1、第六章 数 列 第三节 等比数列及其前 n 项和 1.理解等比数列的概念，掌握等比数列的通项公式及前 n项和公式；2.能在具体的问题情境中识别数列的等比关系，并能用有关知识解决相应的问题；3.了解等比数列与指数函数的关系.知 识梳 理 诊 断 1等比数列的有关概念(1)等比数列的有关概念一般地，如果一个数列从_起，每一项与它的前一项的比等于_，那么这个数列叫做等比数列这个常数叫做等比数列的_，通常用字母_表示(2)等比中项如果三个数 a，G，b 成等比数列，则 G 叫做 a 和 b 的等比中项，那么_，即_.第2项同一常数公比qGabGG2ab2等比数列的有关公式(1)等比数列的通项公式设等比
2、数列an的首项为 a1，公比为 q，q0，则它的通项公式 an_.(2)等比数列的前 n 项和公式等比数列an的公比为 q(q0)，其前 n 项和为 Sn，当 q1 时，Sn_；当 q1 时，Sn_.a1qn1na1a11qn1qa1anq1q3等比数列的性质(1)通项公式的推广：anam_(n，mN*)(2)若an为等比数列，且 klmn(k，l，m，nN*)，则 akalaman.(3)若an，bn(项数相同)是等比数列，则an(0)，1an，a2n，anan，anbn 仍是等比数列(4)公比不为1 的等比数列an的前 n 项和为 Sn，则 Sn，S2nSn，S3nS2n 仍成等比数列，其
3、公比为_.qnmqn1判断下列结论的正误(正确的打“”，错误的打“”)(1)常数列一定是等比数列()(2)等比数列中不存在数值为 0 的项()(3)满足 an1qan(nN*，q 为常数)的数列an为等比数列()(4)G 为 a，b 的等比中项G2ab.()(5)q1 时，等比数列an是递增数列()答案(1)(2)(3)(4)(5)2已知等比数列an中，a44，则 a2a6 等于()A4B8C16D32解析 易知 a2a6a2416.答案 C3已知数列an满足 a21,3an1an0(nN*)，则数列an的前 10 项和 S10 为()A.94(3101)B.94(3101)C.94(3101
4、)D.94(3101)解析 由 3an1an0，得an1an 13，则数列an为等比数列，公比 q13，所以 a1 a2133，所以 S10a11qn1q94(3101)答案 D4已知数列an，则“an，an1，an2(nN*)成等比数列”是“a2n1anan2”的()A充分不必要条件B必要不充分条件C充要条件D既不充分也不必要条件解析 若 an，an1，an2(nN*)成等比数列，则 a2n1anan2 成立；反之不成立，如当 anan10 时，满足 a2n1anan2，但 an，an1，an2(nN*)不成等比数列故“an，an1，an2(nN*)成等比数列”是“a2n1anan2”的充分
5、不必要条件答案 A5已知an是由正数组成的等比数列，Sn 为其前 n 项和若 a2a416，S37，则 S4()A15B31C63D.1327解析 因为数列an中各项均为正数，所以 a3 a2a44，设数列的公比为 q，由 S37 得 S23，即 a1(1q)3，又 a3a1q24，所以 4q2(1q)3，解得 q23(舍去)或 q2，所以 a4a3q8，所以 S4S3a415.故选 A.答案 A6已知在等比数列an中，a21，则其前 3 项的和 S3的取值范围是_解析 因为 a21，所以 S3 a1a2a3a21q1q1q1q，所以当公比 q0 时，S31q1q12 q1q3；当公比 q0，
6、由题意得，a1qa1q31，a11q31q7，解得 a14，q12.S5a11q51q41 125112314.(3)由题意得a1a1q39，a21q38，由式得 q3 8a21，代入式得 a11，q2 或 a18，q12(舍去)Sn12n12 2n1.(4)因为 a8a2q6，a6a2q4，a4a2q2，所以由 a8a62a4 得 a2q6a2q42a2q2，消去 a2q2，得到关于 q2 的一元二次方程(q2)2q220，解得 q22，a6a2q41224.答案(1)B(2)B(3)2n1(4)4等比数列基本运算的解题技巧(1)求等比数列的基本量问题，其核心思想是解方程(组)，一般步骤是：
