1、2016-2017学年广东省揭阳市普宁市华侨中学高三（上）第三次月考数学试卷（理科）一、选择题（60分，每题5分）1设i是虚数单位，集合M=z|iz=1，N=z|z+i=1，则集合M与N中元素的乘积是（）A1+iB1iCiDi2A，B是ABC的两个内角，p：sinAsinBcosAcosB；q：ABC是钝角三角形则p是q成立的（）A充分不必要条件B必要不充分条件C充要条件D既不充分也不必要条件3已知a=4，b=4，c=（）则（）AabcBbacCacbDcab4设椭圆+=1的左右交点分别为F1，F2，点P在椭圆上，且满足=9，则|的值为（）A8B10C12D155已知函数f（x）=+满足条件f
2、（loga（+1）=1，其中a1，则f（loga（1）=（）A1B2C3D46已知x（0，），则函数f（x）=sinxtanx+cosxcotx的值域为（）A1，2）B，+）C（1，D1，+）7设A，B在圆x2+y2=1上运动，且|AB|=，点P在直线3x+4y12=0上运动，则|+|的最小值为（）A3B4CD8函数f（x）=sinxcosx的最小正周期为（）A3BC2D49已知向量=（1，2），=（x，2），且，则|+|=（）A5BC4D10已知x，y均为非负实数，且满足，则z=x+2y的最大值为（）A1BCD211张丘建算经是我国南北朝时期的一部重要数学著作，书中系统的介绍了等差数列，同类
3、结果在三百多年后的印度才首次出现书中有这样一个问题，大意为：某女子善于织布，后一天比前一天织的快，而且每天增加的数量相同，已知第一天织布5尺，一个月（按30天计算）总共织布390尺，问每天增加的数量为多少尺？该问题的答案为（）A尺B尺C尺D尺12设函数f（x）=2sin（2x+），将f（x）图象上每个点的横坐标缩短为原来的一半之后成为函数y=g（x），则g（x）的图象的一条对称轴方程为（）Ax=Bx=Cx=Dx=二、填空题13对任意实数a，b，定义F（a，b）=（a+b|ab|），如果函数f（x）=ln（e2x），g（x）=3x，那么G（x）=F（f（x），g（x）的最大值为14设点P是曲线y
4、=2x2上的一个动点，曲线y=2x2在点P处的切线为l，过点P且与直线l垂直的直线与曲线y=2x2的另一交点为Q，则PQ的最小值为15G（x）表示函数y=2cosx+3的导数，在区间上，随机取值a，G（a）1的概率为16已知函数f（x）=x3+ax2+6x的单调递减区间是2，3，则实数a=三、解答题17设函数f（x）=x2+axlnx（aR）（）若a=1，求函数f（x）的单调区间；（）若函数f（x）在区间（0，1上是减函数，求实数a的取值范围；（）过坐标原点O作曲线y=f（x）的切线，证明：切点的横坐标为118已知函数f（x）=x22a2lnx（a0）（）若f（x）在x=1处取得极值，求实数a
5、的值；（）求函数f（x）的单调区间；（）若f（x）在1，e上没有零点，求实数a的取值范围19某风景区在一个直径AB为100米的半圆形花园中设计一条观光线路（如图所示）在点A与圆弧上的一点C之间设计为直线段小路，在路的两侧边缘种植绿化带；从点C到点B设计为沿弧的弧形小路，在路的一侧边缘种植绿化带（注：小路及绿化带的宽度忽略不计）（1）设BAC=（弧度），将绿化带总长度表示为的函数S（）；（2）试确定的值，使得绿化带总长度最大20已知函数f（x）=lnx，其中aR（）当a=2时，求函数f（x）的图象在点（1，f（1）处的切线方程；（）如果对于任意x（1，+），都有f（x）x+2，求a的取值范围21
6、已知函数f（x）=exax1（a0，e为自然对数的底数）（1）求函数f（x）的最小值；（2）若f（x）0对任意的xR恒成立，求实数a的值；（3）在（2）的条件下，证明：选修4-4：极坐标与参数方程22已知在直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为为参数），在极坐标系（与直角坐标系xOy取相同的长度单位，且以原点O为极点，以x轴正半轴为极轴）中，直线l的方程为sin（+）=2（）求曲线C在极坐标系中的方程；（）求直线l被曲线C截得的弦长2016-2017学年广东省揭阳市普宁市华侨中学高三（上）第三次月考数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题（60分，每题5分）1设i是虚数单位，集合M=z|i
