1、3.1.2椭圆的简单几何性质A级必备知识基础练1.已知焦点在x轴上的椭圆的长轴长是8,离心率是34,则此椭圆的标准方程是()A.x216+y27=1B.x27+y216=1C.x264+y228=1D.x228+y264=12.(2022天津三中高二期中)椭圆x2+2y2=2与2x2+y2=1的关系为()A.有相同的长轴长与短轴长B.有相同的焦距C.有相同的焦点D.有相同的离心率3.古希腊数学家阿基米德利用“逼近法”得到椭圆的面积除以圆周率等于椭圆的长半轴长与短半轴长的乘积.若椭圆C的中心为原点,焦点F1,F2均在x轴上,面积为23,且短轴长为23,则C的标准方程为()A.x212+y2=1B
2、.x24+y23=1C.x23+y24=1D.x216+y23=14.(2022广东人大附中深圳学校高二期中)焦点在x轴上,右焦点到短轴端点的距离为2,到最左的点的距离为3的椭圆的标准方程是()A.x24+y23=1B.x24+y2=1C.x22+y2=1D.x2+y24=15.以椭圆y29+x24=1的长轴端点作为短轴端点,且过点(-4,1)的椭圆的焦距是()A.16B.12C.8D.66.(多选题)(2022河北唐县一中高二期中)若椭圆C:x2m+y2m2-1=1的一个焦点坐标为(0,1),则下列结论正确的有()A.m=2B.C的长轴长为3C.C的短轴长为2D.C的离心率为337.若椭圆x
3、2+my2=1的焦点在y轴上,且长轴长是短轴长的2倍,则实数m的值为.8.已知椭圆C的对称中心为坐标原点,对称轴为坐标轴,C的离心率为12,且点P(1,1)到C的一个焦点的距离为10,求C的标准方程.B级关键能力提升练9.在手工课上,王老师带领同学们一起制作了一个近似鸟巢的金属模型,其俯视图可近似看成是两个大小不同,扁平程度相同的椭圆,已知大椭圆的长轴长为40 cm,短轴长为20 cm,小椭圆的短轴长为10 cm,则小椭圆的长轴长为()A.30 cmB.20 cmC.10 cmD.103 cm10.(2022浙江宁波北仑中学高二月考)若将一个椭圆绕其中心旋转90,所得椭圆的短轴两顶点恰好是旋转
4、前椭圆的两焦点,这样的椭圆称为“对偶椭圆”.下列椭圆是“对偶椭圆”的是()A.x28+y24=1B.x23+y25=1C.x26+y22=1D.x26+y29=111.(2022吉林田家炳高级中学高二期中)已知椭圆x2a2+y2b2=1(ab0)的左、右焦点分别为F1(-c,0),F2(c,0),点P在椭圆上,且PF1F2=30,PF2F1=60,则椭圆的离心率等于()A.2-1B.3-1C.3+22D.5-312.如图,椭圆的中心在原点O,顶点是A1,A2,B1,B2,焦点为F1,F2,延长B1F2与A2B2交于P点,若B1PA2为钝角,则此椭圆的离心率的取值范围为()A.0,5+14B.5
5、+14,1C.0,5-12D.5-12,113.(多选题)若椭圆上存在点P,使得点P到椭圆的两个焦点的距离之比为21,则称该椭圆为“倍径椭圆”,则下列椭圆中为“倍径椭圆”的是()A.x216+y215=1B.x28+y29=1C.x225+y221=1D.x233+y236=114.如图,椭圆x2a2+y2b2=1(ab0)的左、右焦点分别为F1,F2,过椭圆上的点P作y轴的垂线,垂足为Q,若四边形F1F2PQ为菱形,则该椭圆的离心率为.15.已知椭圆E的中心为原点O,两个焦点分别为A(-1,0),B(1,0),一个顶点为H(2,0).(1)求椭圆E的标准方程;(2)对于x轴上的点P(t,0)
6、,椭圆E上存在点M,使得MPMH,求实数t的取值范围.C级学科素养创新练16.(2022浙江宁波高二期中)如图,F1,F2分别是椭圆的左、右焦点,点P是以F1F2为直径的圆与椭圆在第一象限内的一个交点,延长PF2与椭圆交于点Q.若|PF1|=4|QF2|,则直线PF2的斜率为()A.-2B.-1C.-12D.1参考答案3.1.2椭圆的简单几何性质1.A由题意知2a=8,解得a=4.又e=34,即c4=34,解得c=3.所以b2=a2-c2=7.又椭圆的焦点在x轴上,所以椭圆的标准方程为x216+y27=1.故选A.2.D椭圆x2+2y2=2可化为x22+y2=1,由此可得长轴长为22,短轴长为