7、由已知条件列出首项和公比的方程(组)；求出首项和公比；求出项数或前 n 项和等其余量(2)运用整体思想，达到设而不求的目的；运用等比定理，即 qa2a1a3a2 anan1 a2a3ana1a2an1达到化简目的；运用分类讨论思想，讨论 q1 和 q1 等问题考点二 等比数列的性质共研型 角度 1：等比数列项的性质及应用(1)(2017浙江宁波效实中学期中)在各项均为正数的等比数列an中，a3 21，a5 21，则 a232a2a6a3a7()A8B6C4D84 2(2)(2016洛阳三模)设等比数列an的各项均为正数，且a5a6a4a718，则 log3a1log3a2log3a10_.解析
8、(1)数列an是等比数列，a232a2a6a3a7a232a3a5a25(a3a5)28，故选 A.(2)由题意可得 a5a6a4a72a5a618，解得 a5a69，log3a1log3a2log3a10log3(a1a2a10)log3(a5a6)5log395log331010.答案(1)A(2)10角度 2：等比数列和的性质及应用(1)设等比数列an的前 n 项和为 Sn，若 S10S512，则S5S10S15S10S5()A.72B92C.92D72(2)设等比数列an的前 n 项和为 Sn，若 S48，S812，则 a13a14a15a16_.解析(1)因为 S10S512，所以
9、S1012S5，所以 S10S512S5.由等比数列的性质得，S5，12S5，S1512S5 成等比数列，所以14S25S5S1512S5，得 S1534S5，所以S5S10S15S10S5S512S534S512S592.(2)由 S82S4 可知，公比 q1，则 S4，S8S4，S12S8，S16S12 成等比数列，公比为S8S4S412，故 a13a14a15a16S16S12S41231.答案(1)B(2)1解决数列求值问题时要善于利用等比数列及其前 n 项和的性质求解，熟练掌握等比数列及其前 n 项和的常用性质能起到事半功倍的效果在应用相应性质解题时，要注意性质成立的前提条件，有时需
10、要进行适当变形此外，解题时注意设而不求的思想1角度 1(2016山东淄博一模)已知等比数列an的公比为正数，且 a3a92a25，a22，则 a1()A.12B.22C.2D2解析 由已知及等比数列的性质得 a3a9a262a25，q0，a6 2a5，qa6a5 2，a1a2q 2，故选 C.答案 C2角度 2(2016山西四校联考)若等比数列an的前 n项和为 Sn，且S4S25，则S8S4_.解析 由等比数列的性质可知，S2，S4S2，S6S4，S8S6 成等比数列，若设 S2a，则 S45a，由(S4S2)2S2(S6S4)得 S621a，同理得 S885a，所以S8S485a5a 17
11、.答案 17考点三 等比数列的判定与证明互动型 (2016全国卷)已知数列an的前 n 项和 Sn1an，其中 0.(1)证明an是等比数列，并求其通项公式；(2)若 S53132，求.解(1)证明：由题意得 a1S11a1，故 1，a111，a10.由 Sn1an，Sn11an1 得 an1an1an，即 an1(1)an.由 a10，0 得 an0，所以an1an 1.因此an是首项为11，公比为1的等比数列，于是 an111n1.(2)由(1)得 Sn11n.由 S53132得 1153132，即15 132.解得 1.等比数列的判断与证明的常用方法方法要点适合类型定义法在 an0(nN
12、*)前提下，若an1an q(q为非零常数)或 anan1q(q 为非零常数，n2 且 nN*)，则an是等比数列等比中项法数列an中，an0，如果根据已知条件能化简得到 a2n1anan2(nN*)，或者是证明此式成立，则数列an是等比数列解答题中的证明问题通项公式法观察已知信息，或者是计算出数列的通项公式，若可以写成 ancqn1(c，q 均是不为 0 的常数，nN*)，则an是等比数列前 n项和公式法若数列an的前 n 项和 Snkqnk(k 为常数且 k0，q0,1)，则数列an是等比数列选择、填空题中的判定问题1已知数列an的前 n 项和 Sn3n1，则数列an的通项公式为_解析 由
