1、10平行与垂直问题综合应用曾劲松学习目标1归纳出判断线线平行、线面平行、面面平行、线线垂直、线面垂直、面面垂直的常用方法2能运用已获得的结论证明有关平行或垂直的简单命题3能将自然语言、图形语言、符号语言三者进行转化，并能准确地表达空间点、线、面间的关系。一、夯实基础基础梳理1判断线线平行的常用方法（1）平行于同一直线的两条直线互相平行。（2）如果一条直线和一个平面平行，经过这条直线的平面和这个平面相交，那么这条直线就和交线平行。（3）两个平面平行的性质定理：“如果两个平行平面同时和第三个平面相交，那么它们的交线平行”在同一平面内的两条直线，可依据平面几何的定理证明。2判断线面平行的常用方法（2
2、）定义：如果一条直线和一个平面没有公共点（2）如果平面外的一条直线和这个平面内的一条直线平行，则这条直线和这个平面平行。（3）两面平行，则其中一个平面内的直线必平行于另一个平面。3判断面面平行的常用方法（1）定义法：两平行平面没有公共点（2）判定定理：一个平面内有两条相交直线都平行于另一个平面，则这两个平面平行，这个定理可简记为线面平行则面面平行（3）垂直于同一直线的两个平面平行（4）平行于同一平面的两平面互相平行4两个平面平行的性质（1）两个平面平行，其中一个平面内的任一直线必平行于另一个平面。（3）如果两个平行平面同时与第三个平面相交，那么它们的交线平行。来源:学.科.网（3）一条直线垂直
3、于两平行平面中的一个平面，它也垂直于另一个平面（4）夹在两个平行平面间的平行线段相等（5）过平面外一点只有一个平面与已知平面平行5判断线线垂直的常用方法（1）定义：两线成角（2）直线和平面垂直，则该线与平面内任一直线垂直（3）平面内的一条直线，如果和这个平面的一条斜线的射影垂直，那么它和这条斜线垂直。（4）平面内的一条直线，如果和这个平面的一条斜线垂直，那么它和这条斜线的射影垂直。（5）一条直线如果和两条平行直线中的一条垂直，它也和另一条垂直。6判断线面垂直的常用方法（1）定义：直线和平面内任意一条直线垂直，则直线和平面垂直。（2）一条直线和平面内的两条相交直线都垂直，则这条直线和平面垂直。（
4、3）一条直线和两个平行平面中的一个垂直，则这条直线和另一个也平面垂直。（4）两条平行线中一条直线和一个平面垂直，则另一条直线也和这个平面垂直。（5）两个平面垂直，则一个平面内垂直交线的直线一定垂直另一平面7判断面面垂直的常用方法（1）定义：两面成直二面角，则两面垂直（2）一个平面经过另一个平面的一条垂线，则这个平面垂直于另一平面基础达标1下列说法中：（1）平行于同一直线的两个平面平行； （2）平行于同一平面的两个平面平行；（3）垂直于同一直线的两直线平行； （4）平行于同一平面的两直线平行。其中正确的个数是（ ）A1B2C3D42若是两条异面直线外的任意一点，则（ ）。A过点有且仅有一条直线与
5、都平行B过点有且仅有一条直线与都垂直C过点有且仅有一条直线与都相交D过点有且仅有一条直线与都异面3设是两条不同的直线，是三个不同的平面，给出下列四个命题：若，则若，则若，则若，则其中正确命题的序号是（ ）。A和B和C和D和4已知三棱柱中，求证：为矩形。5如图，在直在棱柱中，分别是棱上的点（点不同于点），且，为的中点。求证：（1）平面平面；（2）直线平面。二、学习指引自主探究1举例说明平行与垂直之间的相互转化的关系。2过某点作二面角的棱的垂面来实现二面角的平面角。我们知道，过两个面的垂线、作平面（即棱的垂面），则这个垂面与二面角两个面的交线、所夹的角就是二面角的平面角（如图）。如图，四棱锥的下底
6、面为矩形，平面，能否过点作与垂直的平面从而得到到二面角的平面角。3过某直线作二面角的棱的垂面来实现二面角的平面角。先研究这句话：“如果两条异面直线互相垂直，那么过其中一条直线一定可以作另一条直线的垂面；如果两条异面直线不垂直，那么过其中一条直线一定无法作出另一条直线的垂面。”这句话提醒我们，如果能发现与二面角的公共棱垂直的直线，就可以考虑过该直线作与公共棱垂直的平面，从而得到二面角的平面角，用多种方法来解决下题：在三棱锥中，在侧棱两两垂直，求作二面角的平面角，若，试求二面角的某个三角函数值。4体会两平面垂直的性质定理。已知两平面垂直进，一般直接应用面面垂直的性质定理，即在其中一个平面内作公共棱
