1、专题17 图形的变化之解答题（14道题）一解答题（共14小题）1（2019门头沟区二模）如图，在等边三角形ABC中，点D为BC边上的一点，点D关于直线AB的对称点为点E，连接AD、DE，在AD上取点F，使得EFD60，射线EF与AC交于点G（1）设BAD，求AGE的度数（用含的代数式表示）；（2）用等式表示线段CG与BD之间的数量关系，并证明【答案】解：（1）ABC是等边三角形，BAC60，BAD，FAG60，AFGEFD60，AGE18060（60）60+；（2）CG2BD，理由是：如图，连接BE，过B作BPEG，交AC于P，则BPCEGP，点D关于直线AB的对称点为点E，ABEABD60，
2、C60，EBD+C180，EBGP，四边形EBPG是平行四边形，BEPG，DFG+C120+60180，FGC+FDC180，ADBBGPBPC，ABBC，ABDC60，ABDBCP（AAS），BDPCBEPG，CG2BD【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质，等边三角形的性质，平行四边形的判定和性质，对称的性质，添加恰当的辅助线构造全等三角形是本题的关键2（2019东城区二模）如图，在ABC中，ABAC，D为BC中点，AEBD，且AEBD（1）求证：四边形AEBD是矩形；（2）连接CE交AB于点F，若ABE30，AE2，求EF的长【答案】（1）证明：AEBD，AEBD，四边形AEBD是平行
3、四边形，ABAC，D为BC的中点，ADBC，ADB90，四边形AEBD是矩形（2）解：四边形AEBD是矩形，AEB90，ABE30，AE2，BE2，BC4，EC2，AEBC，AEFBCF，EFEC【点睛】本题考查相似三角形的判定和性质，矩形的判定和性质等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型3（2019东城区二模）如图，ABC为等边三角形，点P是线段AC上一动点（点P不与A，C重合），连接BP，过点A作直线BP的垂线段，垂足为点D，将线段AD绕点A逆时针旋转60得到线段AE，连接DE，CE（1）求证：BDCE；（2）延长ED交BC于点F，求证：F为BC的中点；（3）在（2）的条件
4、下，若ABC的边长为1，直接写出EF的最大值【答案】证明：（1）将线段AD绕点A逆时针旋转60得到线段AE，ADAE，DAE60ADE是等边三角形ABC为等边三角形ABAC，BACDAE60DABCAE，且ABAC，ADAEADBAEC（SAS）BDCE（2）如图，过点C作CGBP，交EF的延长线于点G，ADB90，ADE60BDG30CGBPGBDG30，ADBAECBDCE，ADBAEC90GECAECAED30GGEC30GCCE，CGBD，且BDGG，BFDGFCBFDCFG（AAS）BFFC点F是BC中点（3）如图，连接AF，ABC是等边三角形，BFFCAFBCAFC90AFCAEC
5、90点A，点F，点C，点E四点在以AC为直径的圆上，EF最大为直径，即最大值为1【点睛】本题是几何变换综合题，考查了等边三角形的性质，全等三角形的判定和性质，旋转的性质，添加恰当辅助线构造全等三角形是本题的关键4（2019平谷区二模）在等边三角形ABC外侧作射线AP，BAP，点B关于射线AP的对称点为点D，连接CD交AP于点E（1）依据题意补全图形；（2）当20时，ADC40；AEC60；（3）连接BE，求证：AECBEC；（4）当060时，用等式表示线段AE，CD，DE之间的数量关系，并证明【答案】解：（1）如图，补全图形：（2）连接AD，三角形ABC为等边三角形，ABACBC，BACABC
6、ACB60，由对称可知，ADAB，ADAC，BAP20，DAB40，DAC40+60100，ADCACD，AECADC+DAE40+2060，故答案为40，60；（3）由对称可知，BAEDAE，ADABAC，ADC，AEC60，ACB60，ACDADC60，BCE，ABC60，ABEADC60，BEC60，AECBEC；（4）当060时，CD2DE+AE，证明：在CD上截取BGBE，BEC60，BGE是等边三角形，BGCAED120，BCEDAE，BCGDAE（AAS），AECG，EGBEDE，CD2DE+CG，即CD2DE+AE【点睛】本题考查了轴对称，熟练运用等边三角形的性质是解题的关键5
