1、山东日照市2019届高三上学期期中考试试题（数学理）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1.集合，则A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】分别计算出集合、，然后计算出【详解】则故选【点睛】本题主要考查了集合的交集及其运算，属于基础题。2.命题，；命题，则下列命题中为真命题的是（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】试题分析：，所以命题为真命题；因为，所以命题是假命题。所以是真命题.考点：命题与简易逻辑3.已知向量满足A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】由条件易知，对目标平方可得结果.【详解】由
2、已知得，又故选：C.【点睛】平面向量的数量积计算问题，往往有两种形式，一是利用数量积的定义式，二是利用数量积的坐标运算公式，涉及几何图形的问题，先建立适当的平面直角坐标系，可起到化繁为简的妙用. 利用向量夹角公式、模公式及向量垂直的充要条件，可将有关角度问题、线段长问题及垂直问题转化为向量的数量积来解决列出方程组求解未知数.4.函数的定义域为A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】根据函数成立的条件即可求函数的定义域【详解】要使有意义，需满足：解得：函数的定义域为故选：A【点睛】本题主要考查函数定义域的求解，要求熟练掌握常见函数成立的条件5.将函数的图象向左平移个单位，所得的图象所对
3、应的函数解析式是（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】将函数的图象向左平移个单位，得到函数的图象,所求函数的解析式为，故选B.6.已知 ，则 A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】由利用三角函数的诱导公式可得,然后根据二倍角余弦公式求解即可.【详解】，故选C.【点睛】三角函数求值有三类，(1)“给角求值”；(2)“给值求值”：给出某些角的三角函数式的值，求另外一些角的三角函数值，解题关键在于“变角”，使其角相同或具有某种关系(3)“给值求角”：实质是转化为“给值求值”，先求角的某一函数值，再求角的范围，确定角7.已知的A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件C. 充
4、要条件 D. 既不充分也不必要条件【答案】C【解析】【分析】结合指数的运算性质，可知是等价的.【详解】由或 或 ,所以是的充要条件.故选：C【点睛】判断充要条件的方法是：若pq为真命题且qp为假命题，则命题p是命题q的充分不必要条件；若pq为假命题且qp为真命题，则命题p是命题q的必要不充分条件；若pq为真命题且qp为真命题，则命题p是命题q的充要条件；若pq为假命题且qp为假命题，则命题p是命题q的即不充分也不必要条件判断命题p与命题q所表示的范围，再根据“谁大谁必要，谁小谁充分”的原则，判断命题p与命题q的关系8.若，定义在上的奇函数满足:对任意的且都有，则的大小顺序为（ ）A. B. C
5、. D. 【答案】B【解析】由题意，在上单调递减，又，所以，所以，故选B。9.“中国剩余定理”又称“孙子定理”.1852年，英国来华传教士伟烈亚力将孙子算经中“物不知数”问题的解法传至欧洲.1874年，英国数学家马西森指出此法复合1801年由高斯得到的关于问余式解法的一般性定理，因而西方称之为“中国剩余定理”.“中国剩余定理”讲的是一个关于整除的问题，现有这样一个整除问题：将到这个数中，能被除余且被除余的数按从小到大的顺序排成一列，构成数列，则此数列共有（ ）A. 项 B. 项 C. 项 D. 项【答案】B【解析】能被3除余1且被7除余1的数就只能被21除余1的数，故，由得，故此数列的项数为9
6、7.故选B.10.函数的图象大致是 ( )A. B. C. D. 【答案】A【解析】因为 ，所以舍去B,D;当时， 所以舍C，选A.点睛：有关函数图象识别问题的常见题型及解题思路(1)由解析式确定函数图象的判断技巧：（1）由函数的定义域，判断图象左右的位置，由函数的值域，判断图象的上下位置；由函数的单调性，判断图象的变化趋势；由函数的奇偶性，判断图象的对称性；由函数的周期性，判断图象的循环往复(2)由实际情景探究函数图象关键是将问题转化为熟悉的数学问题求解，要注意实际问题中的定义域问题11.己知函数，若函数恰有4个零点，则实数a的取值范围为A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】作出
