1、第四十讲椭圆一、选择题：(本大题共6小题，每小题6分，共36分，将正确答案的代号填在题后的括号内)1(2010天门)设P是椭圆1上一动点，F1、F2是椭圆的两个焦点，则cosF1PF2的最小值是()A.B.C D解析：设|PF1|m，|PF2|n，由题意mn6，c，则cosF1PF211.答案：C2(2010新创题)定义：离心率e的椭圆为“黄金椭圆”，已知椭圆E：1(ab0)的一个焦点为F(c,0)(c0)，P为椭圆E上的任意一点，若a，b，c不是等比数列，则()AE是“黄金椭圆”B. E一定不是“黄金椭圆”C. E不一定是“黄金椭圆”D. 可能不是“黄金椭圆”解析：假设E为黄金椭圆，则e，即
2、ca，b2a2c2a22a2ac.即a，b，c成等比数列，与已知矛盾，故椭圆E一定不是“黄金椭圆”答案：B3(2010长沙模拟)已知F1、F2分别为椭圆C：1(ab0)的左、右焦点，过F1且垂直于x轴的直线交椭圆C于A，B两点，若ABF2为钝角三角形，则椭圆C的离心率e的取值范围为()A(0，1)B(0，1)C(1,1) D(1,1)解析：由ABF2为钝角三角形，得AF1F1F2，2c，化简得c22aca20，e22e10，又0e1，解得0eb0)，令xc得y2，|PF1|，又由|F1B2|2|OF1|B1B2|得a22bc，a44b2(a2b2)，(a22b2)20，a22b2，.答案：B5
3、椭圆M：1(ab0)的左、右焦点分别为F1、F2，P为椭圆M上任一点，且最大值的取值范围是，其中c，则椭圆M的离心率e的取值范围是()A. B.C. D.解析：设与的夹角为，由于 cos，的夹角为0时取“”所以的最大值为(ac)(ac)，因此c2a2c23c2，所以e21e23e2.又e(0,1)，所以e.故选B.答案：B6设椭圆1(ab0)的离心率为e，右焦点为F(c,0)，方程ax2bxc0的两个实根分别为x1和x2，则点P(x1，x2)()A必在圆x2y22内B必在圆x2y22上C必在圆x2y22外D以上三种情形都有可能解析：x1x2，x1x2，xx(x1x2)22x1x2，e，ca，b
4、2a2c2a22a2，xxb0)的左、右焦点分别为F1(c,0)、F2(c,0)，若椭圆上存在点P使，则该椭圆的离心率的取值范围为_解析：e1.|PF2|1，即e1，e22e10.又0e1，1eb0)的离心率为，短轴一个端点到右焦点的距离为.(1)求椭圆C的方程；(2)设直线l与椭圆C交于A、B两点，坐标原点O到直线l的距离为，求AOB面积的最大值解：(1)设椭圆的半焦距为c，依题意b1.所求椭圆方程为y21.(2)设A(x1，y1)，B(x2，y2)，当ABx轴时，|AB|，当AB与x轴不垂直时，设直线AB的方程为ykxm.由已知，得m2(k21)，把ykxm代入椭圆方程，整理得(3k21)
5、x26kmx3m230x1x2，x1x2.|AB|2(1k2)(x2x1)2(1k2)33(k0)34.当且仅当9k2，即k时等号成立|AB|2.当k0时，|AB|，综上所述，|AB|max2.当|AB|最大时，AOB面积取最大值，S|AB|max.点评：一般地，在涉及直线与曲线交点的问题时，先设出交点的坐标，再由方程组转化的一元二次方程中，利用根与系数的关系转化为待求的系数方程，像这种设交点坐标但不具体求出的方法称为“设而不求”12如图，已知A、B、C是长轴为4的椭圆上三点，点A是长轴的一个顶点，BC过椭圆中心O，且(1)建立适当的坐标系，求椭圆方程；(2)如果椭圆上两点P、Q使直线CP、C
6、Q与x轴围成底边在x轴上的等腰三角形，是否总存在实数使？请给出证明解：(1)以O为原点，OA所在的直线为x轴建立如图所示的直角坐标系，则A(2,0)，椭圆方程可设为1(0bb0)的左、右两个焦点(1)若椭圆C上的点A(1，)到F1、F2两点的距离之和等于4，写出椭圆C的方程和焦点坐标；(2)设点K是(1)中所得椭圆上的动点，求线段F1K的中点的轨迹方程；(3)若M、N是椭圆C上关于原点对称的两个点，点P是椭圆上任意一点，当直线PM、PN的斜率都存在，并记为kPM、kPN时求证：kPMkPN是与点P位置无关的定值解：(1)椭圆C的焦点在x轴上，由椭圆上的点A到F1、F2两点的距离之和是4，得2a4，即a2.又点A在椭圆上，因此1得b23，于是c21.所以椭圆C的方程为1，焦点F1(1,0)，F2(1,0)(2)设椭圆C上的动点为K(x1，y1)，线段F1K的中点Q(x，y)满足：x，y，即x12x1，y12y.因此1.即21为所求的轨迹方程(3)设点M(m，n)是椭圆1上的任一点，N(m，n)是M关于原点的中心对称点，则1又设P(x，y)是椭圆上任一点，且kPMkPN存在则kPM，kPN，kPMkPN.得0，kPMkPN.故kPMkPN与P的取值无关w.w.w.k.s.5.u.c.o.m