7、z=1，N=z|z+i=1，则集合M与N中元素的乘积是（）A1+iB1iCiDi【考点】复数代数形式的乘除运算【分析】利用复数的运算性质求出集合M，N，则集合M与N中元素的乘积可求【解答】解：集合M=z|iz=1=z|z=i，N=z|z+i=1=z|z=1i，则MN=i（1i）=1i，故选：B2A，B是ABC的两个内角，p：sinAsinBcosAcosB；q：ABC是钝角三角形则p是q成立的（）A充分不必要条件B必要不充分条件C充要条件D既不充分也不必要条件【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断【分析】由两角差的余弦公式，结合充分必要条件的定义判断即可【解答】解：在ABC中，由sinAs
8、inBcosAcosB，得cos（A+B）0，则cosC0，C为钝角，则ABC是钝角三角形，充分性成立，反之，不成立，故选：A3已知a=4，b=4，c=（）则（）AabcBbacCacbDcab【考点】指数函数的图象与性质【分析】利用指数函数的图象及性质进行比较即可【解答】解：由题意：a=4=；b=4=；c=（）=；4.12102.72；所以：acb故选：C4设椭圆+=1的左右交点分别为F1，F2，点P在椭圆上，且满足=9，则|的值为（）A8B10C12D15【考点】椭圆的简单性质；向量在几何中的应用【分析】根据椭圆的定义可判断|PF1|+|PF2|=8，平方得出|PF1|2+|PF2|2，再
9、利用余弦定理求解即可【解答】解：P是椭圆+=1一点，F1、F2分别是椭圆的左、右焦点，|PF1|+|PF2|=8，|F1F2|=4， =9，即|cos=9，16=|2+|22|cos=（|+|）22|PF1|PF2|18=642|PF1|PF2|18=16，|PF1|PF2|=15，故选：D5已知函数f（x）=+满足条件f（loga（+1）=1，其中a1，则f（loga（1）=（）A1B2C3D4【考点】函数的值【分析】化简可得f（x）+f（x）=+=3，从而求得【解答】解：f（x）=+，f（x）=+=+，f（x）+f（x）=+=3，loga（+1）=loga（1），f（loga（+1）+f（
10、loga（1）=3，f（loga（1）=2，故选：B6已知x（0，），则函数f（x）=sinxtanx+cosxcotx的值域为（）A1，2）B，+）C（1，D1，+）【考点】三角函数的最值【分析】化简函数f（x），用换元法令sinx+cosx=t，表示出sinxcosx，t（1，；把f（x）化为f（t），利用导数判断单调性，求出它的最值，即可得出f（x）的值域【解答】解：x（0，）时，函数f（x）=sinxtanx+cosxcotx=+=；令sinx+cosx=t，则t=sin（x+），sinxcosx=；x（0，），sin（x+）（，1，t（1，；f（x）可化为f（t）=，f（t）=0，t
11、（1，时，函数f（t）是单调减函数；当t=时，函数f（t）取得最小值f（）=，且无最大值；函数f（x）的值域是，+）故选：B7设A，B在圆x2+y2=1上运动，且|AB|=，点P在直线3x+4y12=0上运动，则|+|的最小值为（）A3B4CD【考点】直线与圆的位置关系【分析】设AB的中点为D，则由题意， +=+=2+2=2，当且仅当O，D，P三点共线时，|+|取得最小值，此时OP直线3x+4y12=0，OPAB【解答】解：设AB的中点为D，则由题意， +=+=2+2=2，当且仅当O，D，P三点共线时，|+|取得最小值，此时OP直线3x+4y12=0，OPAB，圆心到直线的距离为=，OD=，|