7、y=|f（x）|的函数图象，根据|f（x）|=a有4个零点得出a的范围【详解】恰有个零点，与有个交点，作出与的函数图象如图所示：或故选：D【点睛】函数零点的求解与判断(1)直接求零点：令，如果能求出解，则有几个解就有几个零点；(2)零点存在性定理：利用定理不仅要函数在区间上是连续不断的曲线，且，还必须结合函数的图象与性质(如单调性、奇偶性)才能确定函数有多少个零点；(3)利用图象交点的个数：将函数变形为两个函数的差，画两个函数的图象，看其交点的横坐标有几个不同的值，就有几个不同的零点12.已知函数，对xR恒有，且在区间上有且只有一个的最大值为A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】利
8、用的对称性与最值得到，然后逐一检验是否适合题意即可.【详解】由题意知，,则，k ，其中k =，故与同为奇数或同为偶数.在上有且只有一个最大，且要求最大，则区间包含的周期应该最多，所以，得，即，所以.当时，为奇数，此时，当或6.5时，都成立，舍去；当时，为偶数，此时，当或4.5时，都成立，舍去；当时，为奇数，此时，当且仅当时，成立.综上所述，最大值为.故选：B【点睛】本题考查正弦型函数的图象与性质，涉及到对称性、最值、周期、零点等问题，综合型较强，考查学生的逻辑思维能力与计算能力.二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分。13.己知点，则实数的值为_【答案】2【解析】【分析】利用向量平行
9、的坐标形式得到结果.【详解】,，故答案为：2【点睛】涉及平面向量的共线（平行）的判定问题主要有以下两种思路：（1）若且，则存在实数，使成立；（2）若，且，则.14.已知实数满足约束条件的最小值为_【答案】【解析】【分析】由约束条件作出可行域，化目标函数为直线方程的斜截式，数形结合得到最优解，联立方程组求得最优解的坐标，代入目标函数得答案【详解】由实数满足约束条件作出可行域如图，联立，解得，化目标函数为，由图可知，当直线过时，直线在轴上的截距最小，有最小值为故答案为：【点睛】解决线性规划问题的实质是把代数问题几何化，即数形结合思想.需要注意的是：一，准确无误地作出可行域;二，画目标函数所对应的直
10、线时，要注意让其斜率与约束条件中的直线的斜率进行比较，避免出错;三，一般情况下，目标函数的最大值或最小值会在可行域的端点或边界上取得.15.学校艺术节对同一类的A，B，C，D四项参赛作品，只评一项一等奖，在评奖揭晓前，甲、乙、丙、丁四位同学对这四项参赛作品预测如下：甲说：“是C或D作品获得一等奖”；乙说：“B作品获得一等奖”；丙说：“A，D两项作品未获得一等奖”；丁说：“是C作品获得一等奖”若这四位同学中只有两位说的话是对的，则获得一等奖的作品是_【答案】B.【解析】分析: 根据题意，依次假设参赛的作品为A、B、C、D，判断甲、乙、丙、丁的说法的正确性，即可判断详解: 根据题意，A，B，C，D
11、作品进行评奖，只评一项一等奖，假设参赛的作品A为一等奖，则甲、乙、丙、丁的说法都错误，不符合题意；假设参赛的作品B为一等奖，则甲、丁的说法都错误，乙、丙的说法正确，符合题意；假设参赛的作品C为一等奖，则乙的说法都错误，甲、丙、丁的说法正确，不符合题意；假设参赛的作品D为一等奖，则乙、丙、丁的说法都错误，甲的说法正确，不符合题意；故获得参赛的作品B为一等奖；故答案为：B点睛: (1)本题主要考查推理证明,意在考查学生对这些知识的掌握水平和分析推理能力.(2)类似这种题目，一般利用假设验证法.16.定义在R上的奇函数在区间上单调递减，且，则不等式的解集是_【答案】.【解析】【分析】由奇函数在区间上
12、单调递减，且，可得在区间上，在上，从而可得在区间上，在上，又由或，解不等式即可得结果.【详解】由奇函数在区间上单调递减，且，可得在区间上，在上，又由函数为奇函数，则在区间上，在上，或，即或，解可得或，即的取值范围为,故答案为.【点睛】本题主要考查抽象函数的奇偶性与单调性的应用，属于难题.将奇偶性与单调性综合考查一直是命题的热点，解这种题型往往是根据函数在所给区间上的单调性，根据奇偶性判断出函数在对称区间上的单调性(偶函数在对称区间上单调性相反，奇函数在对称区间单调性相同)，然后再根据单调性列不等式求解.三、解答题：共70分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。17.在锐角中，角A，B，C所
13、对的边分别为a，b，c，且满足(1)求角C；(2)若 ，求 的面积【答案】（1）（2）【解析】【分析】(1)由,利用正弦定理，结合可得,结合是锐角三角形可得结果；(2)由余弦定理可得：代入,化简求出，再根据三角形的面积公式计箅即可得出结果.【详解】（1）由正弦定理得：，因为，所以， 又因为，故. （2）由余弦定理得，因为，所以有，解得，或（舍去）. 所以.【点睛】解三角形时，有时可用正弦定理，有时也可用余弦定理，应注意用哪一个定理更方便、简捷如果式子中含有角的余弦或边的二次式，要考虑用余弦定理；如果遇到的式子中含有角的正弦或边的一次式时，则考虑用正弦定理；以上特征都不明显时，则要考虑两个定理都
