1、期中考试押题卷（考试时间：120分钟 试卷满分：150分）注意事项：1本试卷分第卷（选择题）和第卷（非选择题）两部分答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上2回答第卷时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号写在本试卷上无效3回答第卷时，将答案写在答题卡上写在本试卷上无效4测试范围：人教A版2019选择性必修第一册第一章、第二章、3.1椭圆5考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回第卷一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1已知向量，若，三向量共面，则实数（）
2、AB2CD3【答案】B【解析】，三向量共面，存在实数，使得，即，解得，故选：B.2如图，在平行六面体中，底面是边长为2的正方形若，且，则的长为（）ABCD5【答案】A【解析】根据空间向量的运算法则，易得，又因为，故.故选：A3经过两点，的直线的倾斜角为，则（）ABC0D2【答案】B【解析】由于直线的倾斜角为，则该直线的斜率为，又因为，所以，解得.故选：B.4若直线和圆没有交点，则过点的直线与椭圆的交点个数为（）A0个B至多有一个C1个D2个【答案】D【解析】因为直线和圆没有交点，可得，即，所以点是以原点为圆心，为半径的圆及其内部的点，又因为椭圆，可得，所以圆内切于椭圆，即点是椭圆内的点，所以点
3、的一条直线与椭圆的公共点的个数为.故选：D.5对于直线：（），现有下列说法：无论如何变化，直线l的倾斜角大小不变；无论如何变化，直线l一定不经过第三象限；无论如何变化，直线l必经过第一、二、三象限；当取不同数值时，可得到一组平行直线其中正确的个数是（）ABCD【答案】C【解析】直线：（），可化简为：，即，则直线的斜率为，倾斜角为，故正确；直线在轴上的截距为，可得直线经过一二四象限，故正确，错误；当取不同数值时，可得到一组斜率为的平行直线，故正确；故选：C6圆：关于直线对称的圆的方程为（）ABCD【答案】A【解析】表示以为圆心，以1为半径的圆设关于直线对称的点为，则有，解得：，所以：关于直线对称
4、的圆的方程为故选：A7在棱长为的正方体中， 分别是的中点，下列说法错误的是（）A四边形是菱形B直线与所成的角的余弦值是C直线与平面所成角的正弦值是D平面与平面所成角的正弦值是【答案】C【解析】分别以为轴建立空间直角坐标系，如图，则，所以是平行四边形，由正方体知，因此为菱形，A正确；，B正确；，设平面的一个法向量为，由得：，取，则，即，直线与平面所成的角正弦值是，C错；平面的一法向量是，平面与面所成角的所以的余弦值为，其正弦值为，D正确故选：C.8椭圆（）的左、右焦点分别是，斜率为1的直线l过左焦点，交C于A，B两点，且的内切圆的面积是，若椭圆C的离心率的取值范围为，则线段AB的长度的取值范围是
5、（）ABCD【答案】C【解析】设的内切圆的圆心为，半径为，则，解得，又,，则，即线段的长度的取值范围是，故选：C第卷二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分。9已知向量，则（）ABCD【答案】BCD【解析】因为，所以，所以，故A错误；因为，所以，故B正确；因为，所以，故C正确；因为，所以，所以，故D正确.故选：BCD10已知直线与圆，则下列结论正确的是（）A直线必过定点B与可能相离C与可能相切D当时，被截得的弦长为【答案】AC【解析】对于A，由可得，由,得，所以直线过定点，故A正确；对于B，因为
6、直线过定点，而点在圆上，所以直线与不可能相离，故B错误；对于C，因为直线过定点，而点在圆上，所以直线与可能相切，故C正确；对于D，当时，直线的方程为：，设圆心到直线的距离为，则，所以被截得的弦长为：，故D错误.故选：AC.11设椭圆的左、右焦点分别为，P是C上的动点，则（）ABC的离心率为C面积的最大值为DC上有且只有4个点P，使得是直角三角形【答案】ACD【解析】由题意，椭圆，可得，根据椭圆的定义，可得，所以A正确；根据离心率的定义，可得椭圆的离心率为，所以B不正确；由椭圆的几何性质，可得最大值为，所以C正确；因为以为直径的圆的方程为，联立方程组，整理得，即方程组无解，所以以点为直角顶点的不
7、存在；过作的垂线，交椭圆于两点，此时可得直角和；过作的垂线，交椭圆于两点，此时可得直角和，综上可得，椭圆上有且仅有个点使得为直角三角形，所以D正确.故选：ACD.12在长方体中，动点在体对角线上（含端点），则下列结论正确的有（）A当为中点时，为锐角B存在点，使得平面C的最小值D顶点到平面的最大距离为【答案】ABD【解析】如图，以点为原点建立空间直角坐标系，设，则，则，故，则，对于A，当为中点时，则，则，所以，所以为锐角，故A正确；当平面，因为平面，所以，则，解得，故存在点，使得平面，故B正确；对于C，当时，取得最小值，由B得，此时，则，所以，即的最小值为，故C错误；对于D，设平面的法向量，则有
