1、核心模块七 应用题专题十九 函数应用题在近三年的高考题中，实际应用题每年必考，常见的有与经济有关即利润最大化和成本最小化为背景的应用题，也有以平面几何图形、空间几何体为背景的图形应用题主要涉及的函数模型有分段函数、三次函数、三角函数等，难度为中档题为主年份填空题解答题2017 T10考察经济背景应用题 T18考察几何图形为背景的应用题2018T17考察几何图形为背景的应用题2019T18 考察解析几何背景的应用题目标 1 分段函数及分式函数模型例 1 为了净化空气，某科研单位根据实验得出，在一定范围内，每喷洒 1 个单位的净化剂，空气中释放的浓度 y(单位：mgm3)随着时间(单位：天)变化的
2、函数关系式近似为y 168x1，0 x4，512x，4x10.若多次喷洒，则某一时刻空气中的净化剂浓度为每次投放的净化剂在相应时刻所释放的浓度之和由实验知，当空气中净化剂的浓度不低于 4 mgm3 时，它才能起到净化空气的作用(1)若一次喷洒 4 个单位的净化剂，则净化时间可达几天？(2)若第一次喷洒 2 个单位的净化剂，6 天后再喷洒 a(1a4)个单位的药剂，要使接下来的 4 天中能够持续有效净化，试求 a 的最小值(精确到 0.1，参考数据：2取 1.4)解析：(1)因为一次喷洒 4 个单位的净化剂，所以浓度 f(x)4y 648x4，0 x4，202x，4x10.则当 0 x4 时，由
3、 648x44，解得 x0，所以此时 0 x4.当 4x10 时，由 202x4，解得 x8，所以此时 4x8.综上，得 0 x8.故一次投放 4 个单位的净化剂，则有效净化时间可达 8 天(2)设从第一次喷洒起，经 x(6x10)天浓度g(x)2512x a168x61 10 x 16a14xa(14x)16a14xa4.因为 14x4,8，而 1a4，所以 4 a4,8，故当且仅当 14x4 a时，g(x)有最小值为 8 aa4.令 8 aa44，解得 2416 2a4，所以 a 的最小值为 2416 21.6.【方法归类】本题中所建立函数为分式函数，对于分式函数首先考虑用基本不等式求解，
4、如果等号不成立，再用导数求解单调性，利用单调性求最值一般地，对于 ycx2dxeaxb(a，c0)都可以考虑先用基本不等式求解【思维变式题组训练】某群体的人均通勤时间，是指单日内该群体中成员从居住地到工作时间的平均用时，某地上班族 S 中的成员仅以自驾或公交方式通勤，分析显示：当 S 中 x%(0 x100)的成员自驾时，自驾群体的人均通勤时间为f(x)30，0 x30，2x1 800 x90，30 x100(单位：分钟)，而公交群体的人均通勤时间不受 x 影响，恒为 40 分钟，试根据上述分析结果回答下列问题：(1)当 x 在什么范围内时，公交群体的人均通勤时间少于自驾群体的人均通勤时间？(
5、2)求该地上班族 S 的人均通勤时间 g(x)的表达式；试讨论 g(x)的单调性，并说明其实际意义解析：(1)2x1 800 x9040.由于 x0，故 x265x9000，解得 45x100.故当 45x100 时，公交群体的人均通勤时间少于自驾群体的人均通勤时间(2)当 0 x30 时，g(x)30 x%40(1x%)40 x10；当 30 x100 时，g(x)2x1 800 x90 x%40(1x%)x25013x10 58.所以 g(x)40 x10，0 x30，x2501310 x58，30 x100.当 0 x32.5 时，g(x)单调递减，当 32.5x100 时，g(x)单调
