1、直接证明与间接证明1理解综合法和分析法的概念及区别，能熟练地运用它们证题2理解反证法的概念，掌握反证法的证题步骤 知识梳理1综合法一般地，利用已知条件和某些数学定义、定理、公理等，经过一系列的推理论证，最后推导出所要证明的结论成立，这种证明方法叫做综合法综合法是由已知推导出未知的证明方法，又叫顺推证法或由因导果法可用框图表示为：其中，P表示已知条件、已有的定义、定理、公理等，Q表示所要证明的结论2分析法从要证明的结论出发，逐步寻求使它成立的充分条件，直至最后，要把证明的结论归结为判定一个明显成立的条件(已知条件、定义、定理、公理等)这种证明的方法叫做分析法分析法又叫逆推法或执果索因法用Q表示要
2、证明的结论，则分析法可用框图表示为： 3反证法一般地，假设原命题的结论不成立，经过正确的推理，最后得出矛盾，因此说明假设错误，从而证明了原命题成立，这样的证明方法叫做反证法 热身练习1下面的两个不等式：a2b2c2abbcca；22.其中恒成立的有(C)A只有 B只有 C和 D和都不成立 成立用综合法证明：a2b22ab，b2c22bc，c2a22ca，三式相加除2即得；成立用分析法证明：要证22，只需证(2)2(2)2，即证114114，即证，即证67，而60，b0，则有(B)A.2ba B.2baC.0，即比较b2与2aba2的大小，因为a2b22ab，所以b22aba2，从而2ba.4用
3、反证法证明命题“设a，b为实数，则方程x3axb0至少有一个实根”时，要作的反设是(A)A方程x3axb0没有实根B方程x3axb0至多有一个实根 C方程x3axb0至多有两个实根D方程x3axb0恰好有两个实根 “方程x3axb0至少有一个实根” “方程x3axb0的实根个数大于或等于1”，因此，要作的反设是方程x3axb0没有实根5已知函数f(x)在(，)上是减函数，则方程f(x)0的根的情况为(A)A至多有一个实根 B至少有一个实根C有且只有一个实根 D无实根 假设方程有两个实根x1，x2，不妨设x1f(x2)，矛盾，故假设不成立，所以方程至多有一个实根 综合法在ABC中，三个内角A，B
4、，C的对边分别为a，b，c，且A，B，C 成等差数列，a，b，c成等比数列，求证：ABC为等边三角形 由A，B，C成等差数列，有2BAC.因为A，B，C为ABC的内角，所以ABC.由，得B.由a，b，c成等比数列，有b2ac，由余弦定理，可得b2a2c22accos Ba2c2ac.再由，得a2c2acac.即(ac)20，因此ac，从而有AC.所以ABC.所以ABC为等边三角形 综合法又叫顺推法，或者由因导果法，是数学中最常用的证明方法1(2018山东聊城模拟)当定义域为0,1的函数f(x)同时满足以下三个条件时，称f(x)为“友谊函数”：(1)对任意的x0,1，总有f(x)0；(2)f(1
5、)1；(3)若x10，x20且x1x21，则有f(x1x2)f(x1)f(x2)成立则下列判断正确的是.(填序号)若f(x)为“友谊函数”，则f(0)0；函数g(x)x在区间0,1上是“友谊函数”；若f(x)为“友谊函数”，且0x1x21，则f(x1)f(x2) 已知f(x)为“友谊函数”，取x1x20，得f(0)f(0)f(0)，即f(0)0，又f(0)0，所以f(0)0，故正确函数g(x)x在区间0,1上满足：g(x)0；g(1)1.若x10，x20且x1x21，则有g(x1x2)g(x1)g(x2)(x1x2)(x1x2)0，满足条件(3)故g(x)x满足条件(1)，(2)，(3)，所以
6、g(x)x在区间0,1上是“友谊函数”，故正确因为f(x)为“友谊函数”，0x1x21，则0be(其中e是自然对数的底数)，求证：baab. 因为ba0，ab0，所以要证baab，只需证aln bbln a，只需证.记f(x)，因为f(x)，所以当xe时，f(x)be时，有f(b)f(a)，即.故原不等式成立 反证法设an是公比为q的等比数列(1)推导an的前n项和公式；(2)设q1，证明数列an1不是等比数列 (1)设an的前n项和为Sn，当q1时，Snna1；当q1时，Sna1a1qa1qn1，qSna1qa1q2a1qn，得，(1q)Sna1a1qn，所以Sn.所以Sn(2)证明：假设a
7、n1是等比数列，则对任意的kN*，(ak11)2(ak1)(ak21)，a2ak11akak2akak21，aq2k2a1qka1qk1a1qk1a1qk1a1qk1，因为a10，所以2qkqk1qk1，又q0，所以q22q10，所以q1.这与已知矛盾故假设不成立，故an1不是等比数列 (1)当遇到“否定性”“唯一性”“无限性”“至多”“至少”等类型的命题时，常用反证法(2)用反证法的一般步骤：反设 否定结论；归谬推导矛盾；结论结论成立3已知数列an的前n项的和为Sn，且满足anSn2.(1)求数列an的通项公式；(2)求证：数列an中不存在三项按原来顺序成等差数列 (1)当n1时，a1S12
8、a12，所以a11，又anSn2，所以an1Sn12，两式相减，得an1an，所以an是首项为1，公比为的等比数列，所以an.(2)证明：(反证法)假设存在三项按原来顺序成等差数列，记为ap1，aq1，ar1(pqr，且p，q，rN*)，则2，所以22rq2rp1.(*)又因为pqr，p，q，rR，所以rq，rpN*，所以(*)式左边是偶函数，右边是奇数，等式不成立所以假设不成立，故原命题成立1数学证明常用的方法有直接法和间接法综合法和分析法是直接证明的常用方法，也是解决数学问题的常用思维方式当数学问题直接证明比较困难或直接证明无法进行时，可以采用间接证明，间接证明最主要的方法是反证法2解决数学问题时常将分析法和综合法联合使用，即“由已知看可知，由所求看需知”，从而达到条件与结论的沟通分析法一般用于解决问题思路方面的探求，综合法表述简洁，规范因此，可用分析法寻找解题思路，用综合法书写解题过程3用反证法证明数学命题一般步骤：(1)分清命题的条件和结论；(2)假设命题的结论不成立，即假设结论的反面成立；(3)从这个假设出发，经过正确的推理论证，得出矛盾；(4)由矛盾判定假设不正确，从而肯定命题的结论正确
