1、 最新考纲解读 1理解极大值、极小值、最大值、最小值的概念 2并会用导数求多项式函数的单调区间、极大值、极小值及闭区间上的最大值和最小值 3会利用导数求某些简单实际问题的最大值和最小值 高考考查命题趋势 导数是中学选修内容中重要的知识，近几年高考对导数的考查每年都有而且近年有加强的趋势，预测2011年对本模块的考查为：1还会有一大一小的试题，小题主要考查导数概念及求函数的导数、导数的几何意义、导数的简单应用大题考查运用导数研究函数的单调性、极值或最值问题 2仍可能以函数为背景，以导数作工具，在函数、不等式、解析几何等知识网络的交汇点命题 1.函数的单调性：设函数yf(x)在某个区间内可导，如果
2、f(x)0时，则函数yf(x)为这个区间上的增函数；如果 f(x)0，解集在定义域内的部分为增区间；(4)解不等式f(x)0，解集在定义域内的部分为减区间 3函数的极值的概念：设函数f(x)在点x0附近有定义，且对x0附近的所有点都有f(x)f(x0)，则称f(x0)为函数的一个极大(小)值称x0为极大(小)值点 4函数的最值：(1)函数最值的概念：设yf(x)是定义在区间a，b上的函数，yf(x)在(a，b)内可导，则函数yf(x)在a，b上必有最大值与最小值；但在开区间内不一定有最大值与最小值(2)设yf(x)是定义在区间a，b上的函数且在(a，b)内可导，求f(x)在a，b上最值的方法步
3、骤：求函数f(x)在(a，b)内的极值；求函数f(x)在区间端点的函数值f(a)、f(b)；将函数f(x)的各极值与f(a)，f(b)比较，其中最大的一个是最大值，最小的一个是最小值(3)若函数f(x)在a，b上单调递增，则f(a)为函数的最小值，f(b)为函数的最大值，若函数f(x)在a，b上单调递减，则f(a)为函数的最大值，f(b)为函数的最小值.一、选择题 1已知函数f(x)x3ax2(a6)x1有极大值和极小值，则实数a的取值范围是()A1a2 B3a6 Ca3或a6 Da1或a2 解析f(x)3x22axa60有两个不等实根，4a243(a6)0，a3或a6.答案C 2若函数f(x
4、)a(xx3)的递减区间为，则a的取值范围是()Aa0 B1a0 Ca1 D0a1 答案A 3函数y4x2的单调递增区间是()A(0，)B(，1)C(，)D(1，)答案C 4函数yx33x29x(2x2)有()A极大值5、极小值27 B极大值5、极小值11 C极大值5、无极小值 D极小值27、无极大值 解析由y3x26x90，得x1或x3，当x0；当x1时，y0，当x1时，y极大值5；x取不到3，无极小值 答案C 5(山东烟台)对于R上的可导任意函数f(x)，若满足(x1)f(x)0，则必有()Af(0)f(2)2f(1)解析若f(x)0恒成立，则f(x)为常函数，即 f(x)f(2)2f(1
5、)；若f(x)0不恒成立时，当 x1时，有f(x)0；当x0；当x(，1)，y0或f(x)0.当函数在某个区间内恒有f(x)0，则f(x)为常数，函数不具有单调性f(x)0是f(x)为增函数的必要不充分条件 2一般地，若知函数的单调性求参数范围，则得不等式f(x)0，解之得参数的范围若求单调区间，则解不等式f(x)0得结论 思考探究1 已知函数f(x)x3ax1.(1)若f(x)在实数集R上单调递增，求实数a的取值范围；(2)是否存在实数a，使f(x)在(1,1)上单调递减？若存在，求出a的取值范围；若不存在，说明理由；(3)证明：f(x)x3ax1的图象不可能总在直线ya的上方(1)解由已知
6、f(x)3x2a，f(x)在(，)上是单调增函数，f(x)3x2a0在(，)上恒成立，即a3x2对xR恒成立 3x20，只需a0，又a0时，f(x)3x20，故f(x)x31在R上是增函数，则a0.(2)解由f(x)3x2a0在(1,1)上恒成立，得a3x2，x(1,1)上恒成立 1x1，3x23，只需a3.当a3时，f(x)3(x21)，在x(1,1)上，f(x)0，即f(x)在(1,1)上为减函数，a3.故存在实数a3，使f(x)在(1,1)上单调递减(3)证明f(1)a2a，f(x)的图象不可能总在直线ya的上方.例2(2009年厦门大同中学)设函数f(x)x32ax23a2x1,0a1