12、+|的最小值为2（）=故选D8函数f（x）=sinxcosx的最小正周期为（）A3BC2D4【考点】二倍角的正弦；三角函数的周期性及其求法【分析】先化简函数，再利用周期公式，即可求得结论【解答】解：由题意，函数f（x）=sinxcosx=sin2x故选B9已知向量=（1，2），=（x，2），且，则|+|=（）A5BC4D【考点】数量积判断两个平面向量的垂直关系；向量的模【分析】根据平面向量的坐标表示与运算性质，列出方程求出x的值，再求模长【解答】解：向量=（1，2），=（x，2），且，x+2（2）=0，解得x=4；+=（5，0），|+|=5故选：A10已知x，y均为非负实数，且满足，则z=x+
13、2y的最大值为（）A1BCD2【考点】简单线性规划【分析】由已知画出可行域，将目标函数变形为直线的斜截式方程，利用其在y在轴的截距最大求z 的最大值【解答】解：由已知得到可行域如图：则z=x+2y变形为y=x，当此直线经过图中的C时，在y 轴的截距最大，且c（0，1），所以z 的最大值为0+21=2；故选D11张丘建算经是我国南北朝时期的一部重要数学著作，书中系统的介绍了等差数列，同类结果在三百多年后的印度才首次出现书中有这样一个问题，大意为：某女子善于织布，后一天比前一天织的快，而且每天增加的数量相同，已知第一天织布5尺，一个月（按30天计算）总共织布390尺，问每天增加的数量为多少尺？该问
14、题的答案为（）A尺B尺C尺D尺【考点】等差数列的通项公式【分析】由题意，该女子从第一天起，每天所织的布的长度成等差数列，其公差为d，由等差数列的前n项和公式能求出公差【解答】解：由题意，该女子从第一天起，每天所织的布的长度成等差数列，记为：a1，a2，a3，an，其公差为d，则a1=5，S30=390，=390，d=故选：B12设函数f（x）=2sin（2x+），将f（x）图象上每个点的横坐标缩短为原来的一半之后成为函数y=g（x），则g（x）的图象的一条对称轴方程为（）Ax=Bx=Cx=Dx=【考点】正弦函数的图象【分析】由条件根据函数y=Asin（x+）的图象变换规律可得得函数图象对应的函
15、数解析式为y=g（x）=2sin（4x+），再利用正弦函数的图象的对称性求得所得函数图象的一条对称轴方程【解答】解：函数f（x）=2sin（2x+），将f（x）图象上每个点的横坐标缩短为原来的一半之后成为函数y=g（x）=2sin（4x+）令4x+=k+，kZ，可解得函数对称轴方程为：x=k+，kZ，当k=0时，x=是函数的一条对称轴故选：D二、填空题13对任意实数a，b，定义F（a，b）=（a+b|ab|），如果函数f（x）=ln（e2x），g（x）=3x，那么G（x）=F（f（x），g（x）的最大值为2【考点】函数的最值及其几何意义【分析】“对任意实数a，b，定义：定义F（a，b）=（a+
16、b|ab|）”的意思是两个函数的函数值进行比较，较大的舍去留下较小的函数值，结合图象即可求出函数值【解答】解：“对任意实数a，b，定义：定义F（a，b）=（a+b|ab|）”的意思是两个函数的函数值进行比较，较大的舍去留下较小的函数值f（x）=ln（e2x）=2+lnx，g（x）=3x，如图示：故G（x）的最大值等于2故答案为：214设点P是曲线y=2x2上的一个动点，曲线y=2x2在点P处的切线为l，过点P且与直线l垂直的直线与曲线y=2x2的另一交点为Q，则PQ的最小值为【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程【分析】设出P点坐标，求导得直线l的斜率，则过点P且与直线l垂直的直线方程可求，和
17、抛物线联立后求出Q点的坐标，利用两点式写出PQ的距离，先利用换元法降幂，然后利用导数求最值【解答】解：设P的坐标为（a，2a2），由y=4x得l的斜率为4a，所以，直线PQ的斜率为=，所以，PQ的方程为：y2a2=（xa），与y=2x2联立，整理得，2x2+x2a2=0，所以，由韦达定理，x1+x2=，x1x2=a2，由弦长公式得，PQ=，令t=4a20g（t）=则g（t）=，可得PQ的最小值为故答案为：15G（x）表示函数y=2cosx+3的导数，在区间上，随机取值a，G（a）1的概率为【考点】几何概型【分析】先求出G（x）的解析式，再根据所给的不等式解出a的范围，再结合几何概率模型的公式P