6、递增，说明，当 S 中有少于 32.5%的成员自驾时，人均通勤时间递减；自驾 32.5%时，人均通勤时间达到最小值；大于 32.5%时，人均通勤时间再次逐渐增大目标 2 高次函数模型例 2 从旅游景点 A 到 B 有一条 100 km 的水路，某轮船公司开设一个游轮观光项目已知游轮每小时使用的燃料费用与速度的立方成正比例，其他费用为每小时 3 240 元，游轮最大时速为 50 km/h，当游轮速度为 10 km/h 时，燃料费用为每小时60 元，单程票价定为 150 元/人(1)若一艘游轮单程以 40 km/h 的速度航行，所载游客为 180 人，则轮船公司获利是多少？(2)如果轮船公司要获取
7、最大利润，游轮的航速为多少？解析：设游轮以 v km/h 的速度航行，游轮单程航行的总费用为 f(v)元，游轮的燃料费用为每小时 kv3 元依题意 k10360，则 k 350.所以 f(v)350v3100v 3 240100v 6v2324 000v.(1)当 v40 时，f(v)6402324 0004017 700(元)轮船公司获得的利润是 15018017 7009 300(元)(2)f(v)12v324 000v212v327 000v2.令 f(v)0，得 v30.当 0v30 时，f(v)0，此时 f(v)单调递减；当 300，此时 f(v)单调递增故当 v30 时，f(v)有
8、极小值，也是最小值，f(30)16 200.所以轮船公司要获取最大利润，游轮的航速应为 30 km/h.答：(1)轮船公司获得的利润是 9 300 元(2)轮船公司要获取最大利润，游轮的航速应为 30 km/h.点评：所建立的函数模型为高次(三次及三次以上)函数或整式与分式结合时，在解模过程中常用导数处理，要注意解题的步骤与解题格式，要注意函数的定义域【思维变式题组训练】某小微企业日均用工人数 a 与日营业利润 f(x)(元)、日人均用工成本 x(元)之间的函数关系为 f(x)13x35x230ax500(x0)(1)若日均用工人数 a20，求日营业利润 f(x)的最大值；(2)由于政府的减税
9、、降费等一系列惠及小微企业政策的扶持，该企业的日人均用工成本 x 的值在区间10,20内，求该企业在确保日营业利润 f(x)不低于 24000 元的情况下，该企业平均每天至少可供多少人就业解析：(1)a20 时，f(x)13x35x2600 x500(x0)，则 f(x)x210 x600(x210 x600)(x20)(x30)因为 x0，所以当 x0,30)时，f(x)0；当 x(30，)时，f(x)0，所以 x30 时，f(x)max13000(元)(2)由13x35x230ax50024000，得 90ax215x73500 x.令 h(x)x215x73500 x，则 h(x)2x1
10、573500 x2.h(x)2x1573500 x2在10,20上是单调增函数，所以 h(x)2x1573500 x2h(20)401573500400 0，L(x)在(0,3)上单调递增；当 x(3,5)时，L(x)0，L(x)在(3,5)上单调递减所以当 x3 时，L(x)取得极大值，也是最大值，故 L(x)maxL(3)43.答：当投入的肥料费用为 300 元时，种植水蜜桃树获得的最大利润是 4 300 元3.盐城市政府响应习总书记在十九大报告中提出的“绿水青山就是金山银山”的号召，对环境进行了大力整治目前盐城市的空气质量位列全国前十，吸引了大量的外地游客某旅行社组织了一个旅游团于近期来
11、到了盐城市黄海国家森林公园数据显示，近期公园中每天空气质量指数近似满足函数 f(x)mlnxx 600 xx21446(4x22，mR)，其中 x 为每天的时刻若在凌晨 6 点时刻，测得空气质量指数为 29.6.(1)求实数 m 的值；(2)求近期每天在4,22时段空气质量指数最高的时刻(参考数值：ln61.8)解析：(1)由题 f(6)29.6，代入 f(x)mlnxx 600 xx21446(4x22，mR)，解得 m12.(2)由已知函数求导得 f(x)12xx600 144x2x21442(12x)1x60012xx21442.令 f(x)0 得 x12，x(4,12)12(12,22
