，195，共有多少个数？练习五1.按规律填数：（1）3，5，9，17，_，65。（2）1，2，4，7，_，
7、16。2.数列2，9，16，23，30，135，中的135是这列数的第_个数。3.数列2，4，8，的第10项是_。4.数列7，11，15，19，23，119，共有_个数。5.下面一组数是按某种规律排列的，请你仔细观察，找出规律并在横线上填写适当的数：2，97，1，4，98，3，6，99，5，_，_，7，10，101，_，12，102，11，。第六讲 数列求和（一）专题简析：若干个数排成一列称为数列。数列中的每一个数称为一项。其中第一项称为首项，最后一项称为末项，数列中项的个数称为项数。从第二项开始，后项与其相邻的前项之差都相等的数列称为等差数列，后项与前项的差称为公差。通项公式：第n项首项（项
8、数1）公差项数公式：项数（末项首项）公差1例1.有一个数列：4，10，16，22，52，这个数列共有多少项？分析与解答：容易看出这是一个等差数列，公差为6，首项是4，末项是52，要求项数，可直接带入项数公式进行计算。项数（524）619，即这个数列共有9项。例2.有一等差数列：3，7，11，15，这个等差数列的第100项是多少？分析与解答：这个等差数列的首项是3，公差是4，项数是100。要求第100项，可根据“末项首项公差（项数1）”进行计算。第100项34（1001）399练习六1.等差数列中，首项1，末项39，公差2，这个等差数列共有多少项？2.有一个等差数列：2，5，8，11，101，这
9、个等差数列共有多少项？3.已知等差数列11，16，21，26，1001，这个等差数列共有多少项？4.一等差数列，首项3，公差2，项数10，它的末项是多少？5.求1，4，7，10这个等差数列的第30项。第七讲 数列求和（二）例3.有这样一个数列：1，2，3，4，99，100。请求出这个数列所有项的和。分析与解答：如果我们把1，2，3，4，99，100与列100，99，3，2，1相加，则得到（1100）（299）（398）（992）（1001），其中每个小括号内的两个数的和都是101，一共有100个101相加，所得的和就是所求数列的和的2倍，再除以2，就是所求数列的和。12399100（1100）
10、10025050上面的数列是一个等差数列，经研究发现，所有的等差数列都可以用下面的公式求和：等差数列总和（首项末项）项数2这个公式也叫做等差数列求和公式。例4.求等差数列2，4，6，48，50的和。分析与解答：这个数列是等差数列，我们可以用公式计算。要求这一数列的和，首先要求出项数是多少：项数（末项首项）公差1（502）2125首项2，末项50，项数25等差数列的和（250）252650练习七计算下面各题。1.12349502.67874753.100999861604.26101418225.51015201952006.9182736261270第八讲 数列求和（三）例5.计算（24610
11、0）（13599）分析与解答：容易发现，被减数与减数都是等差数列的和，因此，可以先分别求出它们各自的和，然后相减。进一步分析还可以发现，这两个数列其实是把1100这100个数分成了奇数与偶数两个等差数列，每个数列都有50个项。因此，我们也可以把这两个数列中的每一项分别对应相减，可得到50个差，再求出所有差的和。（246100）（13599）（21）（43）（65）（10099）111150练习八计算下面各题1.（2001199919971995）（2000199819961994）2.（2462000）（1351999）3.（2461998）（1351997）4.（135999）（246998
