1、数列的通项公式与递推公式(20分钟35分)1.数列,的递推公式可以是()A.an=(nN*)B.an=(nN*)C.a1=,an+1=an(nN*)D.a1=,an+1=2an(nN*)【解析】选C.数列从第2项起,后一项是前一项的,故递推公式为a1=,an+1=an(nN*).2.已知数列an的首项为a1=1,且满足an+1=an+,则此数列的第4项是()A.1B.C.D.【解析】选B.由a1=1,所以a2=a1+=1,a3=a2+=,a4=a3+=.【补偿训练】 数列an中,an+1=an+2-an,a1=2,a2=5,则a5=()A.-3B.-11C.-5D.19【解析】选D.a3=a2
2、+a1=5+2=7,a4=a3+a2=7+5=12,a5=a4+a3=12+7=19.3.已知数列an,a1=1,ln an+1-ln an=1,则数列an的通项公式是()A.an=nB.an=C.an=en-1D.an=【解析】选C.因为ln an+1-ln an=1,所以ln=1.所以=e.由累乘法可得an=en-1.4.已知数列an满足a1=1,an=nan-1(n2),则a5=_.【解析】因为an=nan-1,且n2,所以当n=2时,a2=2a1=2;当n=3时,a3=3a2=6;当n=4时,a4=4a3=24;当n=5时,a5=5a4=120.答案:1205.已知数列an通项公式为a
3、n=|n-|,则an的最小值为_,此时n的值为_.【解析】依题意,an=当n3且nN*时,an单调递减,所以最小值为a3=;当n4且nN*时,an单调递增,所以最小值为a4=;综上an的最小值为,此时n的值为3.答案:36.根据下列条件,写出数列的前四项,并归纳猜想它的通项公式.(1)a1=1,an+1=an+(nN*);(2)a1=2,a2=3,an+2=3an+1-2an(nN*).【解析】(1)a1=1,a2=,a3=2,a4=.猜想an=.(2)a1=2,a2=3,a3=5,a4=9.猜想an=2n-1+1. (30分钟60分)一、选择题(每小题5分,共25分)1.如表定义函数f(x)
4、:x12345f(x)54312对于数列an,a1=4,an=f(an-1),n=2,3,4,则a2 021的值是()A.1B.2C.5D.4【解析】选D.a1=4,an=f(an-1),所以a2=f(a1)=f(4)=1,a3=f(a2)=f(1)=5,a4=f(a3)=f(5)=2,a5=f(a4)=f(2)=4,a6=f(a5)=f(4)=1,由上可知,数列an是4,1,5,2,4,1,是周期为4的周期数列,a2 021=a2 020+1=a1=4.【补偿训练】 已知,在数列an中,a1=3,a2=6,且an+2=an+1-an,则a2 012=()A.3B.-3C.6D.-6【解析】选
5、C.由题意知:a3=a2-a1=3,a4=a3-a2=-3,a5=a4-a3=-6,a6=a5-a4=-3,a7=a6-a5=3,a8=a7-a6=6,a9=a8-a7=3,a10=a9-a8=-3,故知an是周期为6的数列,所以a2 012=a2=6.2.古希腊人常用小石子在沙滩上摆成各种形状来研究数,如图所示.他们研究过图中的1,5,12,22,由于这些数能够表示成五角形,将其称为五角形数,设第n个五角形数为an,则当n2时,an与an-1的关系为()A.an=an-1+n+2B.an=an-1+3n-2C.an=an-1+2nD.an=an-1+3n【解析】选B.观察图形,发现a1=1,
6、a2=a1+4,a3=a2+7,a4=a3+10,猜测当n2时,an=an-1+3n-2.3.已知a1=1,an=n(an+1-an)(nN*),则数列an的通项公式是()A.an=2n-1B.an=C.an=n2D.an=n【解析】选D.方法一:由已知整理,得(n+1)an=nan+1,所以=,所以数列是常数列,且=1,所以an=n.方法二:当n2时,=,=,=,=,两边分别相乘,得=n.因为a1=1,所以an=n.又a1=1也符合上式,所以an=n.4.已知an=(nN*),则在数列an的前30项中最大项和最小项分别是()A.a1,a30B.a1,a9C.a10,a9D.a10,a30【解
7、析】选C.an=1+,该函数在(0,)和(,+)上都是递减的,图象如图,因为910.所以这个数列的前30项中的最大项和最小项分别是a10,a9.5.已知数列an满足an=若对于任意的nN*都有anan+1成立,则实数a的取值范围是()A.(1,4)B.(2,5)C.(1,6)D.(4,6)【解析】选A.因为对于任意的nN*都有anan+1成立,所以数列an单调递增,所以应满足解得1a4.故实数a的取值范围是(1,4).二、填空题(每小题5分,共15分)6.在数列an中,a1=1,anan-1=an-1+(-1)n(n2,nN*),则=_.【解析】依题意得a2=1+(-1)2=2,所以2a3=2
8、+(-1)3,解得a3=,所以a4=+(-1)4,解得a4=3,所以3a5=3+(-1)5,解得a5=,得=.答案:7.已知数列an满足a1=2,a2=5,a3=23,且an+1=an+,则,的值分别为_.【解析】因为an+1=an+,所以即解得答案:6,-78.已知an=n2-tn+2 020(nN*,tR),若数列an中最小项为第3项,则t_.【解析】因为已知an=n2-tn+2 020(nN*,tR),因为数列an中最小项为第3项,所以,求得 5t7.答案:(5,7)三、解答题(每小题10分,共20分)9.已知函数f(x)=,设an=f(n)(nN*).(1)求证:an1;(2)an是递
9、增数列还是递减数列?为什么?【解析】(1)an=f(n)= =1- 0,所以an+1an,所以an是递增数列.10.已知数列an满足a1=,n2时,anan-1=an-1-an,求数列an的通项公式.【解析】因为anan-1=an-1-an,所以-=1.所以n2时,=+=2+=n+1.所以=n+1,所以当n2时,an=.当n=1时,a1=也适合上式,所以an=(nN*).1.意大利数学家列昂那多斐波那契以兔子繁殖为例,引入“兔子数列”:1,1,2,3,5,8,13,21,34,55,即F(1)=F(2)=1,F(n)=F(n-1)+F(n-2)(n3,nN*),此数列在现代物理“准晶体结构”、
10、化学等都有着广泛的应用.若此数列被2整除后的余数构成一个新数列an,则数列an的前2 019项的和为()A.672B.673C.1 346D.2 019【解题指南】由已知写出数列an的前若干项,观察发现此数列周期为3,继而可得解.【解析】选C.因为an是“兔子数列”被2整除后的余数构成的数列,所以由“兔子数列”得a1=1,a2=1,a3=0,a4=1,a5=1,a6=0,a7=1,a8=1,a9=0,由不完全归纳可得an是以3为周期的数列,所以S2 019=673(a1+a2+a3)=6732=1 346.2.已知数列an满足:a1=m(m为正整数),an+1=若a6=1,求m所有可能的取值.【解析】若a5为奇数,则3a5+1=1,a5=0(舍去).若a5为偶数,则=1,a5=2.若a4为奇数,则3a4+1=2,a4=(舍去).若a4为偶数,则=2,a4=4.若a3为奇数,则3a3+1=4,a3=1,则a2=2,a1=4.若a3为偶数,则=4,a3=8,若a2为奇数,则3a2+1=8,a2=(舍去).若a2为偶数,则=8,a2=16.若a1为奇数,则3a1+1=16,a1=5.若a1为偶数,则=16,a1=32.故m所有可能的取值为4,5,32.