14、有可能用到18.己知函数(1)若函数的图象在点处的切线方程为，求的单调区间；(2)若函数在为增函数，求实数k的取值范围【答案】（1）见解析；（2）【解析】【分析】（1）求出函数的导数，利用导数的几何意义确定k的取值，即可求f（x）的单调区间；（2）根据函数单调性和导数之间的关系，转化为导数恒成立问题，即可求实数k的取值范围【详解】（1） ，可知，得， 所以,的定义域是，故由得，由得， 所以函数的单调增区间是单调减区间是. （2）函数的定义域为，要使函数在其定义域内为单调增函数，只需在区间恒成立.即在区间恒成立. 即在区间恒成立. 令，当且仅当时取等号，所以 .实数的取值范围.【点睛】本题主要考
15、查导数的应用，要求熟练掌握导数的几何意义以及利用导数研究函数的单调性问题19.己知数列是递增的等差数列，是方程的两根(1)求数列的通项公式；(2)求数列的前n项和【答案】（1）；（2）【解析】【分析】（1）由题意得，利用等差数列性质即可得到数列的通项公式；（2）由（1）知，利用错位相减法即可得到结果.【详解】（1）方程的两根为，由题意得 设数列的公差为，则，故，从而所以数列的通项公式为 （2）设的前项的和为由（1）知， 两式相减得，所以.【点睛】用错位相减法求和应注意的问题(1)要善于识别题目类型，特别是等比数列公比为负数的情形；(2)在写出“Sn”与“qSn”的表达式时应特别注意将两式“错项
16、对齐”以便下一步准确写出“SnqSn”的表达式；20.己知(1)判断函数的单调性，并证明；(2)若函数恰好在上取负值，求a的值【答案】（1）见解析；（2）【解析】【分析】（1）令logax=t，得x=at，代入即可得到f（t）的解析式，即为f（x）的解析式，再由导数的符号和分类讨论，即可得到f（x）的单调性；（2）由题意结合f（x）的单调性，可得f（2）4=0，解方程即可得到所求值【详解】（1）证明：令，得，所以，即，求导得 ， 若，则，所以，又始终大于，单调递增；若，则，所以，单调递增综上，在上单调递增 （2）因为是上的增函数，函数恰好在上取负值，由，得，要使的值恰为负数，则， 即，变形得，
17、即为，解得【点睛】求函数的单调区间时，常常通过求导，转化为解方程或不等式，解题时常用到分类讨论思想，分类时要根据参数的特点选择合适的标准进行分类。求函数的极值时要根据函数的单调性去解，注意导函数的零点与函数极值点之间的关系，不要将导函数的零点与极值点混为一谈。利用单调性证明不等式或比较大小时，常用构造函数的方法进行求解。构造时要根据所证不等式的特点并选择适当的变量构造出函数，再根据函数的单调性证明。21.习近平指出：“绿水青山就是金山银山”某市一乡镇响应号召，因地制宜的将该镇打造成“生态水果特色小镇”调研过程中发现：某珍稀水果树的单株产量W(单位：千克)与肥料费用10x(单位：元)满足如下关系
18、：其它成本投入(如培育管理、施肥等人工费)20x元已知这种水果的市场售价大约为15元千克，且供不应求记该单株水果树获得的利润为 (单位：元)(1)求的函数关系式；(2)当投入的肥料费用为多少时，该单株水果树获得的利润最大?最大利润是多少?【答案】（1）（2）当投入的肥料费用为元时，种植该果树获得的最大利润是元【解析】【分析】(1)根据题意可得，分两种情况讨论化为分段函数即可；(2)根据分段函数的解析式，分别利用二次函数的性质以及基本不等式求出两段函数的最值，从而可求出最大利润.【详解】（1）由已知 （2）由（1） 当时，； 当时， ，当且仅当时，即时等号成立 因为，所以当时，答：当投入的肥料费
19、用为元时，种植该果树获得的最大利润是元【点睛】本题主要考查阅读能力及建模能力、分段函数的解析式，属于难题.与实际应用相结合的题型也是高考命题的动向，这类问题的特点是通过现实生活的事例考查书本知识，解决这类问题的关键是耐心读题、仔细理解题，只有吃透题意，才能将实际问题转化为数学模型进行解答.理解本题题意的关键是构造分段函数，构造分段函数时，做到分段合理、不重不漏，分段函数的最值是各段的最大(最小)者的最大者(最小者).22.己知函数(1)证明：当恒成立；(2)若函数恰有一个零点，求实数的取值范围【答案】（1）见解析；（2）或【解析】【分析】（1）令，要证在上恒成立，只需证，；（2）函数，定义域为
20、，对a分类讨论，研究函数的单调性及最值，以确定图象与x轴的交点情况.【详解】（1）证明：令，要证在上恒成立，只需证，因为，所以.令，则，因为，所以，所以在上单调递增， 所以，即，因为，所以，所以，所以在上单调递增，所以，故在上恒成立. （2）函数，定义域为，当时，无零点.当时，所以在上单调递增，取，则，（或：因为且时，所以）因为，所以，此时函数有一个零点 当时，令，解得当时，所以在上单调递减；当时，所以在上单调递增所以 .若，即时，取，即函数在区间上存在一个零点；当时，因为，所以，则有，必然存在 ，使得，即函数在区间存在一个零点；故当时，函数在上有两个零点，不符合题意.11分所以当时，要使函数有一个零点，必有，即综上所述，若函数恰有一个零点，则或.【点睛】已知函数有零点求参数取值范围常用的方法和思路(1)直接法：直接根据题设条件构建关于参数的不等式，再通过解不等式确定参数范围；(2)分离参数法：先将参数分离，转化成求函数值域问题加以解决；(3)数形结合法：先对解析式变形，在同一平面直角坐标系中，画出函数的图象，然后数形结合求解