12、）5.（1351999）（2461998）第九讲 数阵图（一）专题简析：填“幻方”是同学们比较熟悉的一种数学游戏，由幻方演变出来的数阵问题，也是一类比较常见的填数问题。这里，和同学们讨论一些数阵的填法。解答数阵问题通常用两种方法：一是待定数法，二是试验法。待定数法就是先用字母（或符号）表示满足条件的数，通过分析、计算来确定这些字母（或符号）应具备的条件，为解答数阵问题提供方向。试验法就是根据题中所给条件选准突破口，确定填数的可能范围。把分析推理和试验法结合起来，再由填数的可能情况，确定应填的数。例1.把5、6、7、8、9五个数分别填入下图的五个方格里，如图a使横行三个数的和与竖行三个数的和都是
13、21。先把五格方格中的数用字母A、B、C、D、E来表示，根据题意可知：ABCDE35，AEBCED21242。把两式相比较可知，E42357，即中间填7。然后再根据5968便可把五个数填进方格，如图b。练习九1.把110各数填入“六一”的10个空格里，使在同一直线上的各数的和都是12。2.把19各数填入“七一”的9个空格里，使在同一直线上的各数的和都是13。3.将17七个自然数分别填入图中的圆圈里，使每条线上三个数的和相等。第十讲 数阵图（二）例2.将110这十个数填入下图小圆中，使每个大圆上六个数的和是30。分析：设中间两个圆中的数为a、b，则两个大圆的总和是12310ab302，即55ab
14、60，ab5。在110这十个数中145，235。当a和b是1和4时，每个大圆上另外四个数分别是（2，6，8，9）和（3，5，7，10）；当a和b是2和3时，每个大圆上另外四个数分别为（1，5，9，10）和（4，6，7，8）。例3.将16这六个数分别填入下图的圆中，使每条直线上三个圆内数的和相等、且最大。分析：设中间三个圆内的数是a、b、c。因为计算三条线上的和时，a、b、c都被计算了两次，根据题意可知：123456（abc）除以3没有余数。12345621，2137没有余数，那么abc的和除以3也应该没有余数。在16六个数中，只有456的和最大，且除以3没有余数，因此a、b、c分别为4、5、6
15、。练习十1.把18八个数分别填入下图的内，使每个大圆上五个内数的和相等。2.把110这十个数分别填入下图的内，使每个四边形顶点的内四个数的和都相等，且和最大。3.将16六个数分别填入下图的内，使每边上的三个内数的和相等。4.将19九个数分别填入下图内，使每边上四个内数的和都是17。第十一讲 合理安排专题简析：我们每天的生活、学习都离不开时间，但是你知道时间有大学问吗？合理地安排时间，往往会达到事半功倍的效果。科学地安排时间的方法，就叫做最佳安排。小朋友在进行最佳安排时，要考虑以下几个问题：（1）要做哪几件事：（2）做每件事需要的时间；（3）要弄清所做事的程序，即先做什么，后做什么，哪些事可以同
16、时做。在学习、生产和工作中，只有尽可能地节省时间、人力和物力，才能发挥出更大的效率。例1.明明早晨起来要完成以下几件事情：洗水壶1分钟，烧开水12分钟，把水灌入水瓶要2分钟，吃早点要8分钟，整理书包2分钟。应该怎样安排时间最少？最少要几分钟？思路导航：经验表明：能同时做的事尽量要同时去做，这样节省时间。水壶不洗，不能烧开水，因而洗水壶不能和烧开水同时进行；而吃早点和整理书包可以和烧开水同时进行。这一过程可用方框图表示：从图上可以看出，洗水壶要1分钟，接着烧开水要12分钟，在等水开的同时吃早点、整理书包，水开了就灌入水瓶，共需15分钟。练习十一1.红红早晨起来刷牙洗脸要4分钟，读书要8分钟，烧开
17、水要10分钟，冲牛奶1分钟，吃早饭5分钟。红红应怎样合理安排？起床多少分钟就能上学了？2.玲玲想给客人烧水沏茶。洗水壶要2分钟，烧开水要12分钟，买茶叶5分钟，洗茶杯要1分钟，冲茶要1分钟。要让客人尽早喝上茶，你认为最合理的安排需要多少分钟客人就能喝上茶了？3.用一个平底锅烙饼，锅上只能同时放两个饼。烙第一面需要2分钟，烙第二面需要1分钟。现在在烙三个饼，最少需要多少分钟？4.烤面包的架子上一次最多只能放两个面包，烤一个面包每面需要2分钟，那么烤三个面包最少需要多少分钟？第十二讲 最大与最小专题简析：在日常生活中，人们常常会遇到“路程最近”、“费用最省”、“面积最大”、“损耗最少”等问题，这些