7、2,焦距为2,离心率为22,且焦点在x轴上;2x2+y2=1可化为x212+y2=1,由此可得长轴长为2,短轴长为2,焦距为2,离心率为22,且焦点在y轴上.可得A,B,C不正确,D正确.故选D.3.B由题意可得ab=23,2b=23,解得a=2,b=3.因为椭圆C的焦点在x轴上,所以C的标准方程为x24+y23=1.故选B.4.A根据题意,设椭圆的标准方程为x2a2+y2b2=1(ab0),若右焦点到短轴端点的距离为2,则c2+b2=4,即a2=4,则a=2.又右焦点到椭圆最左的点的距离为3,则a+c=3,即c=1,则b2=a2-c2=4-1=3.故椭圆的标准方程为x24+y23=1.故选A
8、.5.D因为椭圆y29+x24=1的长轴端点为(0,3),所以可设所求的椭圆的标准方程为x2a2+y29=1.椭圆经过点(-4,1),16a2+19=1,解得a2=18,则c=3.因此,所求椭圆的焦距为6.故选D.6.AD由已知可得m2-m-1=1,解得m=2或m=-1(舍去),椭圆C的标准方程为y23+x22=1.长轴长为23,短轴长为22,离心率为33.故选AD.7.14椭圆x2+my2=1的焦点在y轴上,长轴长是短轴长的2倍,1m=2,m=14.8.解当焦点F在x轴上时,设F(m,0),则|PF|=(m-1)2+(0-1)2=10,解得m=4或m=-2,则c=4或c=2.当c=4时,由c
9、a=12,得a=8,则b2=a2-c2=48,此时C的标准方程为x264+y248=1;当c=2时,由ca=12,得a=4时,则b2=a2-c2=12,此时,C的标准方程为x216+y212=1.当焦点F在y轴上时,设F(0,m),则|PF|=(0-1)2+(m-1)2=10,解得m=4或m=-2,则c=4或c=2.当c=4时,由ca=12,得a=8,则b2=a2-c2=48,此时,C的标准方程为y264+x248=1;当c=2时,由ca=12,得a=4,则b2=a2-c2=12,此时C的标准方程为y216+x212=1.综上,C的标准方程为x264+y248=1或x216+y212=1或y2
10、64+x248=1或y216+x212=1.9.B设小椭圆的长半轴长为a小.因为两个椭圆的扁平程度相同,所以两个椭圆的离心率相同,所以4020=2a小10,所以小椭圆的长轴长为20cm.故选B.10.A因为旋转后椭圆的短轴两顶点恰好是旋转前椭圆的两焦点,所以2b=2c,即b=c.A中,因为a2=8,b2=4,所以c2=a2-b2=4,故b=c;B中,因为a2=5,b2=3,所以c2=a2-b2=23;C中,因为a2=6,b2=2,所以c2=a2-b2=42;D中,因为a2=9,b2=6,所以c2=a2-b2=36.故选A.11.BPF1F2=30,PF2F1=60,|F1F2|=2c,PF1F
11、2是直角三角形,|PF2|=c,|PF1|=3c.由椭圆的定义可得|PF1|+|PF2|=2a,3c+c=2a,e=ca=23+1=3-1.故选B.12.D因为B1PA2为钝角,所以F2B1B2A20,即(-c,-b)(a,-b)0,整理可得b2aca2-c2-ac0,解得e5-12或e-5-12.又e(0,1),所以5-12e1.故选D.13.BC假设椭圆上存在点P,使得|PF1|=2|PF2|,则|PF1|+|PF2|=2|PF2|+|PF2|=3|PF2|=2a,即|PF2|=2a3,|PF1|=4a3.因为|PF2|a-c,所以2a3a-c,即a3c.经检验,A,D不满足要求,B,C满
12、足要求.故选BC.14.3-12根据题意可得|QF1|=|F1F2|=|PF2|=2c.在直角三角形QF1O中,因为|QF1|=2c,|F1O|=c,所以QF1O=60,所以|PF1|=22ccos30=23c,所以|PF1|+|PF2|=23c+2c=2a,所以e=ca=13+1=3-12.15.解(1)由题意可得,c=1,a=2,b=3.所求椭圆E的标准方程为x24+y23=1.(2)设M(x0,y0)(x02),则x024+y023=1.MP=(t-x0,-y0),MH=(2-x0,-y0),由MPMH可得MPMH=0,即(t-x0)(2-x0)+y02=0.由消去y0,整理得t(2-x0)=-14x02+2x0-3.x02,t=-14x02+2x0-32-x0=14x0-32.-2x02,-2t0),|PF1|=4|QF2|,|PF1|=4m.|PF2|=2a-|PF1|=2a-4m,|QF1|=2a-|QF2|=2a-m.|PQ|=2a-4m+m=2a-3m.在PF1Q中,F1PQ=90,|QF1|2=|PF1|2+|PQ|2,即(2a-m)2=(4m)2+(2a-3m)2,解得a=3m,|PF2|=2m.tanPF2F1=|PF1|PF2|=4m2m=2.直线PF2的斜率为k=tan(180-PF2F1)=-2,故选A.