7、.(1)求函数f(x)的极大值；(2)若x1a,1a时，恒有af(x)a成立，(其中f(x)是函数f(x)的导函数)，试确定实数a的取值范围 解(1)f(x)x24ax3a2，且0a0时，得ax3a；当f(x)0时，得x3a；f(x)的单调递增区间为(a,3a)；f(x)的单调递减区间为(，a)和(3a，)故当x3a时，f(x)有极大值，其极大值为f(3a)1.(2)f(x)x24ax3a2(x2a)2a2，当0a2a，f(x)在区间1a,1a内单调递减 f(x)maxf(1a)8a26a1，1导数为0的点不一定是极值点函数的导数不存在的点也可能是极值点 2如果在x0附近的左侧f(x)0，右侧
8、f(x)0，那么f(x0)是极大值；如果在x0附近的左侧f(x)0，右侧f(x)0，那么f(x0)是极小值 3在本题第(2)问中，“恒有af(x)a成立”的问题，等价转化为求导函数的最大值小于等于a、最小值大于等于a.思考探究2(2009年宁夏海南卷文)已知函数f(x)x33ax29a2xa3.(1)设a1，求函数f(x)的极值；(2)若a ，且当x1,4a时，|f(x)|12a恒成立，试确定a的取值范围 解(1)当a1时，对函数f(x)求导数，得f(x)3x26x9.令f(x)0，解得x11，x23.列表讨论f(x)，f(x)的变化情况：所以，f(x)的极大值是f(1)6，极小值是f(3)2
9、6.x(，1)1(1,3)3(3，)f(x)00f(x)递增极大值6递减极小值26递增 例3(2009年河东区一模)设函数f(x)tx22t2xt1(tR，t0)(1)求f(x)的最小值s(t)；(2)若s(t)0)，xt时，f(t)取得最小值f(t)t3t1，即s(t)t3t1.(2)令h(t)s(t)(2tm)t33t1m，由h(t)3t230，得t1或t1(舍去)h(t)在(0,2)内有最大值1m，s(t)2tm对t(0,2)时恒成立等价于 h(t)max0恒成立 即1m1，因此实数m的取值范围是(1，)t(0,1)1(1,2)h(t)0h(t)增极大值1m减 1求f(x)在a，b上最值
10、的方法步骤：求函数f(x)在(a，b)内的极值；求函数f(x)在区间端点处的函数值f(a)、f(b)；将函数f(x)的各极值与f(a)，f(b)比较，其中最大的一个是最大值，最小的一个是最小值 2若函数f(x)在a，b上单调递增，则f(a)为函数的最小值，f(b)为函数的最大值，若函数f(x)在a，b上单调递减，则f(a)为函数的最大值，f(b)为函数的最小值 思考探究3(2009年河北区一模)已知函数f(x)x3ax23x.(1)若x3是f(x)的极值点，求f(x)在x1，a上的最小值和最大值；(2)若f(x)在x1，)上是增函数，求实数a的取值范围 解(1)f(3)0，即276a30，a4
11、，f(x)x34x23x有极大值点x，极小值点x3.例4 一条水渠，断面为等腰梯形，如图所示，在确定断面尺寸时，希望在断面ABCD的面积为定值S时，使得四周LABBCCD最小，这样可使水流阻力小，渗透少，求此时的高h和下底边长b.1解决有关函数最大值、最小值的实际问题，需要分析问题中各个变量之间的关系，找出适当的函数关系式，并确定函数的定义区间；所得结果要符合问题的实际意义 2根据问题的实际意义来判断函数最值时，如果函数在此区间上只有一个极值点，那么这个极值就是所求最值，不必再与端点值比较 3相当多的有关最值的实际问题用导数方法解决较简单 思考探究4 在边长为60 cm的正方形铁片的四角切去相
12、等的正方形，再把它的边沿虚线折起(如图)，做成一个无盖的方底箱子，箱底的边长是多少时，箱底的容积最大？最大容积是多少？答：当x40 cm时，箱子容积最大，最大容积是16000 cm3.解法二：设箱高为x cm，则箱底长为(602x)cm，则得箱子容积 V(x)(602x)2x(0 x1.(1)讨论f(x)的单调性；(2)若当x0时，f(x)0恒成立，求a的取值范围 分析本题考查导数与函数的综合运用能力，涉及利用导数讨论函数的单调性，第(1)问关键是通过分析导函数，从而确定函数的单调性，第(2)问是利用导数及函数的最值，由恒成立条件得出不等式条件从而求出的范围 解(1)f(x)x22(1a)x4a(x2)(x2a)，由a1知，当x0，故f(x)在区间(，2)是增函数；当2x2a时，f(x)2a时，f(x)0，故f(x)在区间(2a，)是增函数 综上，当a1时，f(x)在区间(，2)和(2a，)上是增函数，在区间(2,2a)上是减函数