18、=求出答案即可【解答】解：G（x）表示函数y=2cosx+3的导数G（x）=2sinxG（a）12sina1而x解得x（，），由几何概率模型的公式P=得P=故答案为：16已知函数f（x）=x3+ax2+6x的单调递减区间是2，3，则实数a=【考点】利用导数研究函数的单调性【分析】由f（x）=x2+2ax+6，判断知=4a2240，得，由函数的单调递减区间是2，3，则f（x）=x2+2ax+6=0的根为2和3，则2a=2+3，得a=【解答】解：函数的导数为f（x）=x2+2ax+6，判断知=4a2240，得，由函数的单调递减区间是2，3，则f（x）=x2+2ax+6=0的根为2和3，则2a=2+
19、3，得a=，故答案为：三、解答题17设函数f（x）=x2+axlnx（aR）（）若a=1，求函数f（x）的单调区间；（）若函数f（x）在区间（0，1上是减函数，求实数a的取值范围；（）过坐标原点O作曲线y=f（x）的切线，证明：切点的横坐标为1【考点】利用导数研究函数的单调性；利用导数研究曲线上某点切线方程【分析】（）判断导函数的正负性，求出原函数的单调区间；（）f（x）在区间（0，1上是减函数，即f（x）0在（0，1上恒成立；（）设出切点，利用低斜率的两种表示，列出等式，再根据函数是单调函数，且存在零点，从而说明存在唯一零点【解答】解：（）当a=1时，f（x）=x2+xlnx（x0），当，f
20、（x）的单调递减区间为，单调递增区间（），f（x）在区间（0，1上是减函数，f（x）0对任意x（0，1恒成立，即对任意x（0，1恒成立，对任意x（0，1恒成立，令，ag（x）min，易知g（x）在（0，1单调递减，g（x）min=g（1）=1a1（）设切点为M（t，f（t），切线的斜率，又切线过原点，即：t2+atlnt=2t2+at1，t21+lnt=0，令g（t）=t21+lnt，g（t）在（0，+）上单调递增，又g（1）=0，所以方程t21+lnt=0有唯一解t=1综上，切点的横坐标为118已知函数f（x）=x22a2lnx（a0）（）若f（x）在x=1处取得极值，求实数a的值；（）求函
21、数f（x）的单调区间；（）若f（x）在1，e上没有零点，求实数a的取值范围【考点】利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数的极值【分析】（）利用极值点的导函数为零，求出参数的值，再通过单调性验证参数适合题意；（）利用导函数值的正负求出函数的单调区间；（）利用导函数值研究函数的单调性和极值，必须讨论极值点与区间的位置关系【解答】解：（）f（x）=x22a2lnx（a0）的定义域为（0，+），f（x）在x=1处取得极值，f（1）=0，解得a=1或a=1（舍）a=1当a=1时，x（0，1），f（x）0；x（1，+），f（x）0，所以a的值为1（）令f（x）=0，解得x=a或x=a（舍）当x在（0，
22、+）内变化时，f（x），f（x）的变化情况如下：x（0，a）a（a，+）f（x）0+f（x）极小值由上表知f（x）的单调递增区间为（a，+），单调递减区间为（0，a）（）要使f（x）在1，e上没有零点，只需在1，e上f（x）min0或f（x）max0，又f（1）=10，只须在区间1，e上f（x）min0（1）当ae时，f（x）在区间1，e上单调递减，解得与ae矛盾（2）当1ae时，f（x）在区间1，a）上单调递减，在区间（a，e上单调递增，解得，所以（3）当0a1时，f（x）在区间1，e上单调递增，f（x）min=f（1）0，满足题意综上，a的取值范围为：19某风景区在一个直径AB为100米的
23、半圆形花园中设计一条观光线路（如图所示）在点A与圆弧上的一点C之间设计为直线段小路，在路的两侧边缘种植绿化带；从点C到点B设计为沿弧的弧形小路，在路的一侧边缘种植绿化带（注：小路及绿化带的宽度忽略不计）（1）设BAC=（弧度），将绿化带总长度表示为的函数S（）；（2）试确定的值，使得绿化带总长度最大【考点】弧度制的应用【分析】（1）利用三角函数结合弧长公式，可将绿化带总长度表示为的函数S（）；（2）求导数，确定函数的单调性，即可确定的值，使得绿化带总长度最大【解答】解：（1）由题意，AC=100cos，直径AB为100米，半径为50米，圆心角为2，=100，绿化带总长度S（）=200cos+1