12、)f(x)0f(x)极大值 所以函数在 x12 时取极大值也是最大值，即每天空气质量指数最高的时刻为 12时答：(1)实数 m 的值为 12；(2)每天空气质量指数最高的时刻为 12 时4.某公司代理销售某种品牌小商品，该产品进价为 5 元/件，销售时还需交纳品牌使用费 3 元/件，售价为 x 元/件，其中 10 x30，且 xN*.根据市场调查，当10 x15，且 xN*时，每月的销售量 h(万件)与(18x)2 成正比；当 15x30，且 xN*时，每月的销售量 h(万件)与 110 x 成反比已知售价为 15 元/件时，月销售量为 9 万件(1)求该公司的月利润 f(x)(万元)与每件产
13、品的售价 x(元)的函数关系式；(2)当每件产品的售价为多少元时，该公司的月利润 f(x)最大？并求出最大值解析：(1)设 hk1(18x)2(10 x15，xN*)，hk2110 x(15x30，xN*)，因为当 x15 时，h9，代入上述两式可得 k11，k23.所以 f(x)x818x2，10 x15，xN*，3xx8x10，150，所以 g(t)在 5t20 且 tN*上单调递增，所以当 t20 时，g(t)取最大值 99，此时 x30.综上，当 x11 时，f(x)取最大值 147.答：当每件产品的售价为 11 元时，该公司的月利润 f(x)最大，且最大值为 147 万元5.某辆汽车
14、以 x km/h 的速度在高速公路上匀速行驶(考虑到高速公路行车安全要求 60 x120)时，每小时的油耗(所需要的汽油量)为15xk4 500 x L，其中 k 为常数，且 60k100.(1)若汽车以 120 km/h 的速度行驶时，每小时的油耗为 11.5 L，欲使每小时的油耗不超过 9 L，求 x 的取值范围；(2)求该汽车行驶 100 km 的油耗的最小值解析：(1)由题意，当 x120 时，15120k4 500120 11.5，所以 k100.由15x1004 500 x9，得 x2145x4 5000，所以 45x100.又因为 60 x120，所以 x 的取值范围是60,10
15、0(2)设该汽车行驶 100 km 的油耗为 y L，则y100 x 15xk4 500 x2020kx 90 000 x2(60 x120)令 t1x，则 t1120，160，所以 y90 000t220kt20900 00tk9 000220 k2900，对称轴 tk9 000，因为 60k100，所以k9 0001150，190.若 1120k9 000 190，即 75k100，则当 tk9 000，即 x9 000k时，ymin20 k2900；若 1150k9 000 1120，即 60k75，则当 t 1120，即 x120 时，ymin1054 k6.答：当 75k100 时，
16、该汽车行驶 100 km 的油耗的最小值为 20 k2900；当 60k75 时，该汽车行驶 100 km 的油耗的最小值为1054 k6.6.某地拟建一座长为 640 米的大桥 AB，假设桥墩等距离分布，经设计部门测算，两端桥墩 A，B 造价总共为 100 万元，当相邻两个桥墩的距离为 x 米时(其中64x100)，中间每个桥墩的平均造价为803x万元，桥面每 1 米长的平均造价为2x x640 万元(1)试将桥的总造价表示为 x 的函数 f(x)；(2)为使桥的总造价最低，试问：这座大桥中间(两端桥墩 A，B 除外)应建多少个桥墩？解析：(1)由桥的总长为 640 米，相邻两个桥墩的距离为 x 米，知中间共有640 x 1个桥墩，于是桥的总造价 f(x)6402x x640 803x640 x 1 100，由 f(x)0，解得 x180，x26409(舍去)又当 x(64,80)时，f(x)0，所以当 x80 时桥的总造价最低，此时桥墩数为64080 17.