18、寻求极端结果或讨论怎样实现这些极端情形的问题，最终都可以归结成为：在一定范围内求最大值或最小值的问题，我们称这些问题为“最大最小问题”。解答最大最小问题通常要用下面的方法：1.枚举比较法。当题中给定的范围较小时，我们可以将可能出现的情形一一举出再比较；2.着眼于极端情形，即充分运动已有知识和生活常识，一下子从“极端”情形入手，缩短解题过程。例1.把1、2、3、16分别填进图中16个三角形里，使每边上7个小三角形内数的和相等。问这个和最大值是多少？分析：为了方便描述，我们把图中部分三角形注上字母，从图中可以看出：中心处D中填的数和三条边上的和没有关系，因此，应填最小的数1。而三个角上的a、b、c
19、六个三角形中的数都被用过两次，所以要尽可能填大数，即填1116。然后根据“三角形三边上7个小三角形内数的和相等”这一条件，就可以计算出这个和的最大值了。（23416111213141516）372练习十二1.将1、2、3、4、5、6六个数分别填入圆圈内，使三角形每条边上的和相等，这个和最大是多少？2.将5、6、7、8、9、10六个数分别填入圆圈内，使三角形每条边上的和相等，这个和最大是多少？3.把8分别填入下图圆圈内，使每个大圆上的五个数的和相等，并且最大。4.把29分别填入下图圆圈内，使每个大圆上的五个数的和相等，并且最大。第十三讲 长方形面积（一）专题简析：我们已经学会了计算长方形、正方形
20、的面积，知道长方形的面积长宽，正方形的面积边长边长。利用这些知识我们能解决许多有关面积的问题。在解答比较复杂的关于长方形、正方形的面积计算的问题时，生搬硬套公式往往不能奏效，可以添加辅助线或运用割补、转化等解题技巧。因此，敏锐的观察力和灵活的思维在解题中十分重要。例1.把一张长为4米，宽为3米的长方形木板，剪成一个面积最大的正方形。这个正方形木板的面积是多少平方米？思路导航：要使剪成的正方形面积最大，就要使它的边长最长（如图），那么只能选原来的长方形宽为边长，即正方形的边长是3米。正方形的面积：339米。例2.学校里有一个正方形花坛，四周种了一圈绿篱，绿篱总长20米。花坛的面积是多少平方米？思
21、路导航：要求正方形花坛的面积，必须知道花坛的边长是多少。根据绿篱总长是20米，可求出花坛的边长为2045米，所以花坛的面积是：5525平方米。练习十三1.把一张长6厘米，宽4厘米的长方形纸剪成一个面积最大的正方形，这张正方形纸的面积是多少平方厘米？2.把一块长2米、宽6分米的长方形铁板切割成一个面积最大的正方形，这个正方形铁板的面积是多少？3.将一张长10厘米、宽8厘米的长方形纸片剪成一个面积最大的正方形，那么剪下的另一个小长方形的面积是多少？4.一个正方形的周长为36厘米，那么这个正方形的面积是多少平方厘米？第十四讲 长方形面积（二）例3.求下面图形的面积。（单位：厘米）思路导航：这个图形无法直接求出它的面积，我们可以画一条辅助线，将这个图形分割成两个长方形。如下图：从图上可以看出，左边长方形的长为4厘米，宽为2厘米，面积为428平方厘米；右边长方形的长为3厘米，宽为1厘米，面积为313平方厘米。所以，这个图形的面积为：8311平方厘米。想一想：这道题还可以怎样画辅助线，分割后求面积呢？练习十四1.运动场有一个正方形的游泳池，在游泳池四周粘上瓷砖，瓷砖总长400米，求游泳池的面积是多少平方米。2.在公园里有两个花圃，它们的周长相等。其中长方形花圃长40米，宽20米，求另一个正方形花圃的面积。3.计算下面图形的面积。（单位：厘米）