24、00（0，）；（2）S（）=200cos+100，S（）=200sin+100，令S（）=0，可得=函数在（0，）上单调递增，在（，）上单调递减，=时，绿化带总长度最大20已知函数f（x）=lnx，其中aR（）当a=2时，求函数f（x）的图象在点（1，f（1）处的切线方程；（）如果对于任意x（1，+），都有f（x）x+2，求a的取值范围【考点】利用导数研究函数的单调性；利用导数研究曲线上某点切线方程【分析】（）求在某点出的切线方程，关键是求出斜率k，利用导数就可以斜率，再利用点斜式求切线方程（）设g（x）=xlnx+x22x，则g（x）a，只要求出g（x）的最小值就可以【解答】解：（）由，k=
25、f（1）=3，又f（1）=2，函数f（x）的图象在点（1，f（1）处的切线方程为3xy5=0；（）由 f（x）x+2，得，即 axlnx+x22x，设函数g（x）=xlnx+x22x，则 g（x）=lnx+2x1，x（1，+），lnx0，2x10，当x（1，+）时，g（x）=lnx+2x10，函数g（x）在x（1，+）上单调递增，当x（1，+）时，g（x）g（1）=1，对于任意x（1，+），都有f（x）x+2成立，对于任意x（1，+），都有ag（x）成立，a121已知函数f（x）=exax1（a0，e为自然对数的底数）（1）求函数f（x）的最小值；（2）若f（x）0对任意的xR恒成立，求实数a
26、的值；（3）在（2）的条件下，证明：【考点】导数在最大值、最小值问题中的应用；导数的运算【分析】（1）求导函数，确定函数的单调性，从而可得f（x）在x=lna处取得极小值，且为最小值；（2）f（x）0对任意的xR恒成立，即在xR上，f（x）min0由（1），构造函数g（a）=aalna1，所以g（a）0，确定函数的单调性，即可求得实数a的值；（3）由（2）知，对任意实数x均有exx10，即1+xex，令（nN*，k=0，1，2，3，n1），可得，从而有，由此即可证得结论【解答】（1）解：由题意a0，f（x）=exa，由f（x）=exa=0得x=lna当x（，lna）时，f（x）0；当x（lna
27、，+）时，f（x）0f（x）在（，lna）单调递减，在（lna，+）单调递增即f（x）在x=lna处取得极小值，且为最小值，其最小值为f（lna）=elnaalna1=aalna1（2）解：f（x）0对任意的xR恒成立，即在xR上，f（x）min0由（1），设g（a）=aalna1，所以g（a）0由g（a）=1lna1=lna=0得a=1g（a）在区间（0，1）上单调递增，在区间（1，+）上单调递减，g（a）在a=1处取得最大值，而g（1）=0因此g（a）0的解为a=1，a=1（3）证明：由（2）知，对任意实数x均有exx10，即1+xex令（nN*，k=0，1，2，3，n1），则=选修4-4
28、：极坐标与参数方程22已知在直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为为参数），在极坐标系（与直角坐标系xOy取相同的长度单位，且以原点O为极点，以x轴正半轴为极轴）中，直线l的方程为sin（+）=2（）求曲线C在极坐标系中的方程；（）求直线l被曲线C截得的弦长【考点】简单曲线的极坐标方程；直线与圆的位置关系【分析】（1）把曲线C的参数方程利用同角三角函数的基本关系消去参数，化为普通方程，再根据x=cos，y=sin，化为极坐标方程（2）把直线和圆的直角坐标方程联立方程组，求得交点的坐标，再利用两点间的距离公式求得弦长【解答】解：（1）把曲线C的参数方程利用同角三角函数的基本关系消去参数，化为普通方程为（x2）2+y2=4，再化为极坐标方程是 =4cos（2）直线l的直角坐标方程为 x+y4=0，由 求得，或，可得直线l与曲线C的交点坐标为（2，2）（4，0），所以弦长为 =22017年2月11日