7、（2019顺义区二模）已知：在ABC中，BAC90，ABAC（1）如图1，将线段AC绕点A逆时针旋转60得到AD，连结CD、BD，BAC的平分线交BD于点E，连结CE求证：AEDCED；用等式表示线段AE、CE、BD之间的数量关系（直接写出结果）；（2）在图2中，若将线段AC绕点A顺时针旋转60得到AD，连结CD、BD，BAC的平分线交BD的延长线于点E，连结CE请补全图形，并用等式表示线段AE、CE、BD之间的数量关系，并证明【答案】证明：（1）将线段AC绕点A逆时针旋转60得到AD，ACAD，DAC60BADBAC+CAD150，且ABACAD3515BAC90，ABAC，AE平分BAC1
8、245，ABCACB45又AEAE，ABEACE（SAS）34156730DEC6+760AED3+160AEDCEDBD2CE+AE理由如下：过点A作AHBD于点H，EBCECBBECE，AED60，AHBDAE2EHABAD，AHBDBD2BH2（BE+EH）2BE+AE2EC+AE（2）补全图形如图，2CEAEBD理由如下：如图2，以A为顶点，AE为一边作EAF60，AF交DB延长线于点FBAC90，ABAC，AE平分BACBAECAE45，ABCACB45将线段AC绕点A逆时针旋转60得到AD，ACAD，DAC60DAEDACCAE15，ABADABDADB，BAD30ABDADB75
9、AEDADBDAE60EAF60又EAF60，F60AEF是等边三角形AEAFEFACAD，CAEDAF45，AEAF，CAEDAF（SAS）CEDFABAC，BAECAE45，AEAE，BAECAE（SAS）BECEBECEDF+BEEFBD，2CEAEBD【点睛】本题是几何变换综合题，考查了全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的性质，旋转的性质，添加恰当的辅助线构造全等三角形是本题的关键6（2019石景山区二模）如图在ABC中，ACB90，ACBC，E为外角BCD平分线上一动点（不与点C重合），点E关于直线BC的对称点为F，连接BE，连接AF并延长交直线BE于点G（1）求证：AFBE；（
10、2）用等式表示线段FG，EG与CE的数量关系，并证明【答案】解：（1）如图，连接CF，ACB90，CE平分BCD，BCE45，点E、F关于直线BC对称，CECF，FCBBCE45，FCA45，在FCA与ECB中， FCAECB（SAS），AFBE；（2）FG，EG与CE的数量关系：GE2+GF22CE2，证明：FCAECB，AFCBEC，AFC+CFG180，CFG+CEG180，ECF+EGF180，ECF45+4590，EGF90，连接EF，GE2+GF2EF2，CECF，CE2+CF22CE2EF2，GE2+GF22CE2【点睛】本题考查了轴对称的性质与等腰直角三角形的性质，熟练运用勾股
11、定理、三角形全等的判定与性质是解题的关键7（2019朝阳区一模）如图，在RtABC中，A90，ABAC，将线段BC绕点B逆时针旋转（0180），得到线段BD，且ADBC（1）依题意补全图形；（2）求满足条件的的值；（3）若AB2，求AD的长【答案】解：（1）满足条件的点D和D如图所示（2）作AFBC于F，DEBC于E则四边形AFED是矩形AFDE，DEB90，ABAC，BAC90，AFBC，BFCF，AFBC，BCBD，AFDE，DEBD，DBE30，DBC120+30150，满足条件的的值为30或150（3）由题意ABAC2，BC2，AFBFDE，BEDE，AD，AD2（）【点睛】本题考查旋
12、转变换，等腰直角三角形的性质等知识，解题的关键是理解题意，学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题，属于中考常考题型8（2019石景山区一模）如图，在等边ABC中，D为边AC的延长线上一点（CDAC），平移线段BC，使点C移动到点D，得到线段ED，M为ED的中点，过点M作ED的垂线，交BC于点F，交AC于点G（1）依题意补全图形；（2）求证：AGCD；（3）连接DF并延长交AB于点H，用等式表示线段AH与CG的数量关系，并证明【答案】解：（1）补全的图形如图1所示（2）证明：ABC是等边三角形，ABBCCAABCBCACAB60由平移可知EDBC，EDBCADEACB60GMD90，如图1，
