1、北京市丰台区2020-2021学年高一数学上学期期末考试练习试题（含解析）一选择题共10小题，每小题4分，共40分.在每小题列出的四个选项中合题目要求的一项.1. 已知集合，则（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】利用集合的交集运算直接求解.【详解】，故选：B2. 若，则下列不等式成立的是（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】根据不等式的性质求解【详解】对于A. ，则，成立对于B. ，；对于C. ，；对于D 若，则不成立故选A.3. 已知命题，则命题p的否定为（ ）A. ，B. ，C. ，D. ，【答案】A【解析】分析】根据全称命题的否定为存在性命题，准确改
2、写，即可求解.【详解】根据全称命题的否定为存在性命题知，命题“，”，其命题p的否定为“，”.故选：A.4. 下列函数是奇函数的是（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】利用函数奇偶性定义依次判断【详解】对于A，指数函数是非奇非偶函数；对于B，对数函数是非奇非偶函数；对于C，幂函数是偶函数；对于D，幂函数是奇函数.5. 已知，则的值为（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】利用同角三角函数间的基本关系求出的值，即可确定出的值【详解】，则.故选：B.6. 设，则“”是“”的（ ）A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件【答
3、案】A【解析】【分析】结合基本不等式，以及充分条件、必要条件的判定方法，即可求解.【详解】当时，当且仅当时，即时，等号成立，所以当时，是成立，即充分性成立；反之：时，是成立的，但此时不成立，即必要不成立，所以“”是“”的充分不必要条件.故选：A.7. 函数在区间上的最大值为（ ）A. B. 1C. D. 2【答案】C【解析】【分析】由时，再利用三角函数性质可得答案【详解】当时，所以所以函数在区间上的最大值为故选：C【点睛】方法点睛：考查三角函数的值域时，常用的方法：（1）将函数化简整理为，再利用三角函数性质求值域；（2）利用导数研究三角函数的单调区间，从而求出函数的最值.8. 已知函数则的零点
4、个数为（ ）A. 0B. 1C. 2D. 3【答案】C【解析】【分析】令，对分类讨论求出方程的解，即可得出结论.【详解】，令，当时，解得：或（舍去）；当时，解得：所以有2个实数解，即函数的零点个数为2个.故选：C.【点睛】关键点点睛：本题考查函数零点个数问题，转化为方程的解是解题的关键，属于基础题.9. 已知指数函数是减函数，若，则m，n，p的大小关系是（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】由已知可知，再利用指对幂函数的性质，比较m，n，p与0，1的大小，即可得解.【详解】由指数函数是减函数，可知，结合幂函数的性质可知，即结合指数函数的性质可知，即结合对数函数的性质可知，即，
5、故选：B.【点睛】方法点睛：本题考查比较大小，比较指数式和对数式的大小，可以利用函数的单调性，引入中间量；有时也可用数形结合的方法，解题时要根据实际情况来构造相应的函数，利用函数单调性进行比较，如果指数相同，而底数不同则构造幂函数，若底数相同而指数不同则构造指数函数，若引入中间量，一般选0或1.10. 已知函数，则下列结论正确的是（ ）A. 函数和的图象有且只有一个公共点B. ，当时，恒有C. 当时，D. 当时，方程有解【答案】D【解析】【分析】对于A，易知两个函数都过，又指数函数是爆炸式增长，还会出现一个交点，可知函数和的图像有两个公共点；对于B，取特殊点，此时；对于C，当时，作图可知，有恒
6、成立；对于D，当时，易知两个函数都过点，即方程有解；【详解】对于A，指数函数与一次函数都过，但在x增大时时爆炸式增长，故还会出现一个交点，如图所示，所以函数和的图像有两个公共点，故A错误；对于B，取，当时，此时，故B错误；对于C，当时，指数函数与对数函数互为反函数，两函数图像关于直线对称，如图所示，由图可知，有恒成立，故C错误；对于D，当时，由知，且两个函数都过点，即方程有解，故D正确；故选：D【点睛】方法点睛：已知函数有零点(方程有根)求参数值(取值范围)常用的方法：（1）直接法：直接求解方程得到方程的根，再通过解不等式确定参数范围；（2）分离参数法：先将参数分离，转化成求函数的值域问题加以
7、解决；（3）数形结合法：先对解析式变形，进而构造两个函数，然后在同一平面直角坐标系中画出函数的图像，利用数形结合的方法求解二填空题共6小题，每小题4分，共24分.11. _.【答案】1【解析】【分析】直接利用诱导公式可得答案.【详解】故答案为：1.12. 函数的定义域为_.【答案】【解析】【分析】求定义域时，满足真数大于【详解】得故答案为：.13. _.【答案】【解析】【分析】利用指数幂和对数的运算性质求解即可.【详解】故答案为：14. 若函数的一个零点为，则_.【答案】【解析】【分析】利用零点定义可知，将代入，结合，求解即可【详解】因为函数的一个零点为，故即，解得，又，所以，故答案为：15.
