1、3.5.2简单线性规划1：画出不等式（组）表示的平面区域：y2x+1 4x-3y9 x+2y4说明：直线定界、特殊点定域划分区域时，找好特殊点，注意不等号。y=2x+1x+2y=4o-1yx112233-2xo123-1-2-3y4x-3y=93x+5y25x-4y-3x1在该平面区域上问题 1：有无最大(小)值？问题：有无最大(小)值？xyox-4y=-33x+5y=25x=1问题：2+有无最大(小)值？CAB 设z=2x+y，式中变量x、y满足下列条件求z的最大值和最小值xyO1 2 3 4 5 6 7654321ABC分析：不等式组表示的区域是图中的ABCz=2x+yxyO1 2 3 4
2、 5 6 7654321ABCl2l1求最值的方法1.截距法在经过不等式组表示的公共区域内的点且平行于l0的直线中，以经过点A(5，2)的直线 l2 所对应的截距最大故 zmax=2 5+2=12，以经过点B(1，1)的直线l1所对应的z最小故 zmin=2 1+1=3xyO1 2 3 4 5 6 7654321ABC思考:2x+y-z=0(z R)可看作什么?一组平行直线,都与直线l0：2x+y=0平行.求最值的方法2.距离法xyO1 2 3 4 5 6 7654321ABC作一组与直线l0平行的直线(或平行移动直线l0)l：2x+y=z，z R求最值的方法2.距离法xyO1 2 3 4 5
3、 6 7654321ABC在经过不等式组所表示的公共区域内的点且平行于l的直线中，以经过点A(5，2)的直线l2所对应的d最大，l2求最值的方法2.距离法以经过点B(1，1)的直线l1所对应的d最小所以：zmax=2 5+2=12，zmin=2 1+1=3xyO1 2 3 4 5 6 7654321ABCl2l1求最值的方法2.距离法 在上述问题中，不等式组是一组对变量x、y的约束条件，由于这组约束条件都是关于x、y的一次不等式，所以又可称其为线性约束条件z=2x+y是欲达到最大值或最小值所涉及的变量x、y的解析式，我们把它称为目标函数由于z=2x+y又是关于x、y的一次解析式，所以又可叫做线
4、性目标函数线性规划的有关概念：线性规划的概念：问题：设z=2x+y，式中变量满足下列条件：求z的最大值与最小值。目标函数（线性目标函数）线性约束条件 注意：线性约束条件除了用一次不等式表示外，也可用一次方程表示一般地，求线性目标函数在线性约束条件下的最大值或最小值的问题，统称为线性规划问题例如：我们刚才研究的就是求线性目标函数z=2x+y在线性约束条件下的最大值和最小值的问题，即为线性规划问题线性规划的有关概念：满足线性约束条件的解(x，y)叫做可行解，由所有可行解组成的集合叫做可行域在上述问题中，可行域就是阴影部分表示的三角形区域其中可行解(5，2)和(1，1)分别使目标函数取得最大值和最小
5、值，它们都叫做这个问题的最优解线性规划的有关概念：解线性规划问题的基本步骤：第一步在平面直角坐标系中画出可行域.第二步：平移直线在可行域内找出最优解所对应的点(找使纵截距取得最值时的点).第三步：解方程组，从而求出目标函数的最大值或最小值简记为:画.移.求例1已知x、y满足，试求z=300 x+900y的最大值典型例题：分析：先画出平面区域，然后在平面区域内寻找使z=300 x+900y取最大值时的点 例1已知x、y满足，试求z=300 x+900y的最大值典型例题：解：作出可行域，见图中四边形AOBC表 示 的 平 面区域x+2y=2502x+y=300 xy250150COBA典型例题：作
6、出直线l0：300 x+900y=0，即x+3y=0，将它平移至点A，显然，点A的坐标是可行域中的最优解，它使z=300 x+900y达到最大值易得点A(0，125)，所以z max=3000+900125=112500l0：x+3y=0 xy250150COBAx+2y=2502x+y=300典型例题：变题1：在例1中，若目标函数设为z=400 x+300y，约束条件不变，则z的最大值在点C处取得l0：4x+3y=0 xy250150COBAx+2y=2502x+y=300变题2：若目标函数设为z=300 x+600y，约束条件不变，则z的最大值?可在线段AC上任一点处取得 事实上，可行域内
7、最优解对应的点在何处，与目标函数z=ax+by(a 0，b 0)所确定的直线l0：ax+by=0的斜率()有关就本例而言，若=(直线x+2y=250的斜率)，则线段AC上所有点都使z取得最大值(如：z=300 x+600y时)；当 0时，点A处使z取得最大值(比如：例1)；当 2 时，点C处使z取得最大值(比如：z=400 x+300y时)，其它情况请同学们课外思考B Cxyox4y=33x+5y=25x=1例2：设z2xy,式中变量x、y满足下列条件求的最大值和最小值。3x+5y25x 4y3x1解：作出可行域如图：当0时，设直线 l0：2xy0当l0经过可行域上点A时，z 最小，即最大。当
8、l0经过可行域上点C时，最大，即最小。由得A点坐标_；x4y33x5y25由得C点坐标_；x=13x5y25zmax2528 zmin214.4 2.4(5,2)(5,2)(1,4.4)(1,4.4)平移l0，平移l0，(5,2)2xy0(1,4.4)(5,2)(1,4.4)转化转化转化三个转化图解法想一想(结论):线性约束条件可行域线性目标函数Z=Ax+By一组平行线最优解寻找平行线组的最大（小）纵截距求最值的方法:1,距离法;2,截距法.1（2012年高考（辽宁文理）设变量x,y满足则2x+3y的最大值为（）A20 B35 C45 D551.【答案】D【解析】画出可行域,根据图形可知当x=
9、5,y=15时2x+3y最大,最大值为55,故选D D2（2012年高考（天津文）设变量满足约束条件则目标函数的最小值（）A-5B-4C-2D3【解析】做出不等式对应的可行域如图,由图象可知当直线经过点时,直线的截距最大,而此时最小为,选B.B3（2012年高考（浙江文）设z=x+2y,其中实数x,y满足,则z的取值范围是_.【解析】利用不等式组,作出可行域,可知区域表示的四边形,但目标函数过点(0,0)时,目标函数最小,当目标函数过点时最大值为.0 ,1.求z=600 x+300y的最大值，使式中的x，y满足约束条件附加练习分析：画出约束条件表示的平面区域即可行域再解xyO252100CBA
10、3x+y=300 x+2y=2522x+y=0z max=60070+30090=69000 2.已知x、y满足不等式组求z=3x+y的最小值附加练习分析：可先找出可行域,平行移动直线l0：3x+y=0，找出可行解，进而求出目标函数的最小值.z min=12x+y=1xy20.5OPx+2y=2l0：3x+y=03满足线性约束条件的可行域内共有_个整数点44设z=x y，式中变量x，y满足求z的最大值和最小值z max=1，z min=3附加练习：(1)求z=2x+y的最大值，使式中的x、y 满足约束条件附加练习5小结xy(12,12)(-1,-1)(2,-1)2x+y=0 x+y-1=0 x-y=0CBAO21-1-2-1123z max=3 (2)求z=3x+5y的最大值和最小值，使x、y满足约束条件小结xy(98,178)3x+5y=05x+3y-15=0 x-y+1=0CBAO3x-5y-3=0-1-115z max=14，z min=11.1.阅读教材P9094的内容2.教材P94习题第1题(作业本上)作业