7、的垂线，完成下题并体会：已知平面平面是内一条直线。是内一条直线，且。那么，与至少一个成立，对吗？5思维拓展在四面体中，平面，是锐角三角形，是点在面上的射影，能否成为的垂心？案例分析1已知：如图，在正方体中，是的中点，是的交点，求证：平面。【解析】证明：易知。又平面。取中点，连结。平面平面。于是、四点共面。又正方形中，分别为的中点，。又平面。从而，又，平面。2如图，为圆的直径，点、在圆上，矩形所在平面和圆所在的平面互相垂直，已知。（1）求证：平面平面；（2）求直线与平面所成角的大小；（3）当的长为何值时，二面角的大小为？【解析】（1）证明：平面平面，平面平面平面。平面，又为圆的直径，平面。平面平
8、面平面。（2）根据（1）的证明，有平面，为在平面上的射影，因此，为直线与平面所成的角。四边形为等腰梯形。过点作，交于。，则。在中，根据射影定理，得。直线与平面所成角的大小为。（3）（解法一）过点作，交的延长线于，连。根据（1）的证明，平面，则，为二面角的平面角，。在中，又四边形为矩形，因此，当的长为时，二面角的大小为。三、能力提升能力闯关1如果两个相交平面都垂直于第三平面，证明：它们交线垂直于第三平面。2如图，平面，若，求二面角的正弦值。3如图，在正三棱锥中，平行于、的截面分别交、于点、。（1）判定四边形的形状，并说明理由；（2）设是棱上的点，当为何值时，平面平面，请给出证明。拓展迁移来源:Z
9、*xx*k.Com4如图，已知正方形和矩形所在的平面互相垂直，是线段的中点。（1）求证：平面；（2）求异面直线与所成的角。5如图1，分别是矩形的边的中点，是上的一点，将分别沿翻折成，并边结，使得平面平面，且，边结，如2（1）证明：平面平面；（2）当时，求直线和平面所成角的正弦值。6已知如图，斜三棱柱中，点、分别为、上的点。来源:学科网ZXXK（1）当等于何值时，平面？（2）若平面平面，求的值。课程小结用类比的思想去认识垂直与平行关系理解到可以用平行关系解决垂直关系，也可以用垂直关系解决平行关系平行于垂直问题综合应用一、夯实基础基础达标.连接、，取得中点，连接、来源:Zxxk.Com，易证，从而
10、，由可知平面，为矩形（）因为是直三棱柱，所以平面，又平面，所以又因为，平面，所以平面又平面，所以平面平面（）因为，为的中点，所以因为平面，且平面，所以又因为，平面，所以平面由（）知平面，所以又平面，平面，所以平面二、学习指引.（）透过证明平行可以达到判定垂直之目的例如：直线和平面垂直，若能证明，则可判定出直线和平面垂直（）通过证明垂直可以达到判定平行之目的例如：直线和平面垂直，若能证明直线和平面垂直，则可判定出.易得平面平面，于是在平面内作于则平面同样，可在平面内作设平面交于，则即位所求方法一：易证平面，从而在平面内作于，连接，平面，即为二面角的平面角在中，方法二：作平面于，连接并延长交于，连
11、接易证，从而平面，即为二面角的平面角，后略若，则由面面垂直的性质定理有若不与垂直，则可在平面作一条直线，且与相交，由面面垂直的性质定理有直线平面，从而因为，所以平面由上可知，与至少一个城里不可能，下面证明假设是的垂心，连结，则平面，平面，又平面，从而由知，平面，这与“是锐角三角形”矛盾假设不成立，所以，不可能是的垂心三、能力提升.由两个平面垂直的性质定理想到：在其中的一个平面内作交线的垂线如图，在平面内过作、分别垂直于、，则，从而过作于，过作交于，连结，则垂直于平面，为二面角的平面角，又平面，平面，又，平面，设，则，在中，同理，中，所以，二面角的正弦值为（）证明面，面面，面，同理，是平行四边形
12、是正三棱锥，在底面上的射影是的中心，四边形是矩形（）作于点点，连结，面，面，面，面面，在中，（）证明：连接，连接，为中点，且为矩形、，四边形为平行四边形，平面，平面，平面（）过点作，则为异面直线与所成的角，为中点，点为线段的中点，连接，过作为的中点，在中，异面直线与所成的角为解法一：（1）因为平面平面，平面平面，平面，所以平面，又平面，所以平面平面（）过点作于点，连结由（）的结论可知，平面，所以是和平面所成的角因为平面平面，平面平面，平面，所以平面，故因为，所以可在上取一点，使，又因为所以四边形是矩形由题设，则所以，因为平面，所以平面，从而故，又，由得故即直线与平面所成角的正弦是（）如图，取为线段的中点，此时，连结交于点，连结由棱柱的性质，知四边形为平行四边形，所以点为的中点在中，点、分别为、的中点来源:学_科_网又平面，平面，平面时，平面，（）由已知，平面平面，且平面平面，平面平面因此，同理，又，即