13、DG2DMDEDEBCAC，DGACAGCD（3）线段AH与CG的数量关系：AHCG证明：如图2，连接BE，EFEDBC，EDBC，四边形BEDC是平行四边形BECD，CBEADEABCGM垂直平分ED，EFDFDEFEDFEDBC，BFEDEF，BFHEDFBFEBFHBFBF，BEFBHF（ASA）BEBHCDAGABAC，AHCG【点睛】本题考查平移变换、等边三角形的性质、三角形全等的性质和判定、平行四边形的判定和性质等知识，解题的关键灵活应用所学知识解决问题，正确作出辅助线构造全等三角形是解题的关键，属于中考常考题型9（2019西城区一模）如图，在ABC中，ABC90，BABC将线段A
14、B绕点A逆时针旋转90得到线段AD，E是边BC上的一动点，连接DE交AC于点F，连接BF（1）求证：FBFD；（2）点H在边BC上，且BHCE，连接AH交BF于点N判断AH与BF的位置关系，并证明你的结论；连接CN若AB2，请直接写出线段CN长度的最小值【答案】（1）证明：如图1中，BABC，ABC90，BACACB45，线段AB绕点A逆时针旋转90得到线段AD，BAD90，BAAD，FADFAB45，AFAF，FADFAB（SAS），BFDF（2）解：结论：AHBF理由：如图2中，连接CDABC+BAD180，ADBC，ADABBC，四边形ABCD是平行四边形，ABC90，四边形ABCD是矩
15、形，ABBC，四边形ABCD是正方形，BACD，ABHDCE，BHCE，ABHDCE（SAS），BAHCDE，FCDFCB45，CFCF，CDCB，CFDCFB（SAS），CDFCBF，BAHCBF，CBF+ABF90，BAH+ABF90，ANB90，AHBF如图3中，取AB的中点O，连接ON，OCANB90，AOOB，ONAB1，在RtOBC中，OC，CNOCON，CN1，CN的最小值为1【点睛】本题属于几何变换综合题，考查了正方形的判定和性质，全等三角形的判断和性质，三角形的三边关系等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题，学会利用三角形的三边关系解决最值问题，属于中考压轴题10（2
16、019平谷区一模）在ABC中，ABC120，线段AC绕点A逆时针旋转60得到线段AD，连接CD，BD交AC于P（1）若BAC，直接写出BCD的度数（用含的代数式表示）；（2）求AB，BC，BD之间的数量关系；（3）当30时，直接写出AC，BD的关系【答案】解：（1）线段AC绕点A逆时针旋转60得到线段AD，ACD是等边三角形，ACD60，ABC120，BAC+BCA60，BCDACD+BCA60+60120，即BCD120（2）BDAB+BC如图1，延长BA使AEBC，连接DE由（1）知ADC是等边三角形，ADCDDAB+DCBDAB+DAE180，DCBDAEADECDB（SAS）BDBEB
17、DAB+BC（3）如图2，AC，BD的数量关系是：；位置关系是：ACBD于点P理由如下：BAC30，ABC120，ACB30，ABBC，ADDC，BD垂直平分AC，ABD60，DAB90，【点睛】本题考查的是图形旋转的性质及等边三角形的判定与性质，熟知旋转前、后的图形全等是解答此题的关键11（2019通州区一模）如图，在等边ABC中，点D是线段BC上一点作射线AD，点B关于射线AD的对称点为E连接CE并延长，交射线AD于点F（1）设BAF，用表示BCF的度数；（2）用等式表示线段AF、CF、EF之间的数量关系，并证明【答案】解：（1）连接AE点B关于射线AD的对称点为E，AEAB，BAFEAF
18、，ABC是等边三角形，ABAC，BACACB60，EAC602，AEAC，180（602）60+，BCFACEACB60+60（2）结论：AFEF+CF证明：如图，作FCG60交AD于点G，连接BFBAFBCF，ADBCDF，ABCAFC60，FCG是等边三角形，GFFC，ABC是等边三角形，BCAC，ACB60，ACGBCF，在ACG和BCF中，ACGBCFAGBF，点B关于射线AD的对称点为E，BFEF，AFAGGF，AFEF+CF【点睛】本题考查作图轴对称变换，全等三角形的判定和性质，等边三角形的性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题12（2019门头沟区一模