8、，可取，则点到平面的距离为，当时，点到平面的距离为0，当时，当且仅当时，取等号，所以点到平面的最大距离为，故D正确.故选：ABD.三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13已知三棱锥，点M，N分别为线段AB，OC的中点，且，用，表示，则等于_【答案】【解析】三棱锥，点M，N分别为线段AB，OC的中点，则，所以等于故答案为：.14在线段上运动，已知，则的取值范围是_.【答案】【解析】表示线段上的点与连线的斜率，因为所以由图可知的取值范围是故答案为：15已知圆与圆相交于A，B两点，则_.【答案】【解析】因为圆与圆相交于A，B两点，所以直线的方程为：，即，所以圆心到弦的距离为，所以弦，所以
9、在中，由余弦定理得，所以故答案为：16如图，分别是椭圆的左、右焦点，点P是以为直径的圆与椭圆在第一象限内的一个交点，延长与椭圆交于点Q，若，则直线的斜率为_【答案】【解析】如图，连接.设（），则.因为，所以，.在中，所以，即，整理得，所以，所以直线的斜率为故答案为：-2.四、解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步棸。17（10分）在过点，圆E恒被直线平分，与y轴相切这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，并解答.已知圆E经过点，且_.(1)求圆E的一般方程；(2)设P是圆E上的动点，求线段AP的中点M的轨迹方程.【解析】（1）方案一：选条件.设圆的方程为，则，解得
10、，则圆E的方程为.方案二：选条件.直线恒过点.因为圆E恒被直线平分，所以恒过圆心，所以圆心坐标为，又圆E经过点，所以圆的半径r1，所以圆E的方程为，即.方案三：选条件.设圆E的方程为.由题意可得，解得，则圆E的方程为，即.（2）设.因为M为线段AP的中点，所以，因为点P是圆E上的动点，所以，即，所以M的轨迹方程为.18（12分）如图所示，已知空间四边形ABCD的每条边和对角线长都等于1，点E，F，G分别是AB，AD，CD的中点设，.(1)求证EGAB；(2)求异面直线AG和CE所成角的余弦值【解析】（1）证明：连接DE，因为空间四边形ABCD的每条边和对角线长都等于1，且E，G分别是AB，CD
11、的中点，所以，故，又因为，平面，所以平面，因为平面，所以.（2）由题意得：均为等边三角形且边长为1，所以，所以，设异面直线AG和CE所成角为，则19（12分）已知两点D（4，2），M（3，0）及圆C：，l为经过点M的一条动直线(1)若直线l经过点D，求证：直线l与圆C相切；(2)若直线l与圆C相交于两点A，B，从下列条件中选择一个作为已知条件，并求ABD的面积条件：直线l平分圆C；条件：直线l的斜率为3【解析】（1）方法一：若直线l经过点D，则直线l的方程为，即2xy60由题意，圆C的圆心为C（2，3），半径，则圆心C（2，3）到直线l的距离为，所以直线l与圆C相切方法二：由D（4，2）满足C
12、：，可知点D在圆C上，圆心为C（2，3）若直线l经过点D，则直线l的斜率，又，所以，所以lCD所以直线l与圆C相切（2）选择条件：若直线l平分圆C，则直线l过圆心C（2，3），直线l的方程为，即3xy90，点D（4，2）到直线l的距离，所以选择条件：若直线l的斜率为3，则直线l的方程为，即3xy90，此时圆心C（2，3）在直线l上，则，点D（4，2）到直线l的距离，所以20（12分）给定椭圆，称圆心在原点O、半径是的圆为椭圆C的“准圆”已知椭圆C的一个焦点为，其短轴的一个端点到点F的距离为(1)求椭圆C和其“准圆”的方程；(2)若点A是椭圆C的“准圆”与x轴正半轴的交点，B、D是椭圆C上的两相
13、异点，且轴，求的取值范围，【解析】（1）由题意知，且，可得，故椭圆C的方程为，其“准圆”方程为（2）由题意，可设、，则有，又点坐标为，所以，所以，又，所以，所以的取值范围是21（12分）在三棱锥中，是边长为2的等边三角形，平面平面，为线段的中点.(1)证明：.(2)在直线BC上是否存在点，使得直线AF与平面ABP所成角的正弦值为？若存在，求的值；若不存在，请说明理由.【解析】（1）证明：作于 ，由平面平面ABC，且平面平面，得平面，.，由勾股定理得，所以，.在直角三角形中，由勾股定理可得.又.（2）在平面内，过点作，垂足为点，以为坐标原点建立如图所示的空间直角坐标系，设，.设是平面的法向量，取
14、，得，又.设直线与平面所成的角为，化简得，解得或.当时，（在线段上）；当时，（在线段的延长线上）存在点，使得直线与平面所成角的正弦值为，且或1.22（12分）如图所示，圆C的圆心在直线上且与x轴正半轴相切，与y轴正半轴相交于两点（点M在点N的下方），且.（1）求圆C的方程；（2）过点M任意作一条直线与椭圆相交于两点，连接，试探究与的关系，并给出证明.【解析】（1）设圆心C的坐标为，因为圆C与x轴正半轴相切，所以圆C的半径为.又因为，所以，解得，所以圆C的方程为.（2），证明：把代入方程，解得或，即点，当轴时，可知，当与x轴不垂直时，可设直线的方程为.联立方程，消去y得，设直线交椭圆于两点，则.所以，所以综合知.