13、 Sn3n1 可知，数列an是首项为 2，公比为 3 的等比数列，故 an23n1.答案 an23n12(2016陕西宝鸡质检)已知数列an满足 a15，a25，an1an6an1(n2)(1)求证：an12an是等比数列；(2)求数列an的通项公式解(1)证明：an1an6an1(n2)，an12an3an6an13(an2an1)(n2)又 a15，a25，a22a115，an2an10(n2)，an12anan2an13(n2)，数列an12an是以 15 为首项，3 为公比的等比数列(2)由(1)得 an12an153n153n，则 an12an53n，an13n12(an3n)又a1
14、32，an3n0，an3n是以 2 为首项，2 为公比的等比数列an3n2(2)n1，即 an(2)n3n(nN*)课 堂归 纳 小 结 方法技巧1.方程的思想等比数列中有五个量a1，n，q，an，Sn，一般可以“知三求二”，通过列方程(组)求关键量a1和q.2解题中要注意选用等比数列的性质，减少运算量如a1ana2an1amanm1.3函数的思想通项公式ana1qn1可化为anqn，因此an是关于n的函数，即an中的各项所表示的点(n，an)在曲线yqx上，是一群孤立的点4分类思想当q1时，an的前n项和Snna1；当q1时，an的前n项和Sn.等比数列的前n项和公式涉及对公比q的分类讨论，
15、此处是常考易错点.a1qa1qa11qn1qa1anq1q易错点睛1.特别注意q1时，Snna1这一特殊情况2由an1qan，q0，并不能立即断言an为等比数列，还要验证a10.3在运用等比数列的前n项和公式时，必须注意对q1与q1分类讨论，防止因忽略q1这一特殊情形而导致解题失误.名 师微 课 导 学 课题 31：分类讨论思想在等比数列中的应用名师导学：含字母参数的等比数列求和问题要对公比 q1，q1 分类讨论；等比数列的单调性的判断与 a1，q 的取值有关 设等比数列an的公比为 q，前 n 项和 Sn0(n1,2,3，)则 q 的取值范围为_切入点 Sn 与 q 的关系关键点 按 q 的
16、取值结合 Sn0，分类讨论判断即可解析 因为an为等比数列，Sn0，可以得到 a1S10，q0，当 q1 时，Snna10；当 q1 时，Sna11qn1q0，即 1qn1q 0(n 1,2,3，)，上 式 等 价 于 不 等 式 组1q0，1qn0，1qn0，(n1,2,3，)解式得 q1，解式，由于 n 可为奇数，可为偶数，得1q1.综上，q 的取值范围是(1,0)(0，)答案(1,0)(0，)(1)在应用公式 Sna11qn1q 或 Sna1anq1q 求和时，应注意公式的使用条件为 q1，而当 q1 时，应按常数列求和，即Snna1.因此，对含有字母参数的等比数列求和时，应分 q1和
17、q1 两种情况进行讨论，体现了分类讨论的思想(2)含有字母参数的等比数列的单调性应按 a1，q 的取值进行分类讨论1已知数列an的前 n 项和为 Snan1(a 是不为 0 的实数)，则an()A一定是等比数列B一定是等差数列C是等差数列或是等比数列D既不可能是等差数列，也不可能是等比数列解析 当 a1 时，an的各项都为 0，这个数列是等差数列，但不是等比数列；当 a1 时，由 Snan1 知，an是等比数列，但不是等差数列，故选 C.答案 C2(2016山西八校期末联考)数列an的通项公式为 anaqn，则an为递增数列的一个充分不必要条件是()Aa0，q1Ba0，q0，q0Da0,0q12解析 an1anaqn1aqnaqn(q1)，当 a0,0q0，q10，即 an1an，该数列是递增数列；当数列是递增数列，有可能 a0，q1，故数列为递增数列的一个充分不必要条件是 a0,0q12，故选 D.答案 D请做：课时跟踪训练（三十一）