8、 一种药在病人血液中的量保持在以上时才有疗效，而低于时病人就有危险.现给某病人的静脉注射了这种药，如果药在血液中以每小时20%的比例衰减，设经过x小时后，药在病人血液中的量为.（1）y关于x的函数解析式为_；（2）要使病人没有危险，再次注射该药的时间不能超过_小时.(精确到0.1)(参考数据：，)【答案】 (1). (2). 7.2【解析】【分析】（1）利用指数函数模型求得y关于x的函数解析式；（2）根据题意利用指数函数的单调性列不等式，求得再次注射该药的时间不能超过的时间.【详解】（1）由题意，该种药在血液中以每小时20%的比例衰减，给病人注射了该药，经过x小时后，药在病人血液中的量为.即y
9、关于x的函数解析式为（2）该药在病人血液中的量保持在以上时才有疗效，低于时病人就有危险，令，即又，且指数函数为减函数，所以要使病人没有危险，再次注射该药的时间不能超过7.2小时.16. 函数的定义域为，其图象如图所示.函数是定义域为R的偶函数，满足，且当时，.给出下列三个结论：；不等式的解集为R；函数的单调递增区间为，.其中所有正确结论的序号是_.【答案】【解析】【分析】由可知是周期为2的周期函数，又当时，由此作出函数图像，利用数形结合思想依次判断；【详解】满足，可知函数是周期为2的周期函数，又函数是R上的偶函数，且当时，作出图像如图所示，由图可知，故正确；不等式的解集为，故错误；函数的单调递
10、增区间为，故正确；故答案为：【点睛】关键点点睛：本题考查抽象函数的周期性，奇偶性，抽象函数在高考中常考到，在做题时，利用函数的性质作出函数的图像是解题的关键，考查学生的逻辑推理与数形结合思想，属于一般题.三解答题共4小题，共36分.17. 记不等式的解集为A，不等式的解集为B.（1）当时，求；（2）若，求实数a的取值范围.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）分别求出集合，再求并集即可.（2）分别求出集合和的补集，它们的交集不为空集，列出不等式求解.【详解】（1）当时，的解为或（2）a的取值范围为18. 在平面直角坐标系中，角以为始边，其终边与单位圆的交点为.（1）求，的值；（2）若，求函
11、数的最小正周期和单调递增区间.【答案】（1），；（2）最小正周期，递增区间【解析】【分析】（1）由三角函数的定义结合诱导公式直接求解；（2）结合（1）可知，整理得，可求得函数周期与单调增区间.【详解】（1）角的终边与单位圆的交点为，（2），且，可知，即最小正周期为由，得所以函数的单调递增区间为【点睛】方法点睛：函数的性质：(1) .(2)周期(3)由 求对称轴(4)由求增区间；由求减区间.19. 已知函数的图象过原点，且.（1）求实数a，b的值：（2）若，请写出m的最大值；（3）判断并证明函数在区间上的单调性.【答案】（1）；（2）；（3）单调递减，证明见解析.【解析】【分析】（1）由已知可知
12、，代入即可求解；（2）由，转化为，即可求解；（3）利用单调性定义证明即可.【详解】（1）函数的图像过原点，即，且， ，解得：（2）由（1）知，由指数函数性质知：，即因为，所以m的最大值为（3）函数在区间上单调递减，证明如下：由（1）知，任取，且，即，故所以函数在区间上单调递减【点睛】方法点睛：本题考查不等式的恒成立问题， 不等式恒成立问题常见方法：分离参数恒成立(即可)或恒成立（即可）；数形结合( 图像在 上方即可)；讨论最值或恒成立.20. 设函数的定义域为I，如果存在区间，使得在区间上是单调函数且值域为，那么称在区间上具有性质P.（1）分别判断函数和在区间上是否具有性质P；(不需要解答过程
13、)（2）若函数在区间上具有性质P，（i）求实数a的取值范围；（ii）求的最大值.【答案】（1）不具有性质P，具有性质P；（2）（i）；（ii）1.【解析】【分析】（1）根据余弦函数和幂函数性质可求解；（2）（i）由已知可知，即方程有2个根，转化，利用换元法结合图象可求解；（ii）结合图象求解.【详解】（1）不具有性质P，具有性质P；（2）（i）定义域为，函数单调递增，具有性质P，故定义域，值域都为，即方程有2个根，即，令，则，对称轴，当时，函数单调递减；当时，函数单调递增；故当时，函数取得最小值为，作出图象如下：由图可知，实数a的取值范围为；（ii）由，则又，即故，当时，取得最大值为1.【点睛】方法点睛：已知函数有零点(方程有根)求参数值(取值范围)常用的方法：（1）直接法：直接求解方程得到方程的根，再通过解不等式确定参数范围；（2）分离参数法：先将参数分离，转化成求函数的值域问题加以解决；（3）数形结合法：先对解析式变形，进而构造两个函数，然后在同一平面直角坐标系中画出函数的图象，利用数形结合的方法求解