19、）如图，AOB90，OC为AOB的平分线，点P为OC上一个动点，过点P作射线PE交OA于点E以点P为旋转中心，将射线PE沿逆时针方向旋转90，交OB于点F（1）根据题意补全图1，并证明PEPF；（2）如图1，如果点E在OA边上，用等式表示线段OE，OP和OF之间的数量关系，并证明；（3）如图2，如果点E在OA边的反向延长线上，直接写出线段OE，OP和OF之间的数量关系【答案】解：（1）补全图形（如图1）；理由：如图1中，作PQPO交OB于QOPQEPF90EPOFPQ，又OC平分AOB，AOB90，EOPPOB45，又POQ+OQP90，PQO45，POEPQFPOQ，POPQEPOFPQ（A
20、SA），PEPF，（2）结论：线段OE，OP和OF之间的数量关系是OF+OEOP理由：如图1中，EPOFPQ，OEFQ又OQOF+FQOF+OE，又OQOP，OF+OEOP（3）结论：线段OE，OP和OF之间的数量关系是OFOEOP理由：如图1中，作PQPO交OB于QOPQEPF90EPOFPQ，又OC平分AOB，AOB90，AOPPOB45，又POQ+OQP90，PQO45，POAPQOPOQ45，POPQ，POEPQE135，EPOFPQ（ASA），PEPF，OEFQ又OQOFFQOFOE，又OQOP，OFOEOP【点睛】本题属于几何变换综合题，考查了全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形
21、的性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题，属于中考压轴题13（2019延庆区一模）在平面直角坐标系xOy中，抛物线yax24ax+3a2（a0）的对称轴与x轴交于点A，将点A向右平移3个单位长度，向上平移2个单位长度，得到点B（1）求抛物线的对称轴及点B的坐标；（2）若抛物线与线段AB有公共点，结合函数图象，求a的取值范围【答案】解：（1）抛物线的对称轴为直线x2，点A的坐标为（2，0）将点A向右平移3个单位长度，向上平移2个单位长度，得到点B，点B的坐标为（2+3，0+2），即（5，2）（2）分a0和a0两种情况考虑：当a0时，如图1所示25a20a+3a22，a
22、；当a0时，如图2所示yax24ax+3a2a（x2）2a2，a2综上所述：a的取值范围为a或a2【点睛】本题考查了坐标与图形的变化平移：掌握点平移的坐标规律和二次函数的性质以及二次函数图象上点的坐标特征，解题的关键是：（1）利用二次函数的性质，求出点A的坐标；（2）分a0和a0两种情况，利用数形结合找出关于a的一元一次不等式（或一元一次不等式组）14（2019北京模拟）在RtABC中，ACB90，CD是AB边的中线，DEBC于E，连结CD，点P在射线CB上（与B，C不重合）（1）如果A30如图1，DCB60如图2，点P在线段CB上，连结DP，将线段DP绕点D逆时针旋转60，得到线段DF，连结
23、BF，补全图2猜想CP、BF之间的数量关系，并证明你的结论；（2）如图3，若点P在线段CB的延长线上，且A（090），连结DP，将线段DP绕点D逆时针旋转2得到线段DF，连结BF，请直接写出DEBF、BP三者的数量关系（不需证明）【答案】解：（1）A30，ACB90，B60，ADDB，CDADDB，CDB是等边三角形，DCB60补全图形如图2，结论：CPBF理由如下：ACB90，D是AB的中点，DEBC，A，DCDBAD，DEAC，AACD，EDBA，BC2CE，BDCA+ACD2，PDF2，FDBCDP2PDB，线段DP绕点D逆时针旋转2得到线段DF，DPDF，在DCP和DBF中，DCPDB
24、F（SAS），CPBF，CPBF（2）结论：BFBP2DEtan理由：如图3，ACB90，D是AB的中点，DEBC，A，DCDBAD，DEAC，AACD，EDBA，BC2CE，BDCA+ACD2，PDF2，FDBCDP2+PDB，线段DP绕点D逆时针旋转2得到线段DF，DPDF，在DCP和DBF中，DCPDBF（SAS），CPBF，而 CPBC+BP，BFBPBC，在RtCDE中，DEC90，tanDCE，CEDEtan，BC2CE2DEtan，即BFBP2DEtan【点睛】本题考查了三角形外角性质，全等三角形的性质和判定，直角三角形的性质，旋转的性质的应用，能推出DCPDBF是解此题的关键，综合性比较强，证明过程类似
