1、及其标准方程南郑中学张建军 生活中的椭圆汽车标志飞船的运行轨道相 框玉 石北宋天青无文椭圆水仙盆思考1将细绳的两端拉开一段距离，分别固定在不同的两点F1，F2处，并用笔尖拉紧绳子，再移动笔尖一周，这时笔尖画出的轨迹是什么图形呢？数学实验认真观察作图过程，回答下面的两个问题：o 1.视笔尖为动点（M），两个图钉为定点（F1，F2），动点到两个定点的距离之和符合什么条件时其轨迹为椭圆？o 2.请给椭圆下个定义。思考2在画椭圆的过程中，(1)细绳的两端的位置是固定的还是运动的？固定的.(2)绳子的长度变了没有？为什么要拉紧绳子？没变化.保持笔尖到两定点的距离和不变.(3)绳子长度与两定点距离大小有怎
2、样的关系？三点M，F1，F2不共线时，构成三角形，两边之和大于第三边长，可见绳子长度大于两定点距离.椭圆的定义：椭圆的定义的符号表示：我们把平面内到两个定点F1，F2的距离之和_（大于|F1F2|）的点的集合叫作椭圆.这两个_叫作椭圆的焦点，两个焦点F1，F2间的距离叫作椭圆的_.等于常数定点焦距思考3 椭圆定义中为什么要求常数大于|F1F2|(即2a2c)？当|MF1|+|MF2|=2a|F1F2|时动点M的轨迹才是椭圆.用定义判断下列动点M的轨迹是否为椭圆。(1)到F1(-2,0)、F2(2,0)的距离之和为6的点的轨迹。(2)到F1(0,-2)、F2(0,2)的距离之和为4的点的轨迹。(
3、3)到F1(-2,0)、F2(2,0)的距离之和为3的点的轨迹。解(1)因|MF1|+|MF2|=6|F1F2|=4，故点M的轨迹为椭圆。(2)因|MF1|+|MF2|=4=|F1F2|=4，故点M的轨迹不是椭圆(是线段F1F2)。跟踪训练(3)因|MF1|+|MF2|=3|F1F2|=4，故点M的轨迹不存在。(1)建系设点：以线段F1F2中点为坐标原点，F1F2所在直线为x轴，建立平面直角坐标系，设椭圆上任意一点为M（x,y）,则F1(-c,0)，F2(c,0)。下面如何化简?（2）写等式：（3）等式坐标化：（4）化简：F1F2M0 xy椭圆的标准方程设M（x,y)是椭圆上任意一点，由椭圆的
4、定义，椭圆上的点M 满足因为所以移项后两边平方、整理，得上式两边平方、整理，得即由椭圆定义可知所以令其中代入上式，得这说明椭圆上点的坐标满足以上方程.我们还可以证明，这个方程每一组解对应的点都在椭圆上.抽象概括：椭圆上任意一点的坐标都是方程的解；都在椭圆上.以方程的解为坐标的点我们将方程叫作椭圆的标准方程，焦点坐标是如果椭圆的焦点在y轴上，如图，其焦点坐标为用同样的方法可以推出它的标准方程为其中yOxF1F2M(0,-c)(0,c)OxyF1F2M(-c,0)(c,0)思考1 如何用几何图形解释在椭圆中分别表示哪些线段的长？在直角三角形OMF2中，由勾股定理得=a2-c2=b2,如图，点M是椭
5、圆与y轴的交点，此时可见，思考2当a为定值时，椭圆形状的变化与c有怎样的关系？OxyF1F2M(-c,0)(c,0)如图，即可见，当a为定值时，随c的增大，b减小，椭圆变扁；随c的减小，b增大，椭圆越接近于圆.例1 已知B,C是两个定点，且的周长等于18，求顶点A满足的轨迹方程.解:由已知得由定义可知点A的轨迹是一个椭圆，且即所以如图，建立平面直角坐标系，使x轴经过B,C两点，原点O为BC的中点.当点A在直线BC上，即y=0时，A，B，C三点不能构成三角形，因此,点A满足的轨迹方程是提醒：求点的轨迹问题，要结合具体的情况剔除不满足条件的点.B C A点A不能在x轴上例2:求满足下列条件的椭圆的
6、标准方程：(1)两个焦点的坐标分别是（-3,0），（3,0），椭圆上一点P到两焦点的距离之和等于10.解:因为椭圆的焦点在x轴上，所以设椭圆的标准方程为由题意，所以所求椭圆的标准方程为(2)过点且与椭圆有相同的焦点.设所求椭圆的标准方程为解：因为所求的椭圆与椭圆的焦点相同，所以其焦点在x轴上，且所以有因为所求的椭圆过点又因为由 得所求椭圆的标准方程为【提升总结】1、求椭圆标准方程的解题步骤：（1）确定焦点的位置.（2）设出椭圆的标准方程.（3）用待定系数法确定a，b的值，写出椭圆的标准方程.2.判断椭圆标准方程的焦点在哪个轴上的准则：焦点在分母大的那个轴上。1.动点P到两定点F1(-4,0)，F2(4,0)的距离和是8，则动点P的轨迹为（）A.椭圆B.线段F1F2 C.直线F1F2 D.无轨迹B2.已知椭圆的标准方程为,则焦点坐标为()A.(1,0)B.(0,1)C.(1,0)D.(0,1)解析：由标准方程得a2=4,b2=3,所以c2=a2-b2=1，所以焦点坐标为(1,0).C3.课本29页练习题分母哪个大，焦点就在哪个轴上平面内到两个定点F1，F2的距离之和等于常数（大于|F1F2|）的点的集合标准方程不同点相同点图 形焦点坐标定义a,b,c 的关系焦点位置的判断xyF1F2MOxyF1F2MOxyF1F2MO
